Để chứng minh bốn điểm , , ,A B C D cùng nằm trên đường tròn ta thường chứng minh MA MB MC MD. = . . Có thể nói đây là ứng dụng đẹp đẽ và gần gũi với hình học cấp trung học cơ sở nhất.
Bài 4.1 (Tây ban nha 2014). Cho tam giác ABC nhọn. Gọi ( )O và ( )I lần lượt là
đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. M là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC. Đường tròn ( )I tiếp xúc với BC tại D. Đường thẳng MD cắt ( )I tại
NR, NS tiếp xúc với ( )O tại R và S. Chứng minh rằng bốn điểm , , ,R P D S cùng thuộc
một đường tròn.
Lời giải. Ta thấy ngay NP là tiếp tuyến của đường tròn ( )I .
Ta sẽ chứng minh ND NS= hay N thuộc trục đẳng phương của ( )O và ( )I .
Gọi ( )J là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC, T là điểm đối xứng của D
qua I; ( )J tiếp xúc với cạnh BC tại L. Theo một kết quả cơ bản ta có , ,A T L thẳng
hàng, từ đó suy ra , ,L I M thẳng hàng (bổ đề hình thang).
Giả sử MD cắt JL tại J', theo định lý Thales, ta có ' ID MI J L = ML . Mặt khác ta cũng có MI AT IT ID ML = AL = JL = JL . Do đó ' ID ID JL = J L, hay 'J ≡J . , , M D J
Đường thẳng AJ cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai E thì dễ thấy ngay E là trung
điểm IJ.
Gọi F là giao điểm của MD và IN thì JF ⊥FI . Từ đó suy ra năm điểm , , , ,B J C I F
cùng nằm trên đường tròn tâm ( )E có tâm E đường kính IJ .
Như vậy N thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn ( )E và ( )O . Mặt khác
2
.
NF NI =ND , suy ra PN E/( ) =PN I/( ), hay N thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn