Chỉ có một số ít hệ thống vật lí thực sự là tuyến tính với tham số mô hình. Một hệ thống nhƣ vậy thuộc lĩnh vực địa vật lí là trƣờng hấp dẫn trái đất. Trƣờng hấp dẫn trái đất đƣợc xác định bởi sự phân bố mật độ của trái đất ở bên dƣới bề mặt. Vì khối thạch của trái đất thay đổi khá đáng kể, chúng ta có thể quan sát sự khác biệt theo phút của trƣờng hấp dẫn trái đất trên bề mặt trái đất. Từ sự hiểu biết về lực hấp dẫn (tức là, định luật vạn vật hấp dẫn của Niutơn), biểu diễn toán học của lực hấp dẫn là
Trong đó a là phép đo của gia tốc trọng trƣờng địa phƣơng, K là hằng số hấp dẫn, M là khối lƣợng địa phƣơng (nó liên quan đến mật độ) của khối đá ở bên dƣới bề mặt và r là khoảng cách từ khối lƣợng đến điểm quan sát.
Bằng việc rời rạc phƣơng trình trên, chúng ta có thể tìm đƣợc mối liên hệ giữa quan sát dữ liệu rời rạc trên bề mặt trái đất với tham số mô hình rời rạc (mật độ) ở bên dƣới bề mặt mà chúng ta quan tâm. Ví dụ, xem xét trƣờng hợp chúng ta có 5 phép đo ở bề mặt trái đất. Trong trƣờng hợp này, véctơ dữ liệu của chúng ta d, nó là một véctơ cột có kích thƣớc 5x1. Chúng ta cũng biết rằng, có 5 khối lƣợng chƣa biết ở bên dƣới bề mặt (nó không thực tế nhƣng đƣợc dùng để chứng minh khái niệm). Vì vậy, ta có thể xây dựng hệ thống tuyến tính, liên quan đến 5 khối lƣợng chƣa biết, đối với 5 điểm dữ liệu nhƣ sau:
17 [ ] [ ] [ ]
Chúng ta có thể thấy rằng, hệ thống có 5 phƣơng trình G, với 5 điểm chƣa biết m. Để giải tham số mô hình mà nó phù hợp với dữ liệu, chúng ta có thể đảo ma trận G để biến đổi trực tiếp phép đo vào tham số mô hình. Ví dụ:
Tuy nhiên, không phải tất cả các ma trận vuông có thể đảo đƣợc (G hầu nhƣ không bao giờ có thể đảo đƣợc). Bởi vì chúng ta không đƣợc đảm bảo là có đủ thông tin để xác định một giải pháp duy nhất đối với các phƣơng trình đã cho trừ khi chúng ta có các phép đo độc lập (tức là mỗi phép đo cho biết thông tin duy nhất về hệ thống). Quan trọng là, trong hầu hết các hệ thống vật lí, chúng ta chƣa từng có đủ thông tin để hạn chế một giải pháp duy nhất, bởi vì ma trận quan sát không chứa các phƣơng trình duy nhất. Từ quan điểm của đại số tuyến tính, ma trận G bị khuyết hạng (tức là có giá trị riêng bằng 0), nghĩa là nó không thể đảo đƣợc. Hơn nữa, nếu chúng ta bổ sung thêm các quan sát vào ma trận (tức là thêm số phƣơng trình), thì ma trận G không còn vuông nữa. Thậm chí khi đó, chúng ta không đƣợc đảm bảo có ma trận quan sát hạng đầy đủ. Do đó, hầu hết các bài toán ngƣợc đƣợc xem là underdeterminded, tức là ta không có giải pháp duy nhất cho bài toán ngƣợc. Nếu ta có hệ thống hạng đầy đủ, thì giải pháp có thể là duy nhất. Hệ thống overdetermined (số phƣơng trình nhiều hơn số biến) lại là một vấn đề khác.
18
Vì chúng ta không thể đảo trực tiếp ma trận quan sát, nên ta sử dụng các phƣơng pháp của lí thuyết tối ƣu để giải bài toán ngƣợc. Để làm vậy, ta xác định một mục tiêu, hay còn đƣợc gọi là hàm mục tiêu cho bài toán ngƣợc. Mục tiêu là một hàm đo mức độ phù hợp (tƣơng đồng, sát) của dữ liệu dự kiến từ mô hình khôi phục với dữ liệu quan sát. Trong trƣờng hợp, chúng ta có dữ liệu hoàn hảo (tức là không có nhiễu) và hiểu biết về vật lí hoàn hảo (tức là chúng ta biết về vật lí), thì dữ liệu khôi phục phù hợp với dữ liệu quan
sát một cách hoàn hảo. Hàm mục tiêu chuẩn, , thông thƣờng có dạng:
‖ ‖
Biểu thức trên biểu diễn chuẩn L2 của sự không phù hợp (misfit) giữa dữ liệu quan sát và dữ liệu dự kiến từ mô hình. Chúng ta sử dụng chuẩn L2 ở đây nhƣ là một phép đo tổng quát về khoảng cách giữa dữ liệu quan sát và dữ liệu dự kiến, tuy nhiên, các chuẩn khác cũng có thể sử dụng. Mục đích của hàm mục tiêu là tối thiểu sự sai khác giữa dữ liệu dự kiến và dữ liệu quan sát. Để tối ƣu hàm mục tiêu (tức là giải bài toán ngƣợc), ta tính toán gradient của hàm mục tiêu, sử dụng lí do tƣơng tự nhƣ khi ta muốn tối thiểu hàm chỉ có một biến. Gradient của hàm mục tiêu đƣợc tính bởi:
Trong đó GT là ma trận chuyển vị của G. Dạng đơn giản của phƣơng
trình này là:
Sau khi biến đổi, ta thu đƣợc:
Phƣơng trình trên đƣợc biết là phƣơng trình thông thƣờng và cho chúng ta một giải pháp đối với bài toán ngƣợc. Nó tƣơng ứng với bài toán bình phƣơng nhỏ nhất.
19
Ngoài ra, chúng ta luôn biết rằng dữ liệu của chúng ta có những biến động ngẫu nhiên, đƣợc gây bởi nhiễu ngẫu nhiên, hoặc tồi tệ hơn là nhiễu kết hợp (coherent noise). Trong bất kì trƣờng hợp nào, sai số ở dữ liệu quan sát sẽ tạo ra sai số ở tham số mô hình khôi phục, mà chúng ta thu đƣợc bằng cách giải bài toán ngƣợc. Để tránh các sai số này, chúng ta muốn hạn chế các giải pháp có thể để nhấn mạnh các đặc điểm có thể nhất định trong mô hình của chúng ta. Loại hạn chế này đƣợc gọi là chuẩn tắc (Regularization).