resolution):
Từ biến đổi Wavelet liên tục, ta có biểu thức biến đổi Wavelet rời rạc như sau [3, 14]:
(3.5)
Trong đó:
(3.6)
𝜓 𝑡 là hàm wavelet mẹ thỏa:
Bằng việc sử dụng cơ sở trực chuẩn𝐿2(𝑅), ta phân chia các thành phần tần số thành tần số cao và thấp. Thực hiện đa phân giải trong các chuỗi không gian con sau:
… 𝑉1, 𝑉0, 𝑉−1, 𝑉−2… 𝑉𝑗 ⊂ 𝑉𝑗 −1, 𝑗 ∈ 𝑍 𝑉𝑗 +∞ 𝑗 =−∞ = 𝐿2 𝑅 , 𝑉𝑗 +∞ 𝑗 =−∞ = 0
Ví dụ: Đặt 𝐴𝑗 và 𝐷𝑗 là phép chiếu trực chuẩn trên 𝑉𝑗 và 𝑊𝑗, 𝑊𝑗 là thành phần trực giao với 𝑉𝑗 trong 𝑉𝑗 −1. Cho 𝑓 ∈ 𝐿2(𝑅) thì 𝐴𝑗𝑓 là thành phần xấp xỉ tại mức phân giải 𝑗 và 𝐷𝑗𝑓 là thành phần chi tiết của tín hiệu.
Sử dụng thuật toán hình tháp của Mallat để tính hệ số của phép biến đổi Wavelet rời rạc. Thuật toán này là sự phân tầng các bộ lọc FIR bằng cặp bộ lọc tương phản và lấy mẫu xuống. Đây chính là phân tích đa phân giải, là kỹ thuật lọc số trong quá trình phân tích. Mỗi tín hiệu được phân chia thành 2 thành phần: thành phần xấp xỉ A tương ứng với tần số thấp và thành phần chi tiết D tương ứng với tần số cao thông qua hai bộ lọc thông thấp và thông cao. Bộ lọc thông cao sử dụng hàm wavelet 𝜓 𝑡 , bộ lọc thông thấp sử dụng hàm tỉ lệ 𝜙(𝑡).
Mối quan hệ giữa hàm tỉ lệ 𝜙(𝑥) và hàm wavelet 𝜓 𝑥 :
𝜓 𝑡 𝑑𝑡 +∞ −∞ = 0 𝑇𝑓 𝑛,𝑘 = 𝑓, 𝜓𝑛,𝑘 = 𝑓(𝑡)+∞ −∞ 𝜓𝑛,𝑘(𝑡) 𝑑𝑡 𝜓𝑛,𝑘 𝑡 = 𝑎−𝑛/2𝜓 𝑎−𝑛𝑡 − 𝑘𝑏 𝜓 𝑡 𝑑𝑡+∞ −∞ = 0
(3.7)
(3.8)
Với phương pháp này, ta phân tích tín hiệu 𝑥(𝑛) thành 2 thành phần hệ số: hệ số wavelet 𝑑𝑗(𝑘) (biểu diễn chi tiết của tín hiệu) và hệ số tỉ lệ 𝑐𝐽0(𝑘) (biểu diễn độ thô của tín hiệu), được biểu diễn theo công thức sau:
(3.9)
Trong đó 𝜙 𝑡 là hàm tỉ lệ cho đa scale, 𝜓 𝑡 là hàm wavelet, 𝑗 là chỉ số scale nằm trong khoảng 1, 𝐽0 và 𝑘 là hệ số dịch thời gian.
Các hệ số chi tiết 𝑑𝑗(𝑘) và hệ số scale 𝑐𝐽0(𝑘) được cho bởi các công thức sau:
(3.10)
(3.11)
Trong đó: 𝑛 = 𝜙, 𝜙−1,𝑛 và 𝑔𝑛 = (−1)𝑛−𝑛+1 (3.12) Các phép lọc được tiến hành với nhiều tầng (level) khác nhau và để khối lượng tính toán không tăng, khi qua mỗi bộ lọc, tín hiệu được lấy mẫu xuống 2. Ứng với mỗi tầng, tín hiệu có độ phân giải khác nhau. Do đó, phép biến đổi wavelet rời rạc được gọi là phân tích đa phân giải (MRA, multiresolution analysis).