Hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian phức

Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh

2.2Hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian phức

Trước hết, chúng tôi nhắc lại lớp hàmm-điều hòa dưới được đưa ra bởi Z. B locki (2005) trong [16]. Tiếp theo đó, là các kết quả về sự xác định của toán tử m-Hessian phức trên một số lớp hàm quan trọng của lớp hàm m-điều hòa dưới cùng được nghiên cứu bởi Z.

B locki và L. H. Chinh trong [23].

2.2.1 Hàm m-điều hòa dưới và một số tính chất

Giả sử Ω là tập mở trong Cn và kí hiệu β =ddckzk2 là dạng K¨ahler chính tắc của Cn

với dạng thể tích dVn = n1!βn, ở đó d=∂+∂ và dc= ∂−4i∂. Do đó, ddc = 2i∂∂. Định nghĩa 2.2.1. Với 1≤m≤n, ta định nghĩa

ˆ

Γm ={η∈ C(1,1) :η∧βn−1 >0, ..., ηm∧βn−m >0},

ở đóC(1,1)kí hiệu là không gian các(1,1)-dạng với hệ số là hằng. Khi đó hàm điều hòa dưới

u trên tập mở Ω⊂Cn gọi là hàm m-điều hòa dưới trên Ω nếu với mọi dạng η1, . . . , ηm−1

trong Γˆm ta có

ddcu∧η1∧ · · · ∧ηm−1∧βn−m ≥0,

theo nghĩa của dòng.

Kí hiệu SHm(Ω) là tập hợp các hàm m-điều hòa dưới trên Ω và SH−m(Ω) kí hiệu là tập các hàm m-điều hòa dưới âm trên Ω.

Nhận xét 2.2.2. Từ Mệnh đề 3.1 trong [16] và Định nghĩa 1.2 trong [72], nếu u∈ C2(Ω)

thì u là hàmm-điều hòa dưới trên Ωkhi và chỉ khi (ddcu)k∧βn−k ≥0,∀k = 1, . . . , m. Ví dụ 2.2.3. (i) Xét u(z1, z2, z3) = 5|z1|2 + 4|z2|2 − |z3|2. Khi đó bởi b) của Mệnh đề 2.2.5 hay theo Nhận xét 2.2.2 trên đây, dễ thấy rằngu∈ SH2(C3). Tuy nhiên,u không là hàm đa điều hòa dưới trongC3 vì hạn chế của utrên đường thẳng {(0,0, z3) :z3 ∈C} là

u(0,0, z3) = −|z3|2 không đa điều hòa dưới.

(ii) Như trong [72], chúng ta xét ví dụ sau. LấyΩ là một miền mở trong Cn không chứa

0. Ta xét nhân Riesz cho bởi

Km(z) = − 1

|z|2(n/m−1),1≤m < n.

Khi đóKm ∈ C2(Ω) và ta có

Dó đó (ddcKm)k∧βn−k ≥ 0 với mọi k = 1, . . . , m. Từ đây tiếp tục theo Nhận xét 2.2.2 thì Kk ∈ SHm(Ω). Tuy nhiên(ddcKm)m+1∧βn−m−1 <0nên Km ∈ SH/ m+1(Ω).

Mệnh đề sau đây trong [16] mà ta sẽ cần dùng tới sau này. Mệnh đề 2.2.4. Với mọi η1, . . . , ηp ∈Γˆm, p≤m ta có

η1∧ · · · ∧ηp∧βn−m ≥0.

Chứng minh. Xem [16].

Từ Mệnh đề 2.2.4 ta thấy u∈ SHm ⇔ddcu∈Γˆm nghĩa là

ddcu∧η1∧ · · · ∧ηm−1∧βn−m ≥0,∀η1, . . . , ηm−1 ∈Γˆm (2.1) Bây giờ ta chúng tôi liệt kê các tính chất cơ bản ban đầu về lớp hàm m-điều hòa dưới. Việc chứng minh một vài trong số những tính chất sau có thể tham khảo, chẳng hạn trong các tài liệu [1] và [23].

