x+f(0) ∙ [x] +f(0) =f([x])∙f(x) ∙ f(1 + [x]) = f(0) + [x] + 1 ∙ x+f(0) + 1:
Bây giờ, ta chứng minh bằng quy nạp rằng với n2N, x+n(f(0)Ă1)∙fn(x)∙x+n(f(0) + 1):
(1)
Cố định n tuỳ ý và giả sử rằng (1) đúng. Khi đó, như trong lời giải của
1.1.40, ta nhận được
fn+1(x) = f(fn(x)) =f([fn(x)] +r) = [fn(x)] +f(r)∙fn(x) +f(1) ∙ x+n(f(0) + 1) +f(0) + 1 = x+ (n+ 1)(f(0) + 1);
3.4. Chuỗi Taylor 125
ở đây r =fn(x)Ă[fn(x)]. Điều này chứng minh bất đẳng thức bên phải của (1). Theo cùng cách như vậy, ta có thể chứng minh bất đẳng thức bên trái. Lại dùng quy nạp, ta sẽ chứng minh rằng
fn(mpĂ1)(0)∙np ∙fnmp(0); n2N:
(2)
Với n= 1, bất đẳng thức suy ra từ định nghĩa củamp. Giả sử bất đẳng thức cũng đúng cho số tự nhiên n cố định tuỳ ý. Khi đó
f(n+1)mp(0) = fmp(fnmp(0))
á fmp(0 +np) =fmp(0) +np
á p+np:
Cũng nhưthế,
f(n+1)(mpĂ1)(0) = fmpĂ1(fn(mpĂ1)(0))∙fmpĂ1(0 +np) = np+fmpĂ1(0)
∙ np+p: Vậy bất đẳng thức (2) được chứng minh.
Mọi số nguyên dươngncó thể được viết nhưn=kmp+q, ở đây0∙q < mp. Theo (1) và (2), ta có kp=q(f(0) + 1) ∙ fq(kp)∙fq(fkmp(0)) = fn(0) =fq+k(fk(mpĂ1)(0)) ∙ fq+k(kp)∙kp+ (q+k)(1 +f(0)); Từ đó kp n + q(f(0)Ă1) n ∙ f n(0) n ∙ kpn + k+q n (1 +f(0)): (3) Do lim n!1 k n = m1 p và lim n!1 q
n = 0, bất đẳng thức cần chứng minh là hệ quả của (3).
126 Chương 3. D∙y và chuỗi hàm
1.1.42. [6, trang 47]. Chú ý rằng theo1.1.40, chỉ cần chứng minh lim
n!1
fn(0)
n tồn tại. Nếu f(0) = 0, thì giới hạn là 0. Bây giờ giả sử f(0) > 0. Thì hoặc với mọi p nguyên dương, tồn tại số nguyên n sao cho fn(0) > p, hoặc tồn tại p nguyên dương sao cho fn(0) ∙ p với mọi m 2 N. Trong trường hợp sau, ffn(0)g là d∙y bị chặn, do đó lim
n!1
fn(0)
n = 0. Trường hợp đầu tiên,
lim
p!1mp =1, ở đây mp được xác định nhưtrong1.1.41. Chuyển qua giới hạn khip! 1trong các bất đẳng thức của 1.1.41, ta thấy lim
p!1 p mp tồn tại, và do đó lim n!1 fn(0) n cũng tồn tại. Trường hợp f(0)<0, có thể chứng minh bất đẳng thức tương tự như (2) của bài toán trước, sau đó tiến hành tương tự.
1.2 Các tính chất của hàm liên tục
1.2.1. Hàm gián đoạn tại x0 6= kẳ, ở đây k 2 Z. Thực vậy, nếu fxng là d∙ycác số vô tỷ hội tụ tớix0, thì lim