TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
30Để có (4), trƣớc hết ta chú ý rằng :
Do đó tồn tại tập mở và bị chặn D trong X sao cho u ∈ D và U ∂D (ở đây ∂D là biên của D), với mọi λ ∈ [0,1] Suy ra mọi
nghiệm của phƣơng trình (3) (nếu có), với mọi X∈ [0,1] đều chứa trong D nhƣng không chứa trong ∂D.
- Bằng việc chứng minh toán t ử T- 1 : ̅ ⊂ X →X1* thỏa mãn các điều kiện của định lý Krassosel'skii-Pcrov, bƣớc 1 hoàn thành.
Bƣớc 2 : Xét χ ≠ 0
Với mọi uthuộc tập nghiệm của (1), đặt u*: [0,1] → H sao cho: U*(t)=U(t)- χ
Khi đỏ
u*∈ X1 ,u*(0)=0 và u*t = ut Suy ra
Nhƣ thế u*(t) là nghiệm của phƣơng trình
trong đó f*: H→H
x→f*(x)=f(x+ χ) – A(χ)
Ngƣợc lại, nếu u*(t) là nghiệm của (1)' thì U*(t)=U(t)+χ sẽ là nghiệm của (1).
31
Chứng minh dịnh lý 2:
Ta chỉ cần chứng minh định lý 2 đúng trong trƣờng hợp χ=0
Hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ở định lý 2, [1], chứng minh sẽ hoàn thành nếu ta chứng minh đƣợc tập nghiệm của phƣơng trình sau bị chặn :
trong đó toán tử A và f thoả các điều kiện (1), (2). Ta sẽ chứng minh có một số dƣơng không đổi M để mọi nghiệm u(t) của (5) đều thoả điều kiện :
|u(t)| M, ∀t ∈ [0,1] , ∀ λ ∈ [0,1], (6).
Tài liệu tham khảo :
[1] L. H. Hoá - L. T. P. Ngọc, Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa. Tạp chí Khoa học Trƣờng ĐHSP Tp. HCM, tháng 5/2004.
[2] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh, Approximation of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time. Inverse Problem 10 (1994) 905-914. Printed in the UK.
[3] Richard E. Ewing, The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations. SIAM J.Math. Anal. Vol 6, No. 2, April 1975.
Note on the connectivity and compactness of solution set of the evolution problem Abstract : The paper proves that for the following equations the sets of solutions are
32 where where : (1). A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend