Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dướ
3.2 Chứng minh một nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dướ
của hàm đa điều hòa dưới
Trước khi đi đến kết quả chính, chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong [2], [20] và [41], cần thiết cho việc chứng minh kết quả của chúng tôi. Đầu tiên là bổ đề sau đây trong [41], cho thấy mọi hàm đa điều hòa dưới âm có thể xấp xỉ ngưỡng chính tắc của nó bởi ngưỡng chính tắc của hàm trong lớp F bị chặn địa phương ngoài gốc 0.
Bổ đề 3.2.1. Giả sử u∈ PSH−(Ω). Khi đó
lim
j→∞cmax(u,jlogkzk)(0) =cu(0).
Chứng minh. Xem [41].
Để giải quyết bài toán đặt ra, chúng tôi dựa vào một số kết quả đặc sắc gần đây của lý thuyết đa thế vị phức, đặc biệt là kết quả trong [2] về tính giải được của phương trình
Monge-Ampère đối với độ đo triệt tiêu trên các tập đa cực.
Từ đây về sau, chúng ta luôn giả sử Ωlà miền siêu lồi bị chặn trongCn, điều này đồng nghĩa với việc Ω là miền bị chặn trongCn sao cho tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm
% trên Ωthỏa mãn với mọi c <0 tập
Ωc={z ∈Ω :%(z)< c}bΩ.
Đồng thời, trênΩ, chúng ta xét các lớp hàm E0,F và Fa cần dùng tới như sau E0 ={ϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞(Ω) : lim z→ξ∈∂Ωϕ(z) = 0, Z Ω (ddcϕ)n<∞}, F =F(Ω) ={ϕ∈P SH−(Ω) : ∃ E0 3ϕj &ϕ, sup j Z Ω (ddcϕj)n<∞}.
Như trong [20], chúng ta kí hiệuFa(Ω) là lớp con các hàmu∈ F(Ω)sao cho(ddcu)n triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực của Ω.
Chú ý 3.2.2. Một số kết quả quan trọng cần dùng sau đây được trích trong [20] và [40]: (i) Nếu u∈ E và 0∈Ω thì
ν(u,0)6(ddcu)n({0}))1/n
ở đó ν(u,0) là số Lelong của u tại 0.
(2i) Nếu µ là độ đo Borel không âm trênΩ, triệt tiêu trên tất cả các tập con đa cực của
Ωvới µ(Ω) <+∞ thì tồn tại duy nhất hàmu∈ Fa(Ω) sao cho
(ddcu)n =µ.
(4i) Nếu u∈ F(Ω) thì (ddcu)n là một độ đo Radon không âm trên Ωvà
Z
Ω
(ddcu)n<+∞.
(5i) Nếu u, v ∈ E(Ω) sao cho (ddcu)n(u=v =−∞) = 0 thì
(ddcmax{u, v})n≥1{v≥u}(ddcv)n+ 1{v<u}(ddcu)n.
Bây giờ, dựa vào một số kết quả phụ trợ về việc giải phương trình Monge-Ampère trong tài liệu [2] trên đây, chúng tôi đưa ra và chứng minh một nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới. Để thu được kết quả này, chúng tôi chứng minh một số kết quả cần thiết sau đây. Trước hết, từ Định nghĩa 1.1.1 chúng ta thấy nếu một hàm đa điều hòa dưới ϕsao cho cϕ(0) = +∞ thì hàme−2cϕ khả tích địa phương với mọi c > 0. Từ đó cùng với Bất đẳng thức H¨older đối với tích phân ta nhận được bổ đề sau trong công trình [3] của luận án.
Bổ đề 3.2.3. Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cn,0∈ Ω và u, v, ϕ ∈ PSH−(Ω) sao cho
u>v >u+ϕ, cϕ(0) = +∞. Khi đó
cu(0) =cv(0).
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng cu(0) ≤cu+ϕ(0).
Thật vậy, lấy c∈(0, cu(0)). Chọn q >1sao cho qc∈(0, cu(0)), khi đóe−2qcu khả tích địa phương tại 0vì qc < cu(0). Tiếp theo lấy p >1 sao cho 1q +1p = 1.
cho Z B(0,r) e−2cqudV <+∞ và Z B(0,r) e−2pcϕdV <+∞.
Khi đó áp dụng bất đẳng thức H¨older ta được
Z B(0,r) e−2c(u+ϕ)dV ≤ Z B(0,r) e−2cqudV 1/q Z B(0,r) e−2cpϕdV 1/p <+∞.
