mô hình
Cho không gian afin An+1(K) = (A, Vn+1, Φ) liên kết với K, không gian vectơ Vn+1. Gọi An là một siêu phẳng của An+1, ph−ơng của Vn
⊂Vn+1. Xét P= An
∪[Vn]. Chọn O ∈An+1, O ∉An. Gọi B là bó đ−ờng thẳng trong An tâm O.
Ta có: B là không gian xạ ảnh n chiều. Xây dựng song ánh: p’: B→P nh− sau:
+ Nếu đ−ờng thẳng d của bó B cắt An tại điểm D thì p’(d) = D. + Nếu d// An tức là d ⊂ Vn thì đặt p’(d) = < d >. Bằng cách đó: Tập P = An
∪[Vn] là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với Vn+1. Trong không gian đó, mỗi mặt phẳng sẽ là :
Hoặc tập hợp Am
∪[Am] trong đó Am là phẳng của An.
+ Hoặc tập hợp [ Vm+1] với Vm+1 là không gian vectơ con của Vn+1.
3.1.2. Mô hình xạ ảnh của không gian afin
Cho Pn (n≥1) là không gian xạ ảnh liên kết với K - không gian vectơ Vn+1. Gọi ∆ là 1 siêu phẳng nào đó của Pn. Đặt An= Pn \ ∆. Lấy 1 mục tiêu xạ ảnh {Si; E}cuả Pn mà S1, S2, …Sn ∈ ∆. Khi đó siêu phẳng ∆ có ph−ơng trình xo= 0. Điểm M∈An thì M có tọa độ (x0: x1:…: xn) trong đó xo ≠ 0 vì (M không thuộc ∆). Bởi vậy nếu ta đặt Xi =
0
x xi
với i=1, 2, …n thì ta đ−ợc 1 bộ sắp thứ tự gồm n số (X1, X2, …, Xn)_với Xi ∈K.
Nó đ−ợc gọi là tọa độ không thuần nhất của M đối với mục tiêu xạ ảnh cho. Ký hiệu (X , X , …, X).
Ta đã biết không gian véctơ n chiều Kn (trên tr−ờng K): Lập ánh xạ Φ: An xAn
→Kn theo quy tắc:
Cho M(X1, X2, …, Xn), N(Y1, Y2, …, Yn) ∈An theo tọa độ không thuần nhất thì Φ(M, N) = (Y1-X1, Y2-X2, …,Yn- Xn)∈Kn.
ánh xạ Φ thõa mãn hai tính chất : (i), M ∈An và v
∈Kn thì tồn tại !N ∈ An sao cho Φ(M N, ) = v
(ii), Mọi M, N, L ∈ An thì Φ(M N, )+ Φ( , )N L = Φ(M L, ).
Vậy An là 1 không gian afin liên kết với Vn bởi Φ. Ta gọi không gian afin này là mô hình xạ ảnh của không gian afin n chiều tổng quát trên tr−ờng K và ký hiệu An
p(K) hay An p.
Siêu phẳng ∆ gọi là siêu phẳng tuyệt đối (siêu phẳng vô tận)của Anp. Mỗi điểm của ∆ gọi là điểm vô tận đối với An
p.
3.1.3. Các phẳng mô hình
Cho m - phẳng xạ ảnh U của Pn không nằm trên siêu phẳng ∆. Giả sử m - phẳng U có ph−ơng trình đối với mục tiêu {Si, E} là :
0
n
j=
∑ uijxj = 0 i=1, 2... n - m.
Trong đó ma trận (uij) i=1, 2…, n - m; j=0, 1…n. có hạng bằng n - m.
Vì U không nằm trên siêu phẳng ∆ nên khi ta thêm vào hệ ph−ơng trình trên một ph−ơng trình thứ n – m + 1 là x0 = 0 (là ph−ơng trình của ∆). do vậy ma trận (Uij) i=1, 2…n - m
j = 0, 1, 2…n có hạng bằng n - m.
