Định lý 2 :Giả sử các giả thiết (A1) – (A4) và (F1) – (F3) đúng Kh

Một phần của tài liệu Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phương trình vi tích phân trong không gian banach (Trang 56 - 59)

đó với mọi số T>0, tồn tại một nghiệm yếu (u, P) của bài toán (l.l)-(l.5) sao cho

Hơn nữa, nếu trong (F3)và hàm H,B2 thoả thêm điều kiện

thì nghiệm tồn tại duy nhất.

3. Kết quả chính :

Định lý : Giả sử các giả thiết (A1) - (A4)và (F1) -(F3) đúng. Khi đó với mọi số T >0 tập hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1. 1 ) -( 1.5) sao cho T >0 tập hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1. 1 ) -( 1.5) sao cho

tìm đƣợc theo phƣơng pháp trên khác rỗng, compact và liên thông (với cách chọn phù hợp). chọn phù hợp).

Chứng minh : Ta chứng minh lần lƣợt theo các bƣớc sau Bƣớc 1 Tập các điểm bất động c của toán tử U: ̅ > Y là tập Bƣớc 1 Tập các điểm bất động c của toán tử U: ̅ > Y là tập khác rỗng, compact, liên thông.

ờ đây và c” ∈ H1(0,T) là bao

đóng của tập con lồi, mở và bị chặn

37 Chứng minh : Ta có f: (u,.) ∈ R2 → f(u,.) ∈ R liên tục nên Chứng minh : Ta có f: (u,.) ∈ R2 → f(u,.) ∈ R liên tục nên

∀ εcó ánh xạ fε : (u,.) → fε(u,.) là xấp xỉ lipschitz địa phƣơng của f theo biến thứ nhất sao cho

với μ > 0 đƣợc chọn thích hợp

để đủ bé. Rõ ràng ánh xạ fε thỏa mãn các giả thiết (F1) (F2).

- Cuối cùng ta chỉ ra deg ( I-U,D,0) ≠ 0, (3.10)

Ta có họ toán tử compact Uλ: [0,1] x ̅→Y thỏa điều kiện (3.7)

: 0 (I- Uλ)( δ S) ,nên theo tính bất biến đồng luân, ta có: deg(I- Uλ ,S,0) không phụ thuộc λ Suy ra deg(I-U1,S,0) = deg(I-U2,S,0)

trong đó I-U1=I-U ,I-U0=I-G với G là ánh xạ hằng vì

hay

Từ (3.6) - (3.10) và áp dụng định lý Krassnosel'skii-Perov, ta chứng minh xong Bƣớc 1. Bƣớc 2 : Tập các nghiệm (Um,Pm) tìm đƣợc tƣơng ứng là tập khác

rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng C=(Cm1,Cm2,….,Cmm)

với um sao cho là ánh xạ liên tục.

Bƣớc3: Tập các nghiệm yếu (u, P) có đƣợc do chuyển các nghiệm (Um,Pm) qua giới hạn là khác rỗng, compact, liên thông. Điều này có đƣợc do ánh xạ đặt tƣơng ứng mỗi nghiệm (Um,Pm) với nghiệm yếu (u, P) là ánh xạ liên tục .

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO :

[1] L. H. Hoá V T T Nhiều N. T. Phƣơng, The connectivity and compaclness of solulion sets. Hội nghị Toán học toàn quốc, Huế, 7-10/09/2002. Chƣơng trình và tóm tắt các báo cáo, 82 - 83.

|2| L. H. Hoá L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập hợp nghiệm. Hội nghị Khoa học Toán-Tin học, ĐHSP Tp. HCM, tháng 12/2002.

[3] L. H. Hóa L. T. P. Ngọc, Tính liên thông và tính compact của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa.(Đang chuẩn bị gởi đăng ở Tạp chí khoa học của Trƣờng ĐHSP Tp HCM.)

|4| Nguyen Thanh Long Tran Minh Thuyet, A semilinear wave equation associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Mathemalica, Vol.XXXVI, No 4, 2003.

Abstract: The paper proves that for the following semilinear wave equation with the initiaI-boundary, the set of weak solutions is nonempty, compact and connected

where u0, u1, f are given functions, the unknown function u (x,t) and the unknown boundary value P(t) satisfy the following nonlinear integral equation

where g, H, k are given functions.

39

KẾT LUẬN

Đối với đề tài nghiên cứu cấp cơ sở "Tính compact, liên- thông của tập

nghiệm của phƣơng trình vi tích phân trong không gian Banach", ngoài bài báo

"Tính co mpact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa" đăng trong Tạp chí

Khoa học tự nhiên số 36 (2-2004) Trƣờng Đại học Sƣ phạm Tp.HCM tháng

5/2004, trong phần báo cáo này, chúng tôi đã trình bày một kết quả khác về tính

compact, liên thông của tập nghiệm cho phƣơng trình tiến hóa với một điều kiện mới tốt hơn

và tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu cho phƣơng trình sóng nửa tuyến tính liên kết

với một phƣơng hình tích phân phi tuyến.

Chúng tô i sệ t iếp tục gửi đăng các k ết quả trên trong các tạp chí trong

Một phần của tài liệu Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phương trình vi tích phân trong không gian banach (Trang 56 - 59)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(59 trang)