1.2.3.
(a) Trước hết quan sát rằng nếufxnghội tụ tớix, vớixn = pn
qn, ở đâypn2Z
và qn 2 N nguyên tố cùng nhau, và xn 6= x; n 2 N, thì lim
n!1f(xn) = lim
n!1 1
qn = 0 = f(x). Nếu fzng là d∙y các số vô tỷ hội tụ tới x, thì
lim
n!1f(zn) = 0 =f(x). Điều này có nghĩa f liên tục tại mọi điểm vô tỷ. Cũng như vậy, có thể chỉ ra rằng0 là điểm liên tục củaf. Giả sử bây giờ x 6= 0 và x = pq; p và q nguyên tố cùng nhau. Nếu fxng là d∙y các số vô tỷ hội tụ tới x, thì lim
n!1f(xn) = 06= f(x). Do đó, f gián đoạn tại mọi điểm hữu tỷ khác 0.
3.4. Chuỗi Taylor 127
(b) Giả sử x2 RnQ và gọi fzng là d∙y các số vô tỷ khácx tiến tới x. Thì
lim
n!1f(zn) = lim
n!1jznj=jxj. Nếu fxng là d∙y các số vô tỷ tiến tới x, thì theo chú ý ở đầu lời giải câu (a),
lim
n!1f(xn) = lim
n!1
xnqn qn+ 1 =x:
Điều này có nghĩaf liên tục tại mọi điểm vô tỷ dương và gián đoạn tại mọi điểm vô tỷ âm. Chứng minh tương tự, f liên tục tại 0.Bây giờ, gọi
06=x= pq(p; q nguyên tố cùng nhau). Khi đó
xn= p
q  (np(np+ 1)+ 1)q+ 1q
hội tụ tới pq. Chú ý rằng tử số và mẫu số của xn là nguyên tố cùng nhau. Vì vậy lim n!1f(xn) = lim n!1 (np+ 1)pq+p (np+ 1)q2 + 1 = p q 6= p q+ 1:
Vì vậy, hàm gián đoạn tại mọi điẻm hữu tỷ khác không.
1.2.4. Gọif 2 C([a; b])và gọi x0 là điểm thuộc [a; b].Với " >0 cho trước, tồntại ± > 0 sao cho nếu x 2 [a; b] và 0 < jxĂx0j < ±, thì jf(x)Ăf(x0)j < ". tại ± > 0 sao cho nếu x 2 [a; b] và 0 < jxĂx0j < ±, thì jf(x)Ăf(x0)j < ". Bây giờ, tính liên tục của jfj tại x0 suy ra từ bất đẳng thức hiển nhiên
jjf(x)j Ă jf(x0)jj∙jf(x)Ăf(x0)j. Hàm cho bởi f(x) = ( 1 vớix2Q\[a; b]; Ă1 vớix2[a; b]nQ;
gián đoạn tại mọi điểm thuộc [a; b], mặc dầu jfj là hàm hằng và vì vậy liên tục trên [a; b].