Nếu đặt U’= U\ ∆ thì mỗi điểm M∈U’ có tọa độ M (x0: x1:…: xn) thỏa mãn hệ n - m ph−ơng trình trên đồng thời x0≠0, suy ra tọa độ afin (X1, X2, …, Xn) của M thỏa mãn hệ ph−ơng trình:
1
n
j=
Trong đó ma trận các hệ số có hạng bằng n - m. Chứng tỏ U’ = U\ ∆ là 1 m - phẳng afin của không gian An. Vậy mỗi m - phẳng của Pn mà U không nằm trên siêu phẳng ∆ sinh ra 1 m - phẳng U’ afin của không gian An. Ng−ợc lại mỗi m - phẳng U’ afin của không gian An đ−ợc sinh ra bởi một và chỉ một m - phẳng của Pn.
Hai đ−ờng thẳng phân biệt song song của Anp. đ−ợc sinh ra bởi hai đ−ờng thẳng phân biệt của Pn cắt nhau trên ∆.
3.1.4. Thể hiện của tỉ số đơn
Trên mô hình An = Pn \ ∆của không gian afin cho 4 điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C, D. Đối với mục tiêu xạ ảnh đã chọn (khi xây dựng mô hình).
Giả sử tọa độ của A, B là :A (1: a1: a2:…: an); B(1: b1: b2:…: bn). Khi đó tọa độ của điểm C, D là :
C = (k1+l1: k1 a1 +l1b1: k1a2 +l1 b2 :…: k1an +l1bn); D = (k2+l2: k2 a1 +l2b1: k2a2 +l2 b2 :…: k2an +l2bn); Ta có [A, B, C, D] = 2 1 2 1 : k k l l
Với mục tiêu afin sinh bởi mục tiêu xạ ảnh trên, tọa độ afin của các điểm A, B, C, D là: A = (a1: a2:…: an); B = (b1: b2:…: bn) ; C = (c1: c2:…: cn); D = (d1: d2:…: dn). Trong đó : 1 1 1 1 i i i k a l b c k l + = + , 2 2 2 2 i i i k a l b d k l + = + với i = 1,2,…,n Từ đó ta có: 1 1 1 ( i i) i i l a b a c k l − − = + ; 1 1 1 ( i i) i i k a b b c k l − − − = +
Theo định nghĩa tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng trong không gian afin ta có:
[ ] 1 1 , , l A B C k = − T−ơng tự ta có: [ ] l
Vì vậy: [A B C D, , , ] [= A B C, , ] [: A B D, , ].
Hệ quả
Nếu lấy 4 điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C, D. Trong đó D nằm trên đ−ờng thẳng ∆ thì k2 + l2= 0⇒ [A, B, C, D] = [A, B, C].
Tức là tỉ số đơn [A, B, C] là tỉ số kép [A, B, C, D] trong đó D là điểm vô tận của đ−ờng thẳng afin đi qua A, B, C.
Đặc biệt nếu C là trung điểm của AB tức [A, B, C] = -1 khi và chỉ khi A, B chia điều hòa C, D.
3.1.5. Diễn tả các phép biến đổi afin trên mô hình xạ ảnh của không gian afin.
Ta có các định lý sau :
Định lý 1: Mỗi phép biến đổi xạ ảnh fp: Pn
→ Pn bảo toàn tỉ siêu phẳng vô tận
∆ tức là fp(∆) = ∆, sinh ra 1 biến đổi afin fA: An
p →An
p theo quy tắc ∀M∈An
p thì fA(M) = fp(M).
Định lý 2: Với mỗi biến đổi afin fA: An
p →An
p có một biến đổi xạ ảnh duy nhất fp: Pn
→ Pn sinh ra fA theo quy tắc fA(M) = fp(M),∀M∈An p.