Như vậy nếu cóc∈(0, cu(0))tức làc < cu(0) bất kì ta suy rac≤cu+ϕ(0). Điều đó chứng tỏcu(0)≤cu+ϕ(0) như yêu cầu.
Mặt khác từ định nghĩa của ngưỡng chính tắc ta suy ra nếu f ≥g thì cf(0) ≥cg(0). Từ đó, dou≥v ≥u+ϕvà cu+ϕ(0) ≥cu(0) chứng minh trên ta thu được
cu(0) ≥cv(0)≥cu+ϕ(0)≥cu(0).
Do đócu(0) =cv(0) là điều phải chứng minh.
Kế đến, bằng cách dựa vào một số kết quả về việc giải phương trình Monge-Ampère phức đối với độ đo triệt tiêu trên tập đa cực trong [2], chúng tôi nhắc lại định nghĩa một hàm kĩ thuật và tính chất của nó, mà từ đó có thể xây dựng hàm uK thuộc lớpE(Ω) đặc biệt khi giá của τ là tập compact ta thu đượcuK thuộc lớp F(Ω) xác định như sau. Định nghĩa 3.2.4. Giả sử u∈ E và 0 6 τ là hàm nửa liên tục dưới bị chặn. Khi đó ta đặt
Đặc biệt xétτ = 1V là hàm đặc trưng của tập V và K ⊂Ωlà tập đa cực compact, ta đặt
uK = (sup{u1V : K ⊂V ⊂Ω} )∗ ở đó lấy theo tất cả các tập con mở V ⊂Ω.
Chú ý 3.2.5. (i) Trong trường hợp chúng tôi xét sau đây thì K = {0} là tập đa cực, compact thỏa mãn điều kiện của Định nghĩa 3.2.4.
(2i) Từ các kết quả trong [2], chúng ta ta thấy
0≥uτ ≥ kτk1L/n∞(Ω)u∈ E(Ω).
Mặt khác vì u∈ E(Ω) nên từ tính đóng lấy maxtrong E(Ω) ta thu được uτ ∈ E(Ω). (3i) Nếuu∈ E(Ω)thìsupp(ddcuτ)n ⊂suppτ và nếusuppτ là tập compact thìuτ ∈ F(Ω). (4i) Cũng từ Bổ đề 4.3 trong [2], chúng ta có nếuu∈ E và K là tập đa cực, compact con của Ω thì uK ∈ E(Ω) và thỏa mãn phương trình Monge - Ampère
(ddcuK)n=χK(ddcu)n.
Tuy nhiên, thực tế hàm uK ∈ F(Ω). Thật vậy, theo (3i) thì u1V ∈ F(Ω), nhưng từ định nghĩa của uK thì uK ≥ u1V mà u1V ∈ F(Ω) nên theo tính chất đóng lấy max trên lớp F(Ω) suy ra uK ∈ F(Ω).
Từ đây và Bổ đề 3.2.3 cùng với Chú ý 3.2.2, chúng tôi thu được bổ đề sau trong công trình [3] của luận án. Kết quả này giúp ích cho việc xây dựng xấp xỉ một hàm đa điều hòa
dưới âm bởi các hàm thuộc lớp F(Ω) và Fa(Ω) phục vụ cho chứng minh định lý chính của Chương.
Bổ đề 3.2.6. Giả sửΩlà miền siêu lồi bị chặn trongCn,0∈Ωvàu∈ F(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Khi đó tồn tại ue∈ F(Ω) và φ∈ Fa(Ω) sao cho
u≤φ, ue+φ≤u≤ eu,(ddceu)n= 1{0}(ddcu)n
và thỏa mãn phương trình
(ddcφ)n = 1Ω\{0}(ddcu)n.
Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp
α=
Z
{0}
(ddcu)n = 0.
Khi đó sự tồn tại củauethỏa mãn điều kiện đã cho là hiển nhiên, chẳng hạn lấyue=u. Vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng α >0.
Bây giờ ta đặt
e
u= (sup{ϕ∈ PSH−(Ω) : ϕ=u trên một lân cậnD của 0})∗.
Khi đó bởi (4i) trong Chú ý 3.2.5 nêu trên ta được
e
u∈ F(Ω), u≤uevà (ddcue)n = 1{0}(ddcu)n.
Hơn nữa, từ giả thiết u ∈ L∞loc(Ω\{0}) nên theo Mệnh đề 4.2.4 trong [1] ta được độ đo
Mặt khác dou∈ F(Ω) nên theo (4i) trong Chú ý 3.2.2 ta được
µ(Ω)≤(ddcu)n(Ω) <+∞.
