S2 — 2n)a¡ +3 (m— 25))3j.
4.8. Dồn biến không xác định 333 4.8 Dồn biến không xác định
4.8 Dồn biến không xác định
Trong thời gian chuẩn bị hoàn thành cuỗn sách trước khi xuẫt bản, tác giả đã nhận được sự cộng tác và giúp đỡ của rất nhiều các bạn học sinh trên khắp đất nước. Một số kết quả mới
đã được tìm ra, một số bài toán hay đã được bổ sung, trong đó tác giả đặc biệt ẫn tượng với phương pháp dồn biên không xác định và định lí UMV của bạn Định Ngọc An - học sinh chuyên
Toán trường THPT Lương Văn Tụy- Ninh Bình. Chứng minh ban đầu phải sử dụng một số kết
quả toán cao cấp, nhưng sau đó với việc sử dụng bổ để dồn biên mạnh trong chương lll ta có
thể chứng minh được hoàn toàn với kiến thức toán sơ cấp. Sau khi trao đổi thêm với bạn Định Ngọc An và hoàn thiện một sô thiểu sót nhỏ, xin giới thiệu với các bạn về kết quả này như sau.
4.8.1 a>bhay a<b
Đối với các bài toán mở đầu, ta sử dụng một tính chất rất hiển nhiên của tập số
thực # là
Tính chất 1. Với các số thực a,b tuỳ Ú thà ít nhất một trong hai bất đẳng thúc sau
là đúng
®0a>b
sea<b
Có thể mở rộng cho tính chất này với 3 số
Tính chất 2. Với các số thực a,b,c tuỳ Ú uà b > c thà íL nhất một trong hai bắt đẳng thức sau là đứng
eb>ơ sea<Cc
Chứng minh điều này rất đơn giản, nếu cả 2 bất đẳng thức đều sai thì
>b
b =c>a>b>c_ (vôlí)). q<€
Thật đặc biệt là tính chất rất đơn giản và hiển nhiên này lại có ứng dụng rất hiệu quả trong khá nhiều các bài toán bất đẳng thức. Đầu tiên chúng ta sẽ xem xét
lại một bài toán đã được nói tới ở chương trước với một cách nhìn khác.
Ví dụ 4.8.1. Cho z\,za,..., a € [1,2]. Tm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 1 1
334 Chương 4. Một só vấn đề chọn lọc về bắt đẳng thức
LỜI GIẢI. Ta đã giải bài toán với quan điểm hàm lồi, chứng minh sau đây mang
một. tư tưởng khác. Với mỗi ¿ = 1,2,...,n, đặt %¿ = » #¡ và Tị = À)7z¿ ø Ta có Ƒ(1,#a, cá ®n) — ƒ(Œì, Ta... ¡—1; 1,Ø¿+n; ... #n) < 0 1 © (¡+ 6) (n + ¬) <(1+8)(1+7) ‡ Si = DÍT - ) <0 <ế. đị # ?
Cũng tương tự như vậy
ƒ(Œ1,12, . #n) — ƒ(đ1,2,-..; ®i—1L, 2;Z¿+1› ..g #n) < 0 1 «© (1 + S¡) (= + 2) <(2+%,)2+;) ỉ Sĩ %; " ———|< >—— Ẳ© (x¡ — 2) (= s) 0© 1; 3m.
Và từ 2 kết quả trên ta suy ra
ƒ(#t,Z2,..., #n) < max ( ƒ(đ1,Z2, sọ độ 822 sa #a), (1:83; ca đị—1y 2) Đá+o cà #n) ) - Từ đó 3a, aa,..., đ„ € {1,2} sao cho
ƒ(T1,#a, -... ®a) < ƒ(@t, đạ,..., an) V21, #a,..., #„ € [L, 2}. Giả sử £ < n là số các số 1 trong dãy ø\, đa,..., đụ, SUY Ta,
»`
ƒ(ứi, 0a,...., du) = (£ + 2(n — Ê)) ( + “) (2n — £)(n+t£) < ƒ(n) 1 2 2 .. ° THỜ với rx lẻ. ] Trong đó ƒ(n) = ĐRẺ với r, chẵn và
, Ví dụ 4.8.2. Cho z,Z2,..., z„ € [1,2|. Tầm giá trị lớn nhất của biểu thúc z +23 +...+n
T12... Ộ
4.8. Dồn biến không xác định 335
LỜI GIẢI. Với mỗi ? € {1,2,...,n} đặt S¡ = Ð;z¡ #7.