3.1.6. Siêu mặt bậc hai xạ ảnh và afin
Không gian xạ ảnh Pn với mục tiêu xạ ảnh {S0, S1, …, Sn ; E} và không gian afin An= Pn \ ∆. Trong đó ∆ là siêu phẳng xạ ảnh x0 = 0.
Giả sử Sp là 1 siêu mặt bậc hai trong Pn có ph−ơng trình đối với mục tiêu đã chọn là:
,
n i j o=
∑ aijxixj = 0 (*)
Gọi SA = SP\ ∆ thì các điểm của SA có tọa độ afin (đối với mục tiêu xạ ảnh sinh bởi mục tiêu xạ ảnh đã chọn) thỏa mãn ph−ơng trình :
, 1 n i j= ∑ aijXiXj +2 1 n i= ∑ a0iXi +a00= 0 (**)
Nếu các aij (i, j = 0, 1, 2…, n) không đồng thời bằng 0 tức là ∆ không nằm trên Sp thì SA là siêu mặt bậc hai afin trong không gian An.
Ng−ợc lại nếu SA có ph−ơng trình (**) trong 1 mục tiêu afin của An thì bằng cách đặt Xi =
0
x xi
ta đ−ợc ph−ơng trình (*), xác định cho ta một siêu mặt bậc hai xạ ảnh Sp đốivới mục tiêu xạ ảnh sinh ra mục tiêu afin đã chọn.
Mỗi siêu mặt bậc hai xạ ảnh Sp không chứa siêu phẳng ∆sinh ra một siêu mặt bậc hai afin SA = SP\ ∆. Hạng của Sp bằng hạng của SA. Nh− vậy SA không suy biến khi và chỉ khi Sp không suy biến. Ng−ợc lại mỗi siêu mặt bậc hai afin SA của An đ−ợc sinh ra bởi một và chỉ một siêu mặt bậc hai Sp của Pn trong đó Sp không chứa ∆.
Nếu Sp và S’p là hai siêu mặt bậc hai xạ ảnh không chứa ∆ thì hai siêu mặt bậc hai afin SAvà S’A sinh bởi Sp và S’pcùng một loại afin khi và chỉ khi Sp và S’p cùng lọai xạ ảnh và Sp∩ ∆, S’p∩ ∆ là hai siêu mặt bậc hai xạ ảnh không chứa ∆. Thì hai siêu mặt bậc hai cùng loại xạ ảnh của không gian xạ ảnh ∆.
+ Điểm I là là tâm của SA khi và chỉ khi I liên hợp với mọi điểm của
∆đối với Sp. Nói riêng nếu SA không suy biến thì I là tâm của SA⇔ I là cực của ∆ đối với Sp.
+ Ph−ơng 1 chiều d của An là ph−ơng tiệm cận của SA khi và chỉ khi d xác định bởi một điểm vô tận D của Sp,tức là D ∈ Sp ∩ ∆.
+ Nếu ph−ơng 1 chiều e của An không là ph−ơng tiệm cận của SA. Và đ−ợc xác định bởi điểm vô tận E thì siêu phẳng kính liên hợp α’=α\ ∆ của SA đối với ph−ơng e đ−ợc sinh ra bởi siêu phẳng đối cực α của E đối với Sp.
+ Siêu phẳng afin α’=α\ ∆ là siêu phẳng tiếp xúc của SA tại M∈α’ khi và chỉ khi v là siêu phẳng tiếp xúc của Sp tại M ∈α .
*Đ−ờng Ovan trong mặt phẳng afin thực:
Gọi ∆ là đ−ờng thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2 và A2 = P2\ ∆: Nếu (Sp) là đ−ờng ôvan trong P2 thì trong A2 SA= SP\ ∆ là:
Đ−ờng elip nếu (Sp) không cắt ∆.
Đ−ờng hypebol nếu (Sp) cắt ∆ tại 2 điểm phân biệt. Đ−ờng parabol nếu (Sp) tiếp với ∆.