Sự tồn tại và nghiệm của hệ gradient trong không gian vô hạn chiều
2.1.3. Không gian Sobolev trên r
Cho c là một tập mở với biên ỡíỉ. Với mỗi hàm liên tục ip
:
ri —V M ta định nghĩa giá của ífi là tập:
supp<£ := {x e : ip(x) Ỷ 0}, trong đó, bao đóng được lấy trong fỉ.
Với mọi 1 < p < oo và mọi A: > 2 ta định nghĩa không gian Sobolev:
du wk’p(n) := {u G w1,p(fi) với mọi ỉ = 1,d ta có e
ơ X i
là không gian Banach với chuẩn
Hàm này là một dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính
(u,v) — Ị VuVv, u,v £ HQ(ÍÌ). ũ
\\u\\w k,~ := sup{||u||Loo, 11^—11^-1,\\ị—\\wk-1,«}, nếu p — oo.
Ờ X \ O X &
1
nếu 1 < p < 00,
du du
Không gian Hk(Q) := Wk , 2(Q) là không gian Hilbert với tích vô hướng
2.1.4. Toán tử Dirichlet — Laplace
Mục này đề cập tới một ví dụ về gradient của dạng toàn phương liên kết với bài toán biên Dirichlet đối với toán tử Laplace. Cho íỉ C Md là tập mở và xét không gian Banach V = HQ(ÍÌ), hàm £ : HQ(ÍÌ) —»• R cho
Xét không gian Hilbert H = L 2 (íì), với tích vô hướng thông thường. Khi đó
V được nhúng liên tục và trù mật trong H. Gradient của £ ứng với tích vô hướng thông thường trên L 2 là
D ị yL2S ) = { u €E H q ( í ì ) : 3 v ẽ L2(ri) sao cho
Vy? € Hị(n) ta có I VuVv = J
n
V^2 £ (U) = V .
Ta viết := — Vi2£ và gọi là toán tử Dirichlet - Laplace trên L 2 (Q). Sở dĩ ta gọi như vậy là vì:
Thứ nhất, toán tử Laplace là toán tử vi phân
ỡu Ỡ^U
Thứ hai, nếu u G H 2 (íì), thì các đạo hàm riêng yếu ™ tồn tại
Ơ X ị ơ X ị ơ X j
và thuộc L 2 (Q). Nói riêng, Au e L 2 ( ri), nếu ta hiểu Am là tổng các đạo
d 2 u
hàm riêng yếu cấp hai Theo đinh nghĩa đao hàm yếu (hoăc theo
dxị
định nghĩa của H 1 và H 2 ), với mỗi (p e cl( ri), r ), với mỗi ip € c]{ ri),
/d r\ r\ d
/1 rv
rv
OU ơ(p ^ / ơu ơ(p
dxị dxị J
ũ Í _ 1 Ỉ _ 1 ũ
/
dxi dxi n
Do c]{ fỉ) trù mật trong HQ(Q), nên đẳng thức trên đúng với mọi ip G Hì(íì). Từ đây và định nghĩa của toán tử ta có, mỗi u € H 2 (ũ) n HQ(Q) đều thuộc miền D(n A) và
Q A u = Au.
Thứ ba, vì D(n A) c Hị(ỉl) nên mỗi hàm thuộc miền xác định của toán tử Dirichlet - Laplace đều thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet: u lan = 0 theo nghĩa vết.
Toán tử Dirichlet - Laplace có vai trò quan trọng khi ta nghiên cứu bài toán biên —Am = / trong ri u = 0 trên díì, { với hàm / G L 2 (ũ).
Ta gọi hàm u G Hq(Ũ) là một nghiệm yếu của bài toán này nếu với mỗi ip e
Hq(íì),
Ị vuvip = Ị f(fi. ũ ũ
Hơn nữa, ta gọi một hàm u € c 2 (fì) là một nghiệm cổ điển nếu nó thỏa mãn phương trình — Au = / trong íĩ và điều kiện biên u = 0 trên ôfĩ tại mọi điểm. Theo định lí Gauss, mọi nghiệm cổ điển đều là nghiệm yếu. Hơn nữa, ta chứng minh được rằng u là nghiệm yếu khi và chỉ khi
= /.
Nhận xét 2.4. Nói chung, ta không thể chứng minh rằng D(n A) = H 2 (íì) n ÌÍq(íỉ), mà chỉ chứng minh được
ổ (íì)nííi(íì)cũ(ỈA)2
như trên mà thôi. Kể cả khi d = 2, ta cũng không thể suy ra được từ
° A u e L2( í ì )
ỡ^u
rằng mọi đạo hàm yếu ^ tồn tại và thuộc L 2 (Q) chứ không nói gì tới
ỠXị
d2u
các đao hàm riêng hỗn hơp yếu ——^—. Ta chỉ có hai nhân xét sau:
Ơ X ị ơ X j
1) Nếu íỉ7 c thì hạn chế của u e D(n A) trên ri' thuộc H 2 {Q!) (tính chính quy trong miền).
