Một hình thức yếu hơn tính độc lập là tính phi tương quan (uncorrelatedness). Hai biến ngẫu nhiên y1 và y2được gọi là phi tương quan khi hiệp phương sai của chúng bằng không:
{ }
1 2 1 2 1 2
cov( , )y y =E y y −E y E y{ } { } 0= (2.14)
Nếu các biến ngẫu nhiên là độc lập thì chúng phi tương quan; Với hai hàm bất kỳ h1 và h2, ta có:
1 1 2 2 1 1 2 2
{ ( ) ( )} { ( )} { ( )}
E h y h y =E h y E h y (2.15)
Bằng cách thay h1(y1) = y1 và h2(y2) = y2 ta thấy ngay tính phi tương quan. Mặt khác, tính phi tương quan không suy ra được tính độc lập. Ví dụ, giả sử các cặp (y1,y2) có phân bố mà các cặp (0,1), (0,-1), (1,0), và (-1,0) có xác suất ¼. Khi đó y1 và y2 là phi tương quan. Hơn nữa
2 2 2 2
1 2 1 2
{ } 0 1/ 4 { } { }
và do đó các biến là không độc lập.
Một tính chất hơi mạnh hơn so với tính phi tương quan là tính trắng hóa (whitness). Tính trắng hóa của một vectơ ngẫu nhiên (vectơ y) có trị trung bình bằng không, nghĩa là các thành phần của nó là phi tương quan và phương sai của chúng bằng
đơn vị. Nói cách khác, ma trận hiệp phương sai (và ma trận tương quan) của y bằng với ma trận đơn vị:
{ }
E yyΤ = Ι (2.17)
Kết quả là, làm trắng hóa có nghĩa là chúng ta biến đổi tuyến tính vectơ dữ liệu
được quan sát x bằng cách nhân tuyến tính nó với một ma trận V nào đó
z = Vx (2.18)
sao cho vectơ z là trắng hóa.
Biến đổi làm trắng hóa là luôn thực hiện được. Một phương pháp làm trắng hóa thông dụng là sử dụng phân tích trị riêng EVD (Eigenvalue Decomposition) của ma trận hiệp phương sai
{ }
E xxΤ =EDEΤ (2.19)
trong đó E là ma trận trực chuẩn của vectơ trị riêng của E{xxT}, D là ma trận đường chéo của các trị riêng của nó, D = diag(d1, … , dn). Lúc này, làm trắng hóa có thểđược thực hiện bằng ma trận làm trắng
1/ 2
V =ED− EΤ (2.20)
trong đó ma trận D-1/2được tính bằng D-1/2 = diag(d1-1/2, … , dn-1/2). Ma trận làm trắng hóa tính theo cách này được ký hiệu bằng E{xxT}-1/2 hay C-1/2.