Định nghĩa 1.7.1. Cho T là toán tử không bị chặn trong ÍK. Ta nói một số phức
P là một phần tử của TẬP HỢP GIẢI ĐƯỢC của T nếu T — PL là song ánh từ
D(T) lên ÍK với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán tử đơn vị.
Định nghĩa 1.7.2. PHỔ của toán tử T, kí hiệu bởi Ơ(T) là tập các số phức không thuộc vào tập giải được của T. Mỗi giá trị riêng của T đều thuộc Ơ(T).
PHỔ RỜI RẠC của T, kí hiệu bởi ƠFI(T) là tập các giá trị riêng bị cô lập với số bội hữu hạn. PHỖ THIẾT YẾU của T, kí hiệu bởi Ơess(T) là tập Ơ{T)\ƠD(T).
Như ta đã biết tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn. Tuy nhiên điều này không đúng trong trường hợp toán tử không bị chặn (xem chi tiết, [ij).
Có một phương pháp khác để xác định TOÁN TỨ TỰ LIÊN HỢP MỞ RỘNG của
một số loại toán tử không bị chặn. Đó là thông qua DẠNG TOÀN PHƯ ƠNG.
Định nghĩa 1.7.3. Dạng toàn phương là một ánh xạ Q : Q{Q) X Q{Q) -¥ c,
trong đó Q(Q) là tập con tuyến tính trù mật của ÍK, được gọi là MIỀN HÌNH
THỨC, sao cho Q(X,-) tuyến tính và Q(-,Y) liên hợp tuyến tính với mọi X, Y E Q{Q).
Ta tóm lược cách làm thế nào để liên kết một dạng toàn phương và một toán tử không bị chặn. Trước hết ta chú ý tới định nghĩa toán tử dương mở rộng tới toán tử không bị chặn. Ta nói rằng toán tử T dương, kí hiệu T > 0, nếu T đối xứng và (TX,X) > 0 với mọi X E Đ(T). Với mỗi toán tử dương T ta có thể xác định một tích vô hướng {X,Y)T trên D(T) bởi
(x,y)T = (Tx, y) + (x,y).
25 5
Nếu ta kí hiệu Q(T) là mở rộng của D(T) ứng với chuẩn ||-||r cảm sinh bởi tích vô hướng trên thì D(T) c Q(T) c !K. Thật vậy, ta thấy rằng nếu {Zj} là dãy Cauchy trong D(T) thì nó cũng là dãy Cauchy trong 'K do ||a;|| < ||x||T. Từ đó, ta có thể đồng nhất giới hạn trong Q(T) với giới hạn trong ‘K. Do đó dạng toàn phương liên hợp với T kí hiệu bởi QT có thể mở rộng tới mọi X e Q(T) bằng cách đặt
qT(x) = \\x,x\\T - \\x\\2.
Ta gọi Q(T) là miền của T. Vậy ta có thể nói rằng việc xét dạng toàn phương
dẫn đến cách hữu ích để xác định toán tử tự liên hợp nếu ta bắt đầu với toán tử
đối xứng NỬA BỊ CHẶN được cho bởi kết quả sau
Định lý 1.7.4 (Mở rộng Friedrichs, III], Theorem 1.11.3, tr. 22). CHO
T là toán tử đối xứng nửa bị chặn, tức là giả sử tồn tại 7 G M
sao cho
qT(x) = ( Tx, X) > 7| | ж | | 2 với mọi X € D{T).
Khi đó tồn tại một mở rộng tự liên hợp T' của T bị chặn dưới bởi
7 và thỏa mãn D{T') Ç Q(T). Hơn nữa, T' là mở rộng tự liên hợp
duy nhất của T với miền chứa trong Q(T).
Điều ngược lại của kết quả này cũng rất quan trọng: Cho dạng toàn phương Q,
câu hỏi đặt ra là liệu có một toán tử tương ứng T sao cho Q = QT không? Câu trả lời là có (xem chi tiết, Ịi9j).
Bây giờ, ta xét một dạng toàn phương của định lý Kato Rellich được gọi là
ĐỊNH LÝ KLMN được đưa ra bởi Kato, Lions, Lax, Milgram và Nelson. Định
Đ ị n h l ý 1 . 7 . 5 ( I I I ] , T h e o r e m 1 . 1 1 . 4 , t r . 2 2 ) . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho Ti là toán tử tự liên hợp dương và qT2 là dạng toàn phương
liên hợp với toán tử đối xứng T2, được xác
định trên Q(Tị). Nếu có các số thực a < 1 và b thỏa mãn
\QT2{X)\ < aqT l ( ж ) + b (X, X) với mọi X e Q{Ti),
khi đó tồn tại duy nhất toán tử tự liên hợp T với Q(T) = Q(Tị)
sao cho T liên hợp với hình thức qT l + QT2 ■
Trong trường hợp này ta cũng gọi T2 là toán tử nhiễu của TỊ.
Giả sử Ti tự liên hợp. Ta nói T2 compact tương đối ứng với Ti nếu D{TI) Ç
D(T2) và toán tử T2(Ti + i)-1 compact. Thực tế ta có thể thay i bởi một số phức bất kì nằm trong tập giải được của TỊ. Ta có thể chứng tỏ rằng T2 compact tương ứng với TỊ nếu với mỗi dãy {Xj} с D(TI) Ç D(T2) thỏa mãn ||TiÆj|| + IỊ ж j 11 < с với с > 0 thì ta có thể chọn dãy con {ж^} sao cho {T2XJK} hội tụ. Ta cũng có các kết quả sau: Nếu TỊ tự liên hợp và T2 compact tương đối ứng với TỊ thì toán tử tổng TI + T2 xác định trên D(TỊ) đóng. Hơn nữa toán tử tổng có cùng phổ thiết yếu với TỊ. Nếu ta cần T2 đối xứng thì toán tử tổng tự liên hợp. Đ ị n h l ý 1 . 7 . 6 ( P 3 J , T h e o r e m 4 . 1 2 , t r . 1 1 3 ) . Giả sử A là toán tử tự liên hợp và { ' 0 j } f e = 1 là hệ độc lập tuyến tính của Í K . Cho X £ Nếu (ф,Аф) < х\\ф\\2 к
với mỗi tổ hợp tuyến tính khác không Ф = Y2 cj Ф] thì
3=1
27 7
dim Ran PA{(—OO, Л)) > K.
B ổ đ ề 1 . 7 . 7 ( P 3 Ị , L e m m a 6 . 2 3 , t r . 1 4 2 ) . Giả sử A là toán tử tự liên hợp, В là toán tứ đối xứng và A bị chặn với cận nhỏ hơn một. Nếu К compact tương đối với A thì nó cũng compact
tương đối với А + в.
B Ổ đ ề 1 . 7 . 8 ( P 3 Ị , L e m m a 0 . 1 3 , t r . 1 0 ) . Cho X là không gian metric compact địa phương. Giả sử K là một tập
compact và {Oj}n
= 1 là một phủ mở. Khi đó tồn tại một phân hoạch
đơn vị của K phụ thuộc vào phủ mở này, nghĩa là có các hàm số
liên tục hj : X —> [ 0 , 1 ] sao cho hj có giá compact chứa trong
Oj và
n
Ẻ h j { x) < 1
3=1dấu bằng xảy ra khi X G K.