+ Phương án u=
(
u1,....un)
của( )
P gọi là phương án tối ưu từ vựng nếu với mọi phương án x=(
x1,....xn)
của( )
P , ta có(
c u u, , ,...,1 un) (
≥l c x, , ,...,x1 xn)
.+
(
c x, , ,...,x1 xn)
được gọi là phương án mở rộng ứng với phương án(
x1,....xn)
của( )
P .Nhận xét:
+ Phương án tối ưu từ vựng là phương án tối ưu. + Phương án tối ưu từ vựng nếu có thì là duy nhất.
Định lý 3.1:
( )
P có phương án tối ưu từ vựng khi và chỉ khi tập các phương án tối ưu của( )
P khác rỗng và bị chặn.Chứng minh:
)
⇐ Đặt x0 là giá trị tối ưu của
( )
P . Khi đó tập các phương án tối ưu của( )
P{
n: , 0}
D=D x∈ c x =x cũng là tập lồi đa diện và bị chặn. Đặt u ii
(
=1,k)
là các điểm cực biên của D.Vậy theo định lý 1.11, với mỗi x∈D tồn tại1 2 1 , ,..., 1, 0, 1, k k i i i i k λ λ λ λ λ = = ≥ ∀ =
∑
sao cho 1 1 2 2 ... k k x=λu +λu + +λ uĐặt u0 =lexmax
{
u ii: =1,k}
.Ta có1 1 2 2 ... k k l 1 0 2 0 ... k 0 0
x=λu +λu + +λ u ≤ λu +λu + +λu =u . Vậy
( )
P có phương án tối ưu từ vựng là u0 .)
⇒ Giả sử
( )
P có phương án tối ưu từ vựng u0 và tập các phương án tối ưu của( )
P –D không bị chặn.Dlà tập lồi đa diện không bị chặn nên có phương vô tận v. Vì các thành phần của một phương án của Dlà không âm nên v≥0 và v≠0. Vậy v>l 0. Đặt u1=u0+v. Ta có
1
u ∈D và u1 >l u0. Điều này mâu thuẫn với u0 là phương án tối ưu từ vựng của
( )
P . Vậy tập các phương án tối ưu của( )
P khác rỗng và bị chặn.Định lý 3.2:
Phương án tối ưu từ vựng của
( )
P (nếu có) là phương án cực biên của( )
P .Chứng minh:
Giả sử ngược lại
( )
P có phương án tối ưu từ vựng x và x không phải là điểm cực biên của D. Khi đó tồn tạiy z, ∈D y, ≠z và λ∈( )
0;1 sao cho(1 )
x=λy+ −λ z
Không mất tính tổng quát ta giả sử y<l z. Khi đó, ta có
(1 ) l (1 )
x=λy+ −λ z< λz+ −λ z=z.
Điều này mâu thuẫn với x là phương án tối ưu từ vựng của
( )
P .Vậy phương án tối ưu từ vựng của
