+ Phương án u=(u1,....un) của ( )P gọi là phương án tối ưu từ vựng nếu với mọi phương án x=(x1,....xn) của ( )P , ta có
( c u u, , ,...,1 un) (≥l c x, , ,...,x1 xn).
+( c x, , ,...,x1 xn) được gọi là phương án mở rộng ứng với phương án (x1,....xn) của ( )P .
Nhận xét:
+ Phương án tối ưu từ vựng là phương án tối ưu. + Phương án tối ưu từ vựng nếu có thì là duy nhất.
Định lý 3.1:
( )P có phương án tối ưu từ vựng khi và chỉ khi tập các phương án tối ưu của ( )P khác rỗng và bị chặn.
Chứng minh:
)
⇐ Đặt x0 là giá trị tối ưu của ( )P . Khi đó tập các phương án tối ưu của ( )P
{ n: , 0}
D=D x∈ c x =x cũng là tập lồi đa diện và bị chặn. Đặt u ii( =1,k) là các điểm cực biên của D.Vậy theo định lý 1.11, với mỗi x∈D tồn tại
1 2 1 , ,..., 1, 0, 1, k k i i i i k λ λ λ λ λ = = ≥ ∀ = ∑ sao cho 1 1 2 2 ... k k x=λu +λu + +λ u
Đặt u0 =lexmax{u ii: =1,k}.Ta có
1 1 2 2 ... k k l 1 0 2 0 ... k 0 0
x=λu +λu + +λ u ≤ λu +λu + +λu =u . Vậy ( )P có phương án tối ưu từ vựng là u0 .
)
⇒ Giả sử ( )P có phương án tối ưu từ vựng u0 và tập các phương án tối ưu của ( )P –D không bị chặn.
Dlà tập lồi đa diện không bị chặn nên có phương vô tận v. Vì các thành phần của một phương án của Dlà không âm nên v≥0 và v≠0. Vậy v>l 0. Đặt u1=u0+v. Ta có
1
u ∈D và u1 >l u0. Điều này mâu thuẫn với u0 là phương án tối ưu từ vựng của ( )P . Vậy tập các phương án tối ưu của ( )P khác rỗng và bị chặn.
Định lý 3.2:
Phương án tối ưu từ vựng của ( )P (nếu có) là phương án cực biên của ( )P .
Chứng minh:
Giả sử ngược lại ( )P có phương án tối ưu từ vựng x và x không phải là điểm cực biên của D. Khi đó tồn tạiy z, ∈D y, ≠z và λ∈( )0;1 sao cho
(1 )
x=λy+ −λ z
Không mất tính tổng quát ta giả sử y<l z. Khi đó, ta có
(1 ) l (1 )
x=λy+ −λ z< λz+ −λ z=z.
Điều này mâu thuẫn với x là phương án tối ưu từ vựng của ( )P .
Vậy phương án tối ưu từ vựng của ( )P (nếu có) là phương án cực biên của ( )P .