Mệnh đề 2.2.5. Giả sử Ω là tập mở trong Cn. Khi đó ta có

a)PSH(Ω) =SHn(Ω)⊂ SHn−1(Ω) ⊂ · · · ⊂ SH1(Ω) =SH(Ω). Do đó, nếuu∈ SHm(Ω),

1≤m≤n, thì u∈ SHr(Ω), với mọi 1≤r≤m.

b) Nếu u thuộc lớp C2 thì u là hàm m-điều hòa dưới nếu và chỉ nếu dạng ddcu thuộc Γbm tại mỗi điểm. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

c) Nếu{uj}∞j=1 là dãy giảm các hàmm-điều hòa dưới thìu= lim

j→+∞uj cũng là hàm m-điều hòa dưới.

d) Nếu u, v ∈ SHm(Ω) và α, β >0 thì αu+βv ∈ SHm(Ω). e) Nếu u, v ∈ SHm(Ω) thì max{u, v} ∈ SHm(Ω).

f) Nếu {uj}∞

j=1 là họ các hàm m-điều hòa dưới, u = sup

j

uj < +∞ và u là nửa liên tục trên thì u là m-điều hòa dưới.

g) Giả sử ρ ≥ 0 là hàm bán kính trơn trên Cn, triệt tiêu ngoài hình cầu đơn vị và thỏa mãn R

Cn

nghĩa uε(z) := (u∗ρε)(z) = Z B(0,ε) u(z−ξ)ρε(ξ)dVn(ξ), ∀z ∈Ωε, ở đó ρε(z) := ε12nρ(z/ε) và Ωε ={z ∈ Ω :d(z, ∂Ω)> ε}. Khi đó uε ∈ SHm(Ωε)∩ C∞(Ωε) và uε ↓u khi ε↓0.

h) Giả sử u1, . . . , up ∈ SHm(Ω) và χ: Rp → R là hàm lồi, tăng theo mỗi biến. Nếu χ có thể mở rộng liên tục tới hàm từ [−∞,+∞)p →[−∞,∞) thì χ(u1, . . . , up)∈ SHm(Ω).

Chứng minh. Tính chất b) hiển nhiên được suy từ Mệnh đề 2.2.4. Các tính chất từ c) đến g) được chứng minh tương tự như đối với hàm đa điều hòa dưới trong [1]. Chúng tôi chứng minh tính chất a).

Thật vậy, từ định nghĩa củaΓbm ta có bΓn⊂Γbn−1 ⊂ · · · ⊂bΓ1. Mặt khác dov =kzk2 ∈ SHj ∩ C,∀j nên nếu u∈ SHn tức là

ddcu∧η1∧ · · · ∧ηn−1 ≥0,∀ηj ∈bΓn.

thì theo (2.1) ta có ddcu∈ Γˆm. Suy ra ddcu, ddcv = β ∈Γˆn−1. Bây giờ lấy ηj ∈Γˆn−1, j = 1, . . . , n−2, theo Mệnh đề 2.2.4 ta có ddcu∧ · · · ∧ηn−2∧β ≥0. Từ đó suy ra

ddcu∧ · · · ∧ηn−2∧ddcv =ddcu∧ · · · ∧ηn−2∧β ≥0.

Hayu∈ SHn−1.

Ta còn phải chứng minh SHn =PSH và SH1 =SH.

Thật vậy, nếu u ∈ PSH thì ddcu tồn tại và ddcu ≥ 0. Khi đó theo Mệnh đề 2.2.4 thì

η1 ∧ · · · ∧ηn−1 ≥0. Do đó

ddcu∧η1∧ · · · ∧ηn−1 ≥0.

Hayu∈ SHn.

Ngược lại, lấy u∈ SHn tức là ddcu∈Γˆn. Khi đó lại theo Mệnh đề 2.2.4 ta có (ddcu)n≥0

hay u∈ PSH.

Tiếp theo, hiển nhiên ta có SH1 ⊂ SH. Ngược lại lấy u∈ SH thì ddcu là (1,1) dạng mà

2.2.2 Toán tử m-Hessian phức trên lớp các hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương

Trong mục này, dựa theo Z. B locki, S. Dinew và S. Ko lodziej chúng ta định nghĩa toán tửm-Hessian phức cho lớp các hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương. Cụ thể, dựa vào [16] và [31] chúng tôi định nghĩa như sau.

