nằm trên đ−ờng thẳng cố định
2.4.1. Ph−ơng pháp dùng tính chất của phép chiếu xuyên tâm, xuyên trục
Để áp dụng đ−ợc ph−ơng pháp này trong bài toán chứng minh đ−ờng thẳng đi qua điểm cố định, điểm nằm trên đ−ờng thẳng cố định chúng ta phải xây dựng đ−ợc một t−ơng ứng sao cho đ−ờng cần chứng minh (điểm cần chứng minh) là đ−ờng nối 2 điểm t−ơng ứng (giao của hai đ−ờng t−ơng ứng). Sau đó chứng minh t−ơng ứng đó là phép chiếu xuyên tâm (phép chiếu xuyên trục) thông qua việc xét giao của 2 hàng điểm (đ−ờng nối 2 điểm).
Ta sử dụng các tính chất sau của phép chiếu xuyên tâm và phép chiếu xuyên trục.
Nếu f là phép chiếu xuyên tâm xác định thì đ−ờng nối 2 điểm t−ơng ứng luôn đi qua tâm chiếu.
Nếu f là phép chiếu xuyên trục xác định thì giao điểm 2 đ−ờng t−ơng ứng luôn nằm trên trục chiếu cố định.
Bài tập minh hoạ
Bài 2.4.1.1. Trong P2 cho hai đ−ờng thẳng phân biệt d, d’. Hai điểm phân biệt A, B không thuộc d, d’. Một đ−ờng thẳng a thay đổi đi qua A cắt d, d’ lần l−ợt tại D, D’. Đặt M = d’∩BD; N = d∩BD’.
Chứng minh rằng: Các đ−ờng thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bài giải
Đặt O = d∩d’; D0 = d∩AB; D0’ = d’∩AB (Hình 2.34).
Xét các phép chiếu xuyên tâm B: g: d→d’
N֏D’ O֏O
Xét phép chiếu xuyên tâm A: h: d’→d
D’֏D O֏O
Xét phép chiếu xuyên tâm B: k: d→d’
D֏M O֏O
Vậy f= k.h.g là ánh xạ xạ ảnh mà f(0) = 0. Do đó f là một phép chiếu xuyên tâm. Dễ thấy f(D0) = D0’
⇒Tâm chiếu của f là P = D0D0’∩MN tức là MN luôn đi qua điểm (P) cố định.
Bài 2.4.1.2. Trong P2 cho hai đ−ờng thẳng phân biệt m, n và ba điểm A, B, C không thuộc m, n. Một đ−ờng thẳng a thay đổi đi qua A. Gọi M = a∩m; N = a∩n; BM∩n = N’; CN∩m = M’
Chứng minh rằng: đ−ờng thẳng M’N’ đi qua một điểm cố định
Bài giải
O = m∩n (Hình 2.35)
Xét phép chiếu xuyên tâm B: f1: n→m
N’֏M O֏O
Xét phép chiếu xuyên tâm A: f2: m→n O M M’ N N’ m a n A C B d d’ O A Do Do’ B D D’ N Hình 2.34 M
Xét phép chiếu xuyên tâm C: f3: n→m N ֏M O֏O Xét f = f3.f2.f1: n→m là ánh xạ xạ ảnh N֏M’
f(O) = O = m∩n ⇒f là phép chiếu xuyên tâm
⇒M’N’ luôn đi qua tâm chiếu S cố định.
Bài 2.4.1.3. Trong P2 cho hai đ−ờng thẳng phân biệt d, d’; hai điểm phân biệt A, B không thuộc d,d’ và một điểm M chạy trên d.
Đặt M’ = AM ∩d’; N’ = BM ∩d’
Chứng minh rằng: N = AN’∩BM’ chạy trên một đ−ờng thẳng cố định Bài giải
Đặt O = d∩d’ (Hình 2.36). Ta có:
Xét: g: BM’֏M’ (phép cắt chùm B bởi đ−ờng thẳng d’) h: M’֏M (phép chiếu xuyên tâm d’→d bởi tâm A) k: M֏N’ (phép chiếu xuyên tâm d’→d bởi tâm B) l: N’֏AN’ (phép nối: d’→{A} bởi tâm A)
f = l.k.h.g : {B}→{A} BM’֏AN’ Vậy f là ánh xạ xạ ảnh. Đặt M0 = d∩AB; M0’ = d’∩AB. Ta thấy khi M ≡ M0 thì M’ ≡ N’ ≡ M0’ nên f(BM0’) = AM0’ tức f(BA) = AB Vậy f là một phép chiếu xuyên trục. Suy ra N chạy trên trục ∆ của f.