Từ đó, tiếp tục theo (2i) trong Chú ý 3.2.2, tồn tại φ∈ Fa(Ω) sao cho
(ddcφ)n = 1Ω\{0}(ddcu)n.
Như vậy (ddcφ)n ≤ (ddcu)n, từ đó theo Mệnh đề 6.3.2 trong [1] khẳng định nguyên lý so sánh đúng cho lớp hàm đa điều hòa dưới trong lớpF(Ω), suy ra rằng u≤φ.
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằngue+φ≤u.
Thật vậy, từ định nghĩa củaue, ta có thể chọn εj >0vàuj ∈ F(Ω) sao choεj &0,uj %eu
và uj =u trên B(0, εj). Lấy0< δj < εj. Đặt aj = infB(0,εj)\B(0,δj)u và vj = max(u, aj) trên B(0, εj), u trên Ω\B(0, εj) .
Ta có vj ∈ Fa(Ω) và vj = u trên Ω\B(0, δj). Bây giờ áp dụng (5i) trong Chú ý 3.2.2 với
v =vj và u =uj ∈ F, khi đó do vj ∈ Fa(Ω) nên (ddcvj)n(uj = vj =−∞) = 0 và ta thu được
(ddcmax{uj, vj})n ≥1{vj≥uj}(ddcvj)n+ 1{vj<uj}(ddcuj)n.
B(0, εj) nên {uj > vj} ⊂Ω\B(0, εj). Từ đó1{vj<uj}(ddcuj)n = 0 và ta có
(ddcΦ)n+ (ddcmax{uj, vj})n ≥(ddcΦ)n+ 1{vj≥uj}(ddcvj)n = 1Ω\{0}(ddcu)n+ 1{vj≥uj}(ddcvj)n
Nhưng từ cách xây dựng của vj ta có vj = u trên Ω\B(0, δj) ⊂ Ω\ {0} đồng thời do {uj > vj} ⊂Ω\B(0, εj)⊂Ω\ {0} nên ta được
(ddc(φ+ max(uj, vj)))n≥(ddcφ)n+ (ddcmax(uj, vj))n
≥1vj<uj(ddcu)n+ 1{vj≥uj}(ddcvj)n = (ddcvj)n.
Tới đây, ta tiếp tục sử dụng nguyên lý so sánh cho các hàm đa điều hòa dưới ta thu được
φ+uj ≤φ+ max(uj, vj)≤vj.
Từ đó suy ra φ+uj ≤u trên Ω\B(0, εk) với mọij ≥k. Cho j → ∞ sau đó chok → ∞ ta được
φ+eu≤utrên Ω,
và ta được điều phải chứng minh.
Chú ý 3.2.7. Các kết quả chúng tôi cần dùng tiếp theo sau đây được biết tới trong các công trình [2] và [20]:
fu ∈L1loc((ddcΦu)n), fu ≥0sao cho
(ddcu)n=fu(ddcΦu)n+βu.
Hơn nữa, độ đo βu có giá trên một tập đa cực của Ω.
Bây giờ ta kí hiệuαu =fu(ddcΦu)n. Khi đó ta được (ddcu)n=αu+βu.
(2i) Từ Bổ đề 4.11 trong [2], nếuu, v ∈ E sao cho tồn tại một hàmϕ∈ E mà(ddcϕ)n triệt tiêu trên các tập đa cực với|u−v| ≤ −ϕ thì βu =βv.
Tiếp theo, từ Chú ý 3.2.2 trên đây, ta suy ra nếu
Z
{0}
(ddcu)n = 0
thì theo đánh giá trong Định lý 1.2.11 ta suy ra cu(0) = +∞.Từ đây dựa vào một số kết quả trong [2] và Bổ đề 3.2.3, với các hàmu, v ∈ PSH−(Ω) thỏa mãn giả thiết của Định lý 3.2.8 dưới đây, chúng tôi xây dựng các hàm eu,ev thuộc lớp F(Ω) lần lượt xấp xỉ các hàm
u, v đã cho mà không thay đổi ngưỡng chính tắc của chúng. Từ đó bằng lý luận tương tự như trong Bổ đề 2.1 trong [41] chúng tôi thu được kết quả chính của mục này về nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới như sau.
Định lý 3.2.8. Giả sử Ω là một miền trong Cn,0∈Ω và u, v ∈ PSH−(Ω) sao cho Z {0} (ddcmax(u, v, ϕ))n= Z {0} (ddcmax(u, ϕ))n,
với mọi ϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}). Khi đó
Chứng minh. Xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1.Giả sửΩ là một miền siêu lồi bị chặn,0∈Ω vàu, v ∈ F(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}). Khi đó nếu ta đặt ϕ= u+v thì ϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}). Từ đó theo giả thiết của định lý, thu được Z {0} (ddcmax(u, v))n = Z {0} (ddcu)n.
