Định nghĩa 1.32. Cho X là không gian Banach thực, —oo < a < b < oo và p G [1,00]. Không gian Bochner-Sobolev trên (a, 6) là không gian:
w 1 , p (a, 6; X) :={m G Ư{a , 6; X), 3v G L p {a , 6; X)
Rõ ràng, hàm V được xác định duy nhất nếu nó tồn tại. Ta viết
u' := V và ta gọi u' là đạo hàm yếu của u. Không gian w 1 , p {a^ b ] X )
(/> 9}L2{ÍÌ-,H) ■—
b b
sao cho với mọi ( p G
✓ s
Anh xạ tuyến tính
T : wh p{a, b; X) -> Lp{a, 6; X) X ư{a, 6; X), u (u, ĩ/) cho thấy w1,p(a, 6; X) đẳng cấu với một không gian con đóng của Lp(a, b; X) X X) đẳng cấu với một không gian con đóng của Lp(a, b; X) X
L p (a, ò; X ). Từ đây và Định lý 1.30 và 1.31 ta có được những tính chất sau của không gian Bochner - Sobolev.
Định lý 1.33 (Xem [HI, Định lý 5.7). a. Nếu 1 < p < oo và X tách được,
thì w1 , p(a,b-,x) tách được.
b. Nếu 1 < p < oo và X phản xạ thì không gian w1 , p(a, b',X) cũng phản xạ.
c. Nếu H là không gian Hilbert thì không gian ö; H) := VK1,2 (a, ò; H)
là không gian Hilbert với tích vô hướng: b b
(u’v) H H a , b - H ) ' - = J (U’V)H + u ,v £ Hl( a , b ; H ) .
a a
Bổ đề 1.34 (Xem PJ, Bổ đề 5.8). Cho u e w1 , p(a, ò; X) sao cho u' = 0. Khi
đó u là hằng số hầu khắp nơi.
Bổ đề 1.35 (Xem [3J, Bố đề 5.9). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn,
t
tũ e [a, b ] , g e Lp( a , b ; X) v à đ ặ t u ( t) := f g ( s ) d s , t e [a,b]. Khi đó
t o
u G w1 , p(a: ò; X) và u' = g.
Định lý 1.36 (Xem [3], Định lý 5.10). Cho (a,b) là một khoảng bị chặn
và u £ w1 , p(a, ò; X). Khỉ đó tồn tại một hàm liên tục ũ : [a,b] X bằng với u hầu khắp nơi và với Vs, t G [a, b],
t (t) — ủ ( s ) = Ị u'(r)dr.
s
Định lý 1.37 (Định lý nhúng Sobolev, xem [3J, Định lý 5.11). Cho (a, b ) là một khoảng bị chặn. Khi đó w1 , p(a,b',x) chứa trong C ( [ a , b ] ] X ) và tồn tại
hằng số c > 0 sao cho
I M U » < c\\u\\wi„, Vu G w1 , p(a: b ] X ) .
Định lý 1.38 (Đạo hàm của tích và tích phân từng phần, xem [3J, Định lý 5.12). Cho (a, b ) là một khoảng bị chặn, cố định 1 < p < oo và giả sử u e w1, p(a, b; X), V e w1, p(a, b). Ta có
a. (Dạo hàm của tích) Tích uv thuộc w1 , p(a,b-, X) và
(■uvỴ = u'v + uv'. b. (Tích phân từng phần)