đó với mọi số T>0, tồn tại một nghiệm yếu (u, P) của bài toán (l.l)-(l.5) sao cho
Hơn nữa, nếu trong (F3)và hàm H,B2 thoả thêm điều kiện
thì nghiệm tồn tại duy nhất.
3. Kết quả chính :
Định lý : Giả sử các giả thiết (A1) - (A4)và (F1) -(F3) đúng. Khi đó với mọi số T >0 tập hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1. 1 ) -( 1.5) sao cho T >0 tập hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1. 1 ) -( 1.5) sao cho
tìm đƣợc theo phƣơng pháp trên khác rỗng, compact và liên thông (với cách chọn phù hợp). chọn phù hợp).
Chứng minh : Ta chứng minh lần lƣợt theo các bƣớc sau Bƣớc 1 Tập các điểm bất động c của toán tử U: ̅ > Y là tập Bƣớc 1 Tập các điểm bất động c của toán tử U: ̅ > Y là tập khác rỗng, compact, liên thông.
ờ đây và c” ∈ H1(0,T) là bao
đóng của tập con lồi, mở và bị chặn
37 Chứng minh : Ta có f: (u,.) ∈ R2 → f(u,.) ∈ R liên tục nên Chứng minh : Ta có f: (u,.) ∈ R2 → f(u,.) ∈ R liên tục nên
∀ εcó ánh xạ fε : (u,.) → fε(u,.) là xấp xỉ lipschitz địa phƣơng của f theo biến thứ nhất sao cho
với μ > 0 đƣợc chọn thích hợp
để đủ bé. Rõ ràng ánh xạ fε thỏa mãn các giả thiết (F1) (F2).
- Cuối cùng ta chỉ ra deg ( I-U,D,0) ≠ 0, (3.10)
Ta có họ toán tử compact Uλ: [0,1] x ̅→Y thỏa điều kiện (3.7)
: 0 (I- Uλ)( δ S) ,nên theo tính bất biến đồng luân, ta có: deg(I- Uλ ,S,0) không phụ thuộc λ Suy ra deg(I-U1,S,0) = deg(I-U2,S,0)
trong đó I-U1=I-U ,I-U0=I-G với G là ánh xạ hằng vì
hay
Từ (3.6) - (3.10) và áp dụng định lý Krassnosel'skii-Perov, ta chứng minh xong Bƣớc 1. Bƣớc 2 : Tập các nghiệm (Um,Pm) tìm đƣợc tƣơng ứng là tập khác
rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng C=(Cm1,Cm2,….,Cmm)
với um sao cho là ánh xạ liên tục.
Bƣớc3: Tập các nghiệm yếu (u, P) có đƣợc do chuyển các nghiệm (Um,Pm) qua giới hạn là khác rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng mỗi nghiệm (Um,Pm) với nghiệm yếu (u, P) là ánh xạ liên tục .
38
TÀI LIỆU THAM KHẢO :
[1] L. H. Hoá V T T Nhiều N. T. Phƣơng, The connectivity and compaclness of solulion sets. Hội nghị Toán học toàn quốc, Huế, 7-10/09/2002. Chƣơng trình và tóm tắt các báo cáo, 82 - 83.
|2| L. H. Hoá L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập hợp nghiệm. Hội nghị Khoa học Toán-Tin học, ĐHSP Tp. HCM, tháng 12/2002.
[3] L. H. Hóa L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa.(Đang chuẩn bị gởi đăng ở Tạp chí khoa học của Trƣờng ĐHSP Tp HCM.)
|4| Nguyen Thanh Long Tran Minh Thuyet, A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Mathemalica, Vol.XXXVI, No 4, 2003.
Abstract: The paper proves that for the following semilinear wave equation with the initiaI-boundary, the set of weak solutions is nonempty, compact and connected
where u0, u1, f are given functions, the unknown function u (x,t) and the unknown boundary value P(t) satisfy the following nonlinear integral equation
where g, H, k are given functions. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
39
KẾT LUẬN
Đối với đề tài nghiên cứu cấp cơ sở "Tính compact, liên- thông của tập
nghiệm của phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach", ngoài bài báo
"Tính co mpact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa" đăng trong Tạp chí
Khoa học tự nhiên số 36 (2-2004) Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM tháng
5/2004, trong phần báo cáo này, chúng tôi đã trình bày một kết quả khác về tính
compact, liên thông của tập nghiệm cho phƣơng trình tiến hóa với một điều kiện mới tốt hơn
và tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu cho phƣơng trình sóng nửa tuyến tính liên kết
với một phƣơng hình tích phân phi tuyến.
Chúng tô i sệ t iếp tục gửi đăng các k ết quả trên trong các tạp chí trong