SVD (singular value decomposition) là một dạng khai triển của ma trận có rất nhiều ứng dụng trong những vấn đề liên quan đến nghịch đảo và số hóa các dữ liệu.Hiện nay phân tích SVD của ma trận xuất hiện rất nhiều trong các ứng dụng thực tế nhƣ về tín hiệu số, tính các giá trị xấp xỉ trong kĩ thuật, công nghệ thông tin, và đƣợc ứng dụng trong các công cụ tìm kiếm trên các website
Xét một hệ thống truyền dẫn vô tuyến bao gồm anten phát và anten thu nhƣ trên hình Ta viết lại phƣơng trình (3.1) Y= Hx +
Hình 3.2 - xây dựng mô hình kênh SVD MIMO
H=UD (3.2)
Trong đó U và V là các ma trận đơn nhất (unitary) có kích thƣớc và ,. Toán tử “h” : Là phép toán chuyển vị Hermintian
Ma trận trực giao: ma trận vuông U,V đƣợc gọi là ma trận trực giao nếu
U và V ( , ).
D là ma trận gồm * + (3.3)
Các giá trị đơn không âm đƣợc kí hiệu là ,…
trên đƣờng chéo chính của nó. Trong đó là các giá trị riêng của ma trận H . Các giá trị riêng của ma trận H đƣợc xác định nhƣ sau :
Det(H ) = 0 hay
Det(Q - ) ) = 0
Trong đó Q là ma trận Wishart đƣợc xác định nhƣ sau:
Q = {
Hình 3.3 - Xây dựng kênh truyền SVD MIMO
Nếu nhân cả hai vế của phƣơng trình kênh (3.1) ma trận ta đƣợc: ( )
̅ Với ̅ và ̅ = .
Bây giờ chúng ta thấy ̅ ( ).
Hoặc tƣơng đƣơng
Vì vậy,trong phƣơng trình trên U và V đƣợc loại bỏ kể từ khi chúng ta thực hiện beamforming nhận bởi ma trận U và tiền mã hóa ở máy phát bằng ma trận V.Vì vậy nó đòi hỏi thông tin trạng thái kênh (CSI) để tận dụng ở cả hai bên.
Bây giờ đơn giản hóa phƣơng trình ở trên ta có:
̅̅̅̅= ̅̅̅ ̅̅̅̅ trong đó n=1,2,…., với * + (3.5)
Từ phƣơng trình trên ta có thể thấy rằng tất cả các kí hiệu máy phát chỉ xuất hiện duy nhất tƣơng ứng của nó nhận đƣợc anten và chúng ta không can thiệp bất kì tại anten thu nào.vì vậy,nó tạo một bộ sƣu tập của tất cả các kênh t song song tách rời nhau.ngoài ra ở đây biểu tƣợng t song song truyền qua kênh MIMO trong khe thời gian đơn.Nó dùng để ghép kênh không gian thông tin liên lạc trong MIMO.
Hình 3.4 -Phân chia kênh fading phẳng MIMO thành các kênh fading phẳng song song tương đương dựa trên SVD
Bây giờ xét ma trận nhiễu ở đầu thu:̅ =
Với là mật độ phổ công suất nhiễu
Từ phƣơng trình trên ta có thể nói rằng nhiễu trƣớc và sau khi dùng kĩ thuật beamforming là giống nhau.Nói cách khác beamforming không ảnh hƣởng đến công suất nhiễu tại máy thu.
Vì vậy tỉ số tín hiệu trên nhiễu kênh thứ I đƣợc cho bởi:
(3.6)
trong đó: N = 1,2,…,
là công suất tín hiệu điều chế
= là mật độ phổ công suất nhiễu tạp âm AWGN tại kênh thứ i. Và do đó dung lƣợng kênh thứ i là:
= ( ) (3.7)
Chúng ta có tổng N kênh độc lập và do đó tổng dung lƣợng của một kênh MIMO là:
= ∑ ( )
(3.8)