2) Nếu thuộc lớp c2 (thêm giả thiết về tính chính quy của biên) thì ta có
D(Q A) = H 2 (íì) n (tính chính quy toàn cục), chẳng hạn dấu đẳng thức xảy ra khi íì là hình cầu.
2.1.5. Toán tử Dirichlet - p - Laplace
Mục này đề cập tới một ví dụ về gradient của một hàm khả vi, không toàn phương liên kết với bài toán biên Dirichlet đối với toán tử p— Laplace. Cho ri C M
d là tập mở, p > 1. Xét không gian Banach
V = £ : Wv’ p {n) M xác định bởi
s(lí) = - Ị |Vw|p, u G Wq’p{SÌ). p
Hàm này không phải là dạng toàn phương (trừ khi p = 2), nhưng ta vẫn có thể chứng minh được rằng nó khả vi liên tục và tính đạo hàm của nó.
Định lý 2.5. Hàm £ khả vi liên tục và
Do đó hàm
F thỏa mãn các điều kiện
của Định lý |2.6| dưới đây. Theo Định lý
2.6
vi liên tục và
J 7 '{ù)v= ị \u\ p 2 UV, Vm, V G Ư{Q,\ M d ).
Ta có kết luận của Định lý 2J) với hàm s là hợp của T và ánh xạ tuyến tính liên tục L : Wg (ÍỈ) —»• L p (íì, R d ),u !->■ Vu. Tức là £ = T o L.
Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục đều khả vi liên tục, nên s cũng là khả vi liên tục. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta có (2.3).
Do T và T' ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn (Định lý 2.6) và c bị chặn, nên s và S' cũng ánh xạ các tập bị chặn thành các
tập bị chặn.
Tiếp theo, ta xét không gian Banach V = W01,p (íĩ) n L 2 (Q) với chuẩn
hàm T : Lp(íl, Md) M cho bởi T{u) = f F(x, u{x))dx khả n
và không gian Hilbert H = L 2 (Q) với chuẩn thông thường. Khi đó V được nhúng liên tục và trù mật trong L2 (íỉ) và trong W01,p (íĩ). Theo Định lý |2.5[ hạn chế của £ lên V là hàm khả vi liên tục, £ và S' ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn và
£'{u)v = J\Vu\ p - 2 VuVv, V«,vễ7. ỉí
Gradient của £ đối với tích vô hướng thông thường trên L 2 là toán tử D(S7 L 2S) = {u € V : 3v G L 2 (n) sao cho Vy? G V
ta có : I |Vm| VwV<^ = J p 2 1^}, h n
V L2 £{ù) = V.
Ta kí hiệu ftAp := —ỤiĩS và gọi là toán tử Dirichlet - p— Laplace trên L
2 (fỉ). Tên gọi này có một số lí do sau đây:
Toán tử p — Laplace là toán tử vi phân tác động vào hàm u : íỉ —»• M xác định bởi
Ap u := div(|Vu|p-2 Vu). Chú ý là A2 bằng toán tử Laplace A.
Xét bài toán giá trị biên
—A p u = / trong íỉ
(2.4)
u = 0 trên ỡfì,
trong đó / € L 2 (íì) là hàm đã cho. Ta gọi hàm u G W01,p (ii) n L 2 (íì) là nghiệm yếu của bài toán này nếu với mỗi (f G W0 (il) 1,p n L 2 (íỉ) ta có
J I Vu\ p - 2 VuV<p = Ị f<p. fì íĩ
Từ đây, định nghĩa của toán tử Dirichlet - p— Laplace, và từ Định lý 2^5 ta thấy u là nghiệm yếu của bài toán (2.4) khi và chỉ khi nApU = /.
Định lý 2.6 (Xem [3J, Định lý 4.3). Cho Q C M d là tập mở và 1 < p < oo.
Giả sử F : X Mm —► R (m > 1) là hàm đo được sao cho
F ( x , . ) khả vi liên tục với mọi X e và
tồn tại C\ € Ư (ri), Ơ2 ẽ c > 0 sao cho d
I —Fix, m)| < ơi(x) + c\u\ p ~ l , Va: G íỉ, u € vồ du
|F(a:,0)| < c2(x), Mx e íỉ,
Írơ7ỉ<7 đó p' = —-—. Khi đó hàm T : L (íỉ; Mp m ) —>■ M cho bởi
F{u)= I F{x,u)dx, ueLp{n-Rm)
Jữ
khả vi liên tục và
T'{u)v= f -^-F(x,u(x))v(x)dx, \/u,v G L p ( Jn UU
Hơn nữa, T và T' ánh xạ các tập bị chặn thành các tập bị chặn.