ƑŒ, #2; +5 ®mn) < Ƒ(41,2, sua đ—Ta 1,21: #m) (1) +? + Kˆ 1—3 —_———S . ` "- mi) œ TT <1+6i@( =1) (6i b. >0 m—2 . ©%;È Sa, ¡=0 "Tương tự ƒ(t,2; .. #n) < ƒŒ, T2;--‹› #ị—1› 2, +1) --°) ®m) (2) . -a- + +6y _ 2° + 6i ` n—2 . ©%$%< dat, j=0
Chú ý rằng >7 xy 13 < Xe: 2? xy 13 nên ít nhất một trong hai bất đẳng thức (1) và (2) phải đúng. Làm hoàn toàn tương tự bài toán 4.8.1 ta suy ra kết quả
2” +n_— 5 IMÌ max (#1, #a,...; #m) =
Lời giải hai bài toán vừa trình bày vẫn mang một chút tư tưởng hàm lồi, vì điều kiện ràng buộc các biến khá lỏng (chỉ đơn giản là các biến số thuộc một khoảng nào đó), tuy nhiên đó không phải là ý định chính mà tác giả muốn đề cập đến trong bài viết này và cũng không phải là ý tưởng để xây dựng lời giải ở trên. Phần tiếp sau đây cũng là phần chính của bài viết, trình bày về định lí dồn biến không xác định UMV (lấy theo các chữ cái đầu tiên của cụm từ Undelned Mixing Variables). 4.8.2. Dôồn biến không xác định
Định lý 4.6 (Định lí dồn biến không xác định UMV). Cho ƒ là một hàm lên tục đối xứng súc định trên tập U(C R") > R thoá mãn điều kiện
++ z++
Ƒ(....z,....,...) > min (c2 tà TTĐ "`"...
Khi đó uới mọi bộ (2ì, #a,... na) € U thì
336 Chương 4. Một số vẫn đề chọn lọc về bắt đẳng thức
Trong đó Cc là giá trị của hàm ƒ khi có t số bằng 0 uà các số còn lại bằng nhau.
Nói cách khác, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ƒ(z\,+a,..., #n) sẽ đạt được khi uà chỉ
khi trong các số #,#a,.... e„ có t số bằng 0, các số còn lại bằng nhau. Ở đâu + là một giá trị nguyên nào đó trong {0, 1,...,mn — 1}.
LỜI GIẢI. Để có một chứng minh thực sự sơ cấp cho định lí trên, ta cần sử dụng đến bổ đề dồn biến tổng quát. Xét phép biến đổi sau
e© Chọn ra số lớn nhất và nhỏ nhất giữa các số z,..., #„, kí hiệu là œ và đ. ' se Nếu ƒ(...,œ,....Ø,...) > ƒ(..., sx ¬- ...} thì ta thay các số œ, đ bởi trung
bình cộng của chúng, nhưng vẫn giữ nguyên thứ tự trong dãy.
se Nếu ƒ(...œ,...,Ø,...) > ƒ(...,.0,....œ+ đ,...) thì quá trình dừng lại.
Nếu quá trình trên không dừng lại, theo bổ đề dồn biến tổng quát ta suy ra các số ø¡ đều tiến đến giới hạn
#1 +2zaz+..+z„an
m
Do đó ƒ(#\,Z2,..., #„) > Cn, ta có điều phải chứng minh.
Nếu quá trình trên dừng lại sau một số hữu hạn bước, ta có thể coi trường hợp này
giống như trong dãy ban đầu có một số bằng 0. Lại xét riêng với n — 1 biến còn lại,
bằng phương pháp quy nạp đơn giản ta có đpcm.
Việc dồn biến các biểu thức của z, đối với #‡# và 0,z + không phải là một ý tưởng quá mới, thậm chí ngay trong cuốn sách này phương pháp tương tự cũng được sử dụng tương đối nhiều. Điều bất ngờ ở đây là định lí UMV lại được liên hệ
với hàng loạt những đẳng thức dồn biến kì lạ và đặc biệt. N goài ra, thuận lợi khi sử dụng định lí trên là ta hoàn toàn không cần quan tâm nhiều đến số biến, mà chỉ
cần xem xét với 2 biến. Chẳng hạn, hãy xem lại bài toán sau đây, lưu ý rằng nó đã
từng được chứng minh với định lí IGTI trong phương pháp quy nạp tổng quát. l
Ví dụ 4.8.3. Chứng mình rằng nếu ứ\, da,..., a, là các số thực không âm có tổng bằng n thì
(n — 1)(4Ÿ + độ +... + 02) + naids...dn > nề. Lời GIẢI. Xét biểu thức
4.8. Dồn biến không xác định 337
Đề dàng suy ra hai đẳng thức sau
đị+:da ơi +da
f(ei,aa,...m) = ƒ (HỆP ca, san) 2` 2 m(di — aa)2 (2(n — 1) TỐ 4 — ( ƒ(ai, đạ,..., đ„) — ƒ(Ú, ai + dạ, đa, ..., đợ) 2(n~— 1 —= —TfI0102 “ — 064.-an .
Rõ ràng biểu thức 2m—1) Ù ~ øạa4...a„ đã được lặp lại khá tình cờ trong 2 cách dồn biến trên. Từ đó suy ra ít nhất một trong hai bất đẳng thức
Ưng .. đ„) > Ƒ (114, t2 da, ca đạ}
ƒ(ứi, dạ,..., a„) > ƒ (0, ai + ga, đạ,..., đụ)
— agai..en ›
phải đúng. Vậy
đ+i+02 ơi +úa
2` 2
ƒ(œ, dạ, .. đạ) > min ni y đầy c..; đn), (0, đ1 + 02, G3,...; s2) .
