/ ẽ L^(Rn )n L2(Mn) vớ iN < 3)
3=1 Theo Bổ đề
Theo Bổ đề
tồn tại một phân hoạch đơn vị của ỘJ(X) phụ thuộc vào phủ này. Thác
triển ỘJ{X) tới một hàm trơn từ M3 iV \{0} vào [0,1] bởi
ộ j ( Ằ x ) — ệ j ( x ) , X G 5'3iV_1, A > 0
và chọn một hàm Ộ G C°°(R3 N, [0,1]) với giá nằm trong quả cầu đơn vị trong lân cận 1 của điểm gốc. Khi đó
ĩ + (1 - ĩ ) ĩ j
i j j yi ịr )ịrj
(0 + (1—ộ ) ộ e Ỵ V e = i
là hàm cần tìm. Hàm này tiến đến 0 khi ỘJ(XX) = ỘJ(X) với A > 1 và |rcI > 1 suy ra
(DỆJ)(ẰX) = X~1(DỆJ)(X). □
Theo công thức địa phương hóa ta có
H( N ) = ^2 ộjH{~N'i)(ị)j + p — K,
3 =1
Vee (■£j •Kl)"
Do K triệt tiêu khi |x| —> oo, ta hy vọng nó sẽ là compact tương đối ứng với phần còn lại. Theo Bổ đề 1.7.7, điều kiện đủ để kiểm tra là nó compact tương đối ứng với HQ. số hạng \DỘJ\2 bị chặn và triệt tiêu tại
1, do đó theo Bổ đề 2.1.1 nó là H0 compact. Tuy nhiên số hạng (J)2JVJ
có điểm kì dị và sẽ bị phủ theo bổ đề sau
B ổ đ ề 2 . 2 . 9 ( P U , L e m m a 1 1 . 5 , t r . 2 2 8 ) . Cho V là toán tử nhẫn, nó là H0 bị chặn với H0 cận 0 và giả sứ rằng Ị l X { x | | x | > i ỉ } ^ - ft f0( . z ) l l 0 khi R — > • 00.
kiện đủ là chứng tỏ IIVRHỮ(Z)ĨPN\\ hội tụ tới 0. Chọn Ộ & [0,1]) sao cho |a;| < R.
Nhận thấy ỘD(HQ) c D(HQ). Khiđó
\\vRH„(z)ịn\\ < 11(1 - ф)УЯН о(г)Фп\\ + \\VộR„Xz)ịnI I .
— 11(1 — ệ)VRHom Ш + 0> \\HoệRH0{z)'ộn\\ + b\\ỘRHữ{z)ĩị)n\\.
Theo giả thiết số hạng thứ nhất có thể cho bé hơn E bằng cách chọn R lớn. Tiếp đó số hạng thứ nhất chọn A bé do H0ỘRHO(Z) bị chặn (theo nguyên lý đồ thị đóng). Cuối cùng, số hạng cuối cho bé hơn £ bằng cách chọn N lớn do Ф là H0
compact. □
Vì vậy, К compact tương đối theo H^N). Đặc biệt, H^N) + К tự liên hợp trên H2
(R
3iV ) và (ТезД#^) = ƠE S S{H^ + K). Do các toán tử 1 < J < N có dạng trừ đi một chất điểm không tương tác
với các hạt nhận khác, ta có H (N’Ï Ï — XN _ 1 > о, 1 < j < N . Hơn nữa, ta có
P > 0 và do đó
( Ф , ( H < N ) + K - \N~lW = ( H ^ > - Р ф ) > 0.
(2.45)
Vậy ta được bao hàm thức còn lại
Ơ,„(HW) = + K)Q СТ(Я< Л > + K)Q [A"-1 , 0 0 ), (2.46)
Lưu ý rằng cách chứng minh tương tự nếu ta thêm vào hạt nhân tại vị trí cố định, tức là ta có thể khảo sát phân tử nếu ta giả thiết hạt nhân được cố định trong không gian.
mục trước ta có
ƠC„(H{ Ỉ )) = [—, 0 0 ). (2.47)
Hơn nữa, nếu 7 ee = 0 (không có electron tương tác) ta có thể lấy tích của các hàm riêng của một chất điểm để ta chỉ ra rằng
(i
i) + G ƠẲH [ 2\LEE = 0)), n,m e N. (2.48)
Đặc biệt, trong trường hợp này có các vectơ riêng được nhúng vào trong phổ
thiết yếu. Hơn nữa, do số mức năng lượng tương tác giữa các electron là dương nên ta có
H{ 2 ) > (2.49)
72
Chương 3