Tối ưu theo nghĩa từ vựng

Một phần của tài liệu nghiên cứu quy hoạch nguyên với mô hình tuyến tính bất kỳ (Trang 28)

+ Phương án u=(u1,....un) của ( )P gọi là phương án tối ưu từ vựng nếu với mọi phương án x=(x1,....xn) của ( )P , ta có

( c u u, , ,...,1 un) (≥l c x, , ,...,x1 xn).

+( c x, , ,...,x1 xn) được gọi là phương án mở rộng ứng với phương án (x1,....xn) của ( )P .

Nhận xét:

+ Phương án tối ưu từ vựng là phương án tối ưu. + Phương án tối ưu từ vựng nếu có thì là duy nhất.

Định lý 3.1:

( )P có phương án tối ưu từ vựng khi và chỉ khi tập các phương án tối ưu của ( )P khác rỗng và bị chặn.

Chứng minh:

)

⇐ Đặt x0 là giá trị tối ưu của ( )P . Khi đó tập các phương án tối ưu của ( )P

{ n: , 0}

D=Dx∈ c x =x cũng là tập lồi đa diện và bị chặn. Đặt u ii( =1,k) là các điểm cực biên của D.Vậy theo định lý 1.11, với mỗi xD tồn tại

1 2 1 , ,..., 1, 0, 1, k k i i i i k λ λ λ λ λ =  = ≥ ∀ =    ∑  sao cho 1 1 2 2 ... k k xuu + +λ u

Đặt u0 =lexmax{u ii: =1,k}.Ta có

1 1 2 2 ... k k l 1 0 2 0 ... k 0 0

xuu + +λ u ≤ λuu + +λu =u . Vậy ( )P có phương án tối ưu từ vựng là u0 .

)

⇒ Giả sử ( )P có phương án tối ưu từ vựng u0 và tập các phương án tối ưu của ( )PD không bị chặn.

Dlà tập lồi đa diện không bị chặn nên có phương vô tận v. Vì các thành phần của một phương án của Dlà không âm nên v≥0 và v≠0. Vậy v>l 0. Đặt u1=u0+v. Ta có

1

uDu1 >l u0. Điều này mâu thuẫn với u0 là phương án tối ưu từ vựng của ( )P . Vậy tập các phương án tối ưu của ( )P khác rỗng và bị chặn.

Định lý 3.2:

Phương án tối ưu từ vựng của ( )P (nếu có) là phương án cực biên của ( )P .

Chứng minh:

Giả sử ngược lại ( )P có phương án tối ưu từ vựng xx không phải là điểm cực biên của D. Khi đó tồn tạiy z, ∈D y, ≠z và λ∈( )0;1 sao cho

(1 )

xy+ −λ z

Không mất tính tổng quát ta giả sử y<l z. Khi đó, ta có

(1 ) l (1 )

xy+ −λ z< λz+ −λ z=z.

Điều này mâu thuẫn với x là phương án tối ưu từ vựng của ( )P .

Vậy phương án tối ưu từ vựng của ( )P (nếu có) là phương án cực biên của ( )P .

Một phần của tài liệu nghiên cứu quy hoạch nguyên với mô hình tuyến tính bất kỳ (Trang 28)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(66 trang)