Theo định lí UMV, ta chỉ cần chứng minh bài toán khi có ít nhất một trong n số
đị, đạ,..., dạ, bằng 0 hoặc tất cả các số đều bằng 1. Trong các trường hợp này bất
đẳng thức hiển nhiên đúng. Ta có đpem. L
Và sau đây là bài toán tổng quát cho bài toán trên
Ví dụ 4.8.4. Cho #Ị,za,..., zn là các số thực không âm có tổng bằng n uà mm là một số nguyên dương cho trước. Tìm số thực dương k tốt nhất (lớn nhất) sao cho bắt đẳng thúc sau đâu luôn đứng
+1 +3! +... + an + E(đi1a...gạ — 1) > n.
LỜI GIẢI. Ta chứng minh tương tự như ví dụ 4.8.3 và tìm được
n m
k=k» = (TT) —m. Cl
Sau đây là một mở rộng khác cho bài toán 3.1.17, bài toán đã được nhắc tới
trong chương II về phương pháp dồn biến mạnh đối với 4 số.
Ví dụ 4.8.5. Tìm hằng số dương k = k„ạ, tốt nhất để bất đẳng thúc sưu đứng với
mợi dãu số thực không âm #\, xạ,..., #„ có tổng bằng n
338 . Chương 4. Một số vấn đề chọn lọc về bất đẳng thức
LỜI GIẢI. Đặt.
đa(đ1,2,...) 8) = (1 + m+i)(1 + m2a)...(1 + tân) — Ku#12...đa.
Với mỗi ¿ # 7 và ¡,j € {1,2,...,n} đặt
-8u = J0 + m2, l#2,j l#2,j
1; = l]
l#2j
Để cho gọn, ta kí hiệu Š = 6S; ;,7' = 7¡;. Dễ thấy rằng
%¿ + Zj %¡ + #j =) xương Ủy fm(đl,... #ị,..., Độc ..c 8a) S (sa. DĐ Ha Ta - . 2 - „ 2 ` +. ẦS§ (1 + mz¿)(1 + mz;) — (+»(5) +k„„T Gai — gi <0 —8m? k„T TT đi — #)” + “(am ~ z¡)” <0 Ẳ© k„T < Sm?. (1) Mặt khác, ta cũng có đn(đ1, -..: Tị, "- ‹ò #m) S ƒ(đ1,...,Ú,..., ¿+ #7, ..., #n) © S[( + mz;)(1 + mz;) — (1 + m(3¿ + #/))Ì — km#¿zj <S 0 -Ầ> Sm?+;¡z; — km1 ¡2; <0 ©k„ạT > Sm2. (2) Và rõ ràng từ các kết quả (1), (2) suy ra
đa(#1,‹c{ 8y... #7, c..y #n) man|
ƒ(ì,...,Ú,..., đ¿ + #7, ..› #n)
`
Và do đó biếu thức ƒ,„(Z,..., zn) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi #ị = #a =... = #n hoặc ít nhất có 1 trong các số #, zs,..., z„ bằng 0. Từ đó dễ dàng suy ra kết quả là m — Ì mn rr—Ì max fm(#1, #2, ..n #n) = max (œ + 1)” T km, + ) . Vậy hằng số k„, tốt nhất cần tìm là Tu? )h1, q (m+1)"~(1+
4.8. Dồn biến không xác định 339
Ví dụ 4.8.6 (TMO Shortlist). Cho a,b,c, đ là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng trinh bất dẳng thức
1 176
b dab < T6 The
obc - becd + của + dab srT 2y abG d.
LỜI GIẢI. Xét
1 ƒ(a,b,c, đ) = abe + bcd + của + dab — Ta abcd ƒ(a,b,c, đ) = abe + bcd + của + dab — Ta abcd
= db(e + đ) + cd(a + b) — Hồn d. 27 Dễ thấy, b f(eb,ed)< ƒ (“”.T$ sex) (a + b)2 „ 176 (a + b)? 176 n _ ————- < —củ < . ©e(ec+d) (ø 1 + cả P ab]<0© nựcd<c+ở
ƒ(a,b,e,đ) < ƒ(0,a+ b,e, đ)
tờ ab(e + d— can đbed) < <0œe+d< can củ
Từ các chứng minh trên suy ra
ƒ(a,b,c, đ) < max ự “s .+o
2 2
VÓ, 4). /(0,a+b,e,4)).
Theo định lí UMV suy ra max ƒ(6, b,c, đ) đạt được khi trong các số ø, b, c, d có một
số bằng 0 hoặc ø = b = c= đd = 1. Từ đó ta có đpcm. O1
Nhận xét. Phương pháp tương tự có thể được sử dụng để chứng minh bài toán
tổng quát hơn sau đây
Cho các số thực không âm œ\,xa,....=ạ có tống bằng n. Tìm hằng số dương k = ka tốt nhất để bất đẳng thúc sưu luôn đứng
1
1 1
122...8, | — +>—+¿.+— | <Sn+ka(#12..-#u — 1).
TỊ +2 tụ
Phần cuối cùng của bài viết các bạn hãy chứng minh bất đẳng thức sau đây, nó