Ví dụ 4.8.7. Cho z1,2,..., #„ là các số thực không âm có tổng bằng n uà k là số
thực dương tuỳ ú. Hãy tàm giá trị lớn nhất của biểu thúc sau
(Ò Skn—1 = (#iza...t„—1)# + (zazs...=„)* +..+ (#u#i#a...Eu~s)Ê.
() =“= › Chỉ II TP
340 Chương 4. Một số vấn đề chọn lọc về bắt đẳng thức
Kết quả cho câu (2) là
4.9 Bất đẳng thức và các vấn đề mở
Không có phần nào trong toán học mà các vấn đề khó lại luôn được thể hiện dưới các biểu diễn cực kì đơn gián như đối với bất đẳng thức. Nhưng cũng thật kì lạ là trong thế giới những bất đắng thức đơn gián ấy còn rất nhiều mở, không thể giải được trong một thời gian rất dài (đến khi quyển sách này đã được hoàn thành). Sau đây tác giả sẽ giới thiệu một số vấn đề khó, hiện nay chưa có lời giải hoặc chỉ có lời giải trong một số trường hợp đặc biệt. RẤt mong sự trao đổi đóng góp ý kiến của các bạn về các bất đẳng thức này.
4.9.1 Một lời giải hoàn chỉnh?
Bài toán mở 1. Với những giá trị nào của k thà bắt đẳng thức
qẺ bÈ cÑ gk~1 + pk—1 + ck—1 + + 2 a+b b+c c+a 2 luôn đứng uớt trọt ø,b,c > 0. MỘT SỐ KÉT QUẢ.
Như đã đề cập đến ở phần trước, bất đẳng thức đúng với mọi số dương k > 3/2, ở bài toán 2.37 chương II. Tuy nhiên k = 3/2 chưa phải là giá trị tốt nhất của &. Trong bài toán 2.84 chương II ta đã chứng minh bất đẳng thức
ú 4 b 4 C 4 œo+b+c
như + x2 .
g3+b3 bì+c3) cì+@ứ3 2
Điều này cũng có nghĩa là bất đẳng thức đã được chứng minh trong trường hợp k = 4/3. Ngoài ra các bạn hãy tự chứng minh (tương tự như bài 2.84) với k = 5/4 bất đẳng thức
aŠ bŠ c5 ø+b+c