Từ đây, áp dụng Bổ đề 3.2.6, tồn tại eu∈ F(Ω) vàφ ∈ Fa(Ω) sao cho
u≤φ,eu+φ≤u≤eu,(ddceu)n= 1{0}(ddcu)n và (ddcφ)n = 1Ω\{0}(ddcu)n.
Tiếp theo, do R {0}
(ddcφ)n = 0 nên bởi (2i) trong Chú ý 3.2.2 trên đây, ta có cφ(0) = +∞. Từ đó áp dụng Bổ đề 3.2.3 ta được
cu(0) =ceu(0).
Bây giờ, dễ dàng kiểm tra được
|max(u, ve )−max(u, v)| ≤ −φ.
Khi đó áp dụng (2i) trong Chú ý 3.2.7 trên đây ta được
Z {0} (ddcmax(eu, v))n= Z {0} (ddcmax(u, v))n = Z {0} (ddcu)n = Z {0} (ddcue)n.
Hơn nữa, tiếp tục áp dụng (2i) trong Chú ý 3.2.2 trên đây, tồn tạiev ∈ F(Ω)vàψ ∈ Fa(Ω)
sao cho
v ≤ψ,ev+ψ ≤v ≤ev,(ddcev)n = 1{0}(ddcv)n và(ddcψ)n= 1Ω\{0}(ddcv)n.
Từ đây, áp dụng lý luận như trên, ta cũng có
cv(0) =c
e
v(0).
Tiếp theo, tương tự như trên ta thấy
|max(u,e ev)−max(u, ve )| ≤ −ψ.
Khi đó, tiếp tiếp tục áp dụng (2i) trong Chú ý 3.2.7 trên đây, ta được
Z {0} (ddcmax(eu,ev))n= Z {0} (ddcmax(eu, v))n = Z {0} (ddcue)n. Từ đó kết hợp với supp(ddc e
u)n ⊂ {0}ta thu được các đánh giá
Z Ω (ddcue)n= Z {0} (ddcue)n = Z {0} (ddcmax(eu,ev))n ≤ Z Ω (ddcmax(u,e ev))n ≤ Z Ω (ddceu)n, và (ddc e u)n≤(ddcmax(u,e ev))n. Từ đó suy ra (ddc e u)n= (ddcmax(eu,ev))n.
Từ đây, áp dụng Định lý 3.15 trong [21] ta cómax(u,e ev) =ue. Vậy ev ≤uevà do đó ta có cu(0) =c e u(0)≥c e v(0) =cv(0).
Trường hợp 2. Giả sử Ω là một miền trong Cn, 0 ∈ Ω và u, v ∈ PSH−(Ω). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằngΩ = B(0,1).
Bây giờ, ta đặt
ϕj =jlogkzk ∈ F(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
và
uj = max(u, ϕj), vj = max(v, ϕj).
Khi đó rõ ràng ta cóuj, vj ∈ F(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}). Đồng thời từ giả thiết của định lý, ta có
Z {0} (ddcmax(uj, vj, ϕ))n= Z {0} (ddcmax(uj, ϕ))n,
với mọiϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Từ đây, theo Trường hợp 1 chứng minh trên ta được cuj(0) ≥cvj(0). Cuối cùng, nhờ áp dụng Bổ đề 3.2.1 trên đây trong [41] ta được
cu(0) = lim
j→∞cuj(0)≥ lim
j→∞cvj(0) =cv(0).
Đó là điều phải chứng minh.
công thức Stokes, suy ra từ giả thiếtu≥v trên ∂Ωj thì Z Ωj (ddcmax(u, ϕ))n≤ Z Ωj (ddcmax(u, v, ϕ))n
với mọiϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Mặt khác, theo nguyên lý so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới ta có
Z Ωj (ddcmax(u, v, ϕ))n≤ Z Ωj (ddcmax(u, ϕ))n
với mọiϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Từ đó lấy giới hạn khi j → ∞ ta được
Z {0} (ddcmax(u, v, ϕ))n= Z {0} (ddcmax(u, ϕ))n,
với mọiϕ∈ PSH−(Ω)∩L∞loc(Ω\{0}).
Điều đó có nghĩa là giả thiết của Định lý 3.2.8 đúng. Như vậy Định lý 3.2.8 của chúng tôi về nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới mạnh hơn kết quả (Định lý 3.1.1) của P. H. Hiệp trong [41].