O M M’ M0’ N’ Mo A N B d’ d Hình 2.36
Khi M≡O thì M’≡N’≡O. Do đó: N≡O
⇒N chạy trên một đ−ờng thẳng ∆ đi qua O.
2.4.2. Ph−ơng pháp dùng định lý Pascal và định lý Frêgiêr
Vận dụng định lý Pascal, các tính chất và dựa vào giả thiết,suy ra kết luận của bài toán.
Để áp dụng đ−ợc định lý Frêgiê chứng minh điểm nằm trên đ−ờng thẳng cố định cũng nh− đ−ờng thẳng đi qua điểm cố định ta phải xác định đ−ợc ánh xạ xạ ảnh sao cho ánh xạ đó cùng với những yếu tố cần chứng minh thỏa mãn yêu cầu của định lý.
Bài toán minh hoạ
Bài 2.4.2.1. Cho đ−ờng bậc hai không suy biến (S), điểm A∈(S). Hai đ−ờng thẳng phân biệt cố định u,v qua A. Hai đ−ờng thẳng biến thiên m,n qua A sao cho [u, v, m, n] = -1. Gọi M là giao điểm thứ hai khác A của m đối với (S), N là giao điểm thứ hai khác A của n đối với (S). Từ M, N kẻ các tiếp tuyến p, q t−ơng ứng với (S).
CMR: p∩q thuộc 1 đ−ờng thẳng cố định.
Bài giải
Xét f: {A} →{A}
Am →An = f(Am) sao cho [u, v, m, n] = -1. Thế thì do [u, v, m, n] 1 1
[u, v, n, m]
= = − nên [u, v, n, m] = -1 nên f(An) = Am. Vậy f là phép đối hợp khác pháp đồng nhất. Do đó theo định lý Frêgiêr đ−ờng MN luôn đi qua 1 điểm cố định F. Gọi đ−ờng đối cực của F đối với (S) là d.Khi đó d cố định. Dễ thấy p là đối cực của M, q là đối cực của N nên p∩q là cực của MN đối với (S).
Vì MN luôn đi qua F nên cực p∩q của nó luôn nằm trên d là đối cực của F.
Chứng minh rằng: đ−ờng thẳng B’C’ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài giải
Xét hình 6 đỉnh ACCBBD nội tiếp ôvan (S). Theo định lý Pascal các điểm sau thẳng hàng: AC∩BB = B’; CC∩BD = C’; BC∩AD = M. (Hình 2.37)
Do đó A, B, C, D cố định ⇒BC∩AD = M cố định. Vậy B’C’ luôn qua M cố định.
Bài 2.4.2.3. TrongP2 cho 2 điểm (có thể trùng nhau) A, B và 1 ánh xạ xạ ảnh f: {A}→{B} m→m’; n→n’… Một đ−ờng bậc hai không suy biến (G) đi qua A, B cắt m, n tại M, N, cắt m’, n’ tại M’, N’. Chứng minh các giao điểm MN’∩M’N nằm trên 1 đ−ờng thẳng d cố định nào đó.
Bài giải
Tr−ớc hết ta lấy ba đ−ờng thẳng phân biệt: p, q, r của chùm {A} và ảnh
p’, q’, r’ thuộc chùm {B}. Giả sử p, q, r, p’, q’, r’ lần l−ợt cắt (S) tại P, Q, R, P’,Q, R’. áp dụng định lý Pascal vào hình 6 đỉnh PQ’RP’QR’ ta đ−ợc ba điểm PQ’∩P’Q; Q’R∩R’Q; P’R∩R’P thẳng hàng trên một đ−ờng thẳng d nào đó Vì f là ánh xạ xạ ảnh nên [p, q, r, m] = [p’, q’, r’, m’]
Do đó: [P’P, P’Q, P’R, P’M] = [PP’, PQ’, PR’, PM’]
⇒P’M∩PM’ phải thẳng hàng với PQ’∩P’Q; RP’∩R’P tức là P’M∩PM’∈d. Cho N đóng vai trò M ta đ−ợc P’N∩PN’∈d
Lại áp dụng định lý Pascal vào hình 6 đỉnh P’MN’PM’N ta đ−ợc P’M∩PM’; MN’∩M’N; N’P∩NP’ thẳng hàng, Vậy MN’∩M’N nằm trên đ−ờng thẳng d cố định B’ A C B C’ M Hình 2.37 D
Ch−ơng 3.
mối liên hệ giữa An và Pn