Định nghĩa 2.2.6. Giả sử u1, . . . , up ∈ SHm(Ω) ∩L∞loc(Ω). Khi đó toán tử m-Hessian phức Hm(u1, . . . , up) định nghĩa quy nạp bởi

ddcup∧ · · · ∧ddcu1∧βn−m =ddc(upddcup−1∧ · · · ∧ddcu1∧βn−m).

Trong [16] và [31], các tác giả đã chứng minh được rằng Hm(u1, . . . , up) là một dòng dương đóng song bậc (n−m+p, n−m+p) và toán tử này liên tục trên dãy giảm các hàmm-điều hòa dưới bị chặn địa phương. Do đó, với p=m,ddcu1∧ · · · ∧ddcum∧βn−m là độ đo Borel dương. Trong trường hợp riêng, khi u= u1 =· · · =um ∈ SHm(Ω)∩L∞loc(Ω) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

độ đo Borel

Hm(u) = (ddcu)m∧βn−m,

được xác định và được gọi là m-Hessian phức của u.

Tiếp theo, chúng ta cần dùng tới kết quả sau đây về hàm m-điều hòa dưới cực đại. Trước hết, tương tự như trong [1], chúng tôi nhắc lại một lớp con các hàm m-điều hòa dưới được đưa ra và nghiên cứu bởi Z. B locki trong [16] gần đây.

Định nghĩa 2.2.7. Một hàm m-điều hòa dưới u ∈ SHm(Ω) được gọi là m-cực đại nếu mọi v ∈ SHm(Ω), v ≤ubên ngoài một tập con compact của Ωthì v ≤u trên Ω.

Kí hiệuMSHm(Ω) là tập các hàm m-điều hòa dưới cực đại trênΩ.

Một trong những kết quả cần thiết cho bởi Định lý 3.6 trong [16], cho ta điều kiện cần và đủ để một hàmm-điều hòa dưới bị chặnutrên miền bị chặnΩ⊂Cn thuộcMSHm(Ω)

đó làu là nghiệm của phương trìnhm-Hessian thuần nhấtHm(u) = (ddcu)m∧βn−m = 0. Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại các lớp hàm E0

m(Ω),Em(Ω) và Fm(Ω) sau đây được đưa ra bởi L. H. Chinh (2012). Trước hết là định nghĩa cho miềnm-siêu lồi trongCn như sau.

Định nghĩa 2.2.8. Giả sử Ωlà miền bị chặn trong Cn. Ta nói rằng Ωlà miền m-siêu lồi

nếu tồn tại một hàm m-điều hòa dưới liên tục u : Ω −→ R−

sao cho Ωc ={u < c} b Ω

với mọic <0.

Như vậy, từ định nghĩa của miền m-siêu lồi và định nghĩa của hàm m-điều hòa dưới, do mọi hàm đa điều hòa dưới đều là m-điều hòa dưới với mọi n ≥ m ≥1 nên mọi miền siêu lồi trongCn đều là m-siêu lồi.

Bây giờ lấy Ω⊂Cn là miền m-siêu lồi. Chúng ta đặt E0 m =E0 m(Ω) ={u∈ SH−m(Ω)∩L∞(Ω) : lim z→∂Ωu(z) = 0, Z Ω Hm(u)<∞}, Fm =Fm(Ω) =u∈ SH−m(Ω) : ∃ E0 m 3uj &u, sup j Z Ω Hm(uj)<∞ , và Em =Em(Ω) =u∈ SH−m(Ω) :∀z0 ∈Ω,∃ trên một lân cận ω3z0, và E0

m 3uj &u trên ω,sup

j

Z

Ω

Hm(uj)<∞ .

Chý ý rằng, theo Định lý 3.14 trong [23] thìm-Hessian phứcHm(u) = (ddcu)m∧βn−m, u∈ Em(Ω) hoàn toàn xác định như một độ đo Radon trên Ω. Đồng thời theo Định lý 3.2.14 và Nhận xét 3.2.15 (xem Phụ lục A) chúng ta có một mô tả khác, mà từ đó có thể coi lớp Em(Ω) là địa phương trong lớp Fm(Ω). Cụ thể ta có như sau:

Em=Em(Ω) =u∈ SH−m(Ω) : ∀ DbΩ,∃ v ∈ Fm(Ω), v=u trên D .