c) Chứng minh hệ mật RSA
4.2.3. an toàn của hệ mật RSA.
a.Bài toán phân tích số và việc phá hệ mật RSA.
Cách tấn công dẽ thấy nhất đối với hệ mật RSA là người thám mã sẽ cống gắng phân tích n ra thừa số nguyên tố n=p*q và khi đó anh ta dễ dàng tính được ϕ(n)=(p-1)(q-1) và do đó tìm được thông tin cửa sập d tương ứng với thông tin mã hoá E bằng thuật toán Euclide. Như vậy chúng ta thấy ngay rằng việc phá hệ mật RSA là “dễ hơn” bài toán phân tích số nguyên ra thừa số nguyên tố tuy nhiên cũng chưa có một kết quả nào chỉ ra rằng bài toán phân tích số là thực sự khó hơn cho nên người ta thường thừa nhận rằng bài toán phá hệ RSA là tương đương với bài toán phân tích số nguyên thành thừa số người.
Để đảm bảo tính khó phân tích ra thừa số của n=p*q thì yêu cầu đầu tiên là p,q là các số nguyên tố lớn xấp xỉ bằng nhau và là số nguyên tố “mạnh “. Khái niệm “mạnh” ở đây chỉ bắt nguồn từ ý nghĩa khó phân tích do vậy nó sẽ được bổ xung cùng với kết quả có được của khả năng phân tích số. Nói một cách khác là khái niệm “mạnh” bao gồm sự loại trừ các lớp số nguyên tố mà với chúng tồn tại thuật toán phân tích hiệu quả, chúng ta có thể biết đến một khái niệm sơ khai của tính “mạnh” đó là các số nguyên tố p mà p-1 và p+1 có chứa thừa số nguyên tố lớn.
b.Việc tấn công hệ mật RSA khác phương pháp phân tích số.
Một kết quả thú vị là một thuật toán bất kỳ để tính số mũ giải mã d đều có thể được dùng như một chương trình con trong thuật toán xác suất kiểu Las Vegas để phân tích n.
Như vậy mặc dù rằng nếu d bị lộ thì việc phân tích n cũng không còn ý nghĩa theo quan điểm phá hệ mật tuy nhiên kết quả trên dù sao cũng cho ta một thuật toán phân tích số n khi biết d với xác suất thành công không quá ½ của mỗi lần chọn số ngẫu nhiên làm đầu vào cho thuật toán.