Desai va Abel (1972) [ 3 2 1 (lã kê ra nhũng bước cơ bán trong phương pháp phần tử hữu hạn như sau:
1. Rời rạc hoá khối liên tục.
2. Lựa chọn các mổ hình hién số cua trường. 3. Tìm các phương trình p h a n lư hữu hạn.
4. Tập hợp các phương trình đại số cho toàn bó khối liên tục đã rời rạc hoá. 5. Giải cho vector của các biên của trường tại nút.
6. Tính toán các két quá cua lừng phần tử từ biên độ các biến của trường tai nút. Những bước này sẽ được sứ dung trong việc phát triển mô hình dòng cháy mặt và dòng chảy trong sồng.
1. Ròi rực hoá khôi Hớn lì..-: Khối liên tục. tức là hệ thông vật lý đang nghiên cứu được chia thành một hộ Ihoni’ ni'oii'j (lươiiiì <iỏm nluìníi phán tử hữu han. Việc rời rạc hoá thực sự là một quá trình cân nhác vì số lươnu. kích thước và cách sắp xếp của các phần tử hữu hạn đều cỏ liên (|WUÌ1 ilcn chúng. Dù vậy cần xác định một phần tứ sao cho bảo toàn được tính chất dons: nhã! ihu\ vãn trong mỗi phần tứ. Tính chất đổng nhất thuỷ lực cũng là một mục tic:; villi U'm xét uẽp theo khi tạo ra lưới. Có thê sứ dung một sô lượng lớn các phán I li nhuv.Ịi 'O lượn í! các phan tư thường han ché do những
(A) (B)
điều kiện ràng buộc thời gian va kinh phí.
Một lưu vực giả thuyêt đươc su (lung đê minh hoạ cho quá trình này. Lưu vực bao gồm một dòng chính và một nhánh lớn. Cá hai nhánh này đều được đưa vào sơ đồ dòng chảy. Ba lưu vực con hay bãi dòng chay trẽn mặt được xác định. Ngoài ra, ba kênh có thể được xác định. Dù vậy. bát kỳ số lượng bãi dòng chảy bề mặt hay kênh có thê xác định nêu như có sô liệu mặt cãt nnaiiíi của kênh. Trên hình 2.2B, những đường đậm là ranh giới gần đúng của Ill'll YIIV và các hãi dòng cháy mặt.
Bước tiên hành tiêp theo ỉa xác định các thành phần cúa kênh. Cách thức đơn giản nhất là chia mỗi một trong 3 kênh thành một số lượnc các đoạn bằng nhau thích hợp. Từ những nút của các phán tư kóiili nàv ké các các đường ra phía ngoài làm ranh giới của các lưu vực con thành mội phân lu' kênh. Trong trường hợp có một lưu vực thực tế
thì c á c b ả n đ ồ đ ị a h ì n h c ú a klui MIC sẽ c u n g c á p c ơ s ớ c h o việc v ạ c h ra c á c ra n h giới
này. Các đường này xác định các (lái iron” đó dòng cháy mật diễn ra một cách độc lập với các dải khác và theo Inrớn : vuóni! uóc với dòng cháv trong các phán tử kênh. Khái niệm này cho phép có ihê sử chill" việc phân tích một chiồu. Các phẩn tử bố sung được
hình t h à n h b ằ n g c á c h vẽ c á c ilườiii: son LI s o n g với c á c p h á n t ừ k ê n h , b à n g c á c h đ ó c hi a
mỗi một dải thành một hộ Ihuii j các phan tứ.
Xét hãi dòim cháy mặt ìhứ nh;it. quá trình íiiái là quá trình phân tích phán tử hữu hạn cho từng dai với mưa VƯIV! iliam l;i đáu vào đẽ tìm ra dòng cháy mặt cháv vào kênh dẫn. Sau đó phân tích phán tu hữu hạn cho kenli dan dược thực hiện tương tư như với một dải dòng cháy mặl riỏHL lé tie lìm ra lưu lượn í! trong kênh dẫn tại vị trí các nút phần tử kênh. Qu á trình này ill lực lap lai cho các bãi đ òn s cháy còn lại đê tìm được quá trình lưu lương tại nút hạ lưu C;UI lean hộ lưu vực.
V i ê c đ á n h s ô đ ú n t i c á c plum tư hai đ ò i m chÚY sẽ chi ra đ ư ợ c c h í n h x á c t ừn g p hầ n
tử, dải và bãi d ò n s cháy. The ) liu ill. lien hình 2.2B. các số La Mã biếu thi các bãi dòng chảy, các chữ in hoa bic I ihi các dai và các chữ sô thường biếu thị các phần tứ trong dải.
2 . L ự a c l i ọ n m õ h ì n h h : . V , , / < / t r ư ờ n g : B ư ớ c n à y b a o g ồ m v i ệ c l ư a c h o n c á c
m ẫ u g i á đ i n h về c á c b i c n CU.I ''M'1 roiiLi ùniL! p hun tư và ÍZÚn c ác n ut c h o tưng p h ả n
tử. Các hàm số m ò phonii xáp '.1 s 11 ho' cua các bióii cua trường trong từng phán tư
hữu h ạ n là c á c pluíơiii! t r ì n h lniv cloiin h ọc iI J11 lục và đ ó n g lượng. H ệ p h ư ơ n g trinh
Phương trình liên Lục:
âQ cA
f + f - " = 0 <2 6 »
Phương trinh động lượn”
âQ õ_
ã ãn
q
= gAiS - s ) - (2.7)
fX
trong đó: Q - Lưu lượng trên bãi dòng chay trên mật hoặc trong kênh; q - dòng chảy bố sung ngang trên một đơn VỊ chiêu dãi của bãi dòng chảy (mưa vượt thấm đối với bãi dòng chảy trên mặt và và đáu ra cua (IÒI1ÍI cháy trên mặt đối với kênh dẫn); A- Diện tích dòng chảy trong hãi dòng cháy trôn mặt hoặc trong kênh dẫn; X- khoảng cách theo hướng dòng chảy; t thời gian: ‘2 gia lốc nong trường: s độ dốc đáy của bãi dòng chảy; Sf độ dốc ma sát; V độ sáu đ ò n : ’ c h ; i \ .
Việc xấp xí sóng dỏníi 1U’J tỉươc áp (!ụiiii đối VỚI phương trình động lượng. Đó là sự lựa chọn tốt nhất vì các đicu kicn hicn và đicu kiện ban đấu chí cần áp dụng đối với phương trình liên tục. Tính (illnu chỉn cua cỊiiá trình này đã được nói đến trong nhiều tài liệu (Lighthill và William. 1955: Woolhiscr và Liíiiiett. 1967) [1,13, 32].
Việc xấp xỉ đ ộ n a học đòi hoi SƯ cán bănu ỉiiữa các lực trọng trường và quán tính trong phương trình dỏ 1112 lượni: \ à doiiL! chay là hàm số chi phu thộc vào độ sâu. Do đó
phương trình động lượníi có ill ' nil iiọn \'C dạnn:
s = sf (2.8)
Phương trình (2.1 ) có thi- biẽii (ỈICI1 ilưới dạng phương trình dòng chảy đều như
phương trình Chezy hoặc trình Manning dược chon cho việc giái
này:
Q = - R 2I\ S u 2 .\ (2.9)
n
trong đó: R - bán kính thuv luc (i ll'll Iìch/chn M iról): lì- hệ số nhám Manning.
Sau khi xấp xi só 1 1 12 ciônu iioc sò còn hú luii biên cúu trường cũn xác đinh là A và Q. Cả hai đều là nhữnn dại h i ' »'!!'- có luronii. cỉo \'ậy có ihê áp dụng sơ đỏ mót chiêu. Khi được biêu diẻn iroiiii diiii- .ill Uii ;ic tỉicm nut. A \'à Q có thẻ dược COI là phán bó trong từng phần tử theo \ nil! 'i:
i ' ỵ . h - V '• (-VI. \ (/) = Ị.v]í A í (2.10)
/
Q(XJI * ọ Ị.X.!) — y N I(X)QI, ơ ) = [n]{ổ}
I = \
(2.11)
trong đó: Ai(t) - diện tích, là hàm sò chi phụ thuộc vào thời gian; Qi(t) - lưu lượng, hàm sô chi phụ thuộc vào thời gian: Ni(x) - hàm sỏ nội suy; n - số lương nút tron° một
phần tử.
Đ ố i với m ộ t p h á n tử cUi'on'j m o l c h i ề u , lì - 2 và:
A* (x,t) = N,(x)A,(i) + i\\. ị( \-)A + 1(1) (2.12)
Q*ịx, t) = N, ( x ) Q, ( /) + /V .. ,ÌX)Q - r l d ) (2.13)
trong đó: N'(x) = — — - và /V (,\ ) = — với .V € ( x i, A7 + 1)
A.V, A.V
Các hàm nội suy thường được coi là các hàm toạ độ vì chúng xác định mối quan hệ giữa các toạ độ tổng thó’ và dịa phưoìiL! hay tự nhiên. Các hàm nội suy đối với các phần tử đường đã được bàn luận urơny dối kỹ ironII nhiéu bài viết về phần tử hữu hạn (Desai
và A b e l , 1972; H u e b n c r . 19 7 5 ìỊ 1. 21]
3.Tìm hệ plìiíon" Iriiìi: /’hn/1 IIÍ lìíni han: V iệ c tìm các phương trình phần tử hữu
hạn bao gồm việc xây dưiiíi lìv pillion; trinh dại so lừ tập hợp các phưưng trình vi phân
cơ bản. Có bốn quy uinh Jil'o'i sứ (lụng nliãt là phương pháp trực tiếp, phương
pháp cân bằng năng lượim. phưón ■ pháp hiên thiên và phương pháp sô dư có trọng số.
Phương pháp sô dư có Irọn 12 se cu;i ( ìalerkin (lược dùim đế thiết lập các phưưng trình vì
nó đã chứng tỏ là một phươnt! pỉuíp loi dối với các bài toán về dòng cháy mặt (Judah, 1973; Taylor và nnk, 1974)133 ị.
Phương pháp Galerkin cho rãn!Ị lích phan:
j . v / * / / ; = ( ) ( 2 . 1 4 )