- Kiến thức: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đún g,
chủ điểm VI Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên
trình nghiệm nguyên
Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc đợc các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng đợc .
Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên .
Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 1 1 1
x + +y z = 2
Lời giải:
Không mất tính tổng quát , ta giả sử x ≥ y ≥ z , ta có : 2 = 1 1 1
x + +y z ≤ 3
z => 2z ≤ 3 , mà z nguyên dơng
Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phơng trình ta đợc : 1 1
1
x + =y
Theo giả sử , x ≥ y , nên 1 = 1 1
x + y ≤ 2
y
Y nguyên dơng nên y = 1 hoặc y = 2 . Với y = 1 không thích hợp
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phơng trình .
Hoán vị các số trên , ta đợc nghiệm của phơng trình là : (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2) Chủ điểm VII. áp dụng các bất đẳng thức và các mệnh đề khác để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất *> Các định lý Mệnh đề 1.
Nếu tổng của các số thực dơng x , x ,..., x1 2 n bằng một số thực dơng cho trớc thì tích của chúng lớn nhất khi x1 = x2 = =... xn
Chứng minh: Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: 1 2 n n 1 2 n n 1 2 n x x ... x S x x ...x n n S x x ...x n + + + ≥ ⇔ ≤
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1=x2= =... xn. Với S đã cho, khi đó tích có giá trị lớn nhất.
Tổng quát hơn, ta có định lý sau:
Định lí 2.
Nếu n số thực dơng x , x ,..., x1 2 n có tổng S không đổi thì tích 1 2 n 1m 2m nm P x= x ...x có giá trị lớn nhất khi 1 2 n 1 2 n x x x ... m = m = = m
Trong đó mi là các số hữu tỉ dơng cho trớc
Một cách đối ngẩu ta có: Mệnh đề 3:
Nếu tích các số dơng x , x ,..., x1 2 n bằng một số cho trớc thì tổng của chúng bé nhất khi x1 = x2 = =... xn
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Một cách tổng quát, ta có định lý sau
Định lý 4.
Nếu n số thực dơng x , x ,..., x1 2 n có tích trị nhỏ nhất khi m1 m2 mn 1 2 n P x= x ...x không đổi thì tổng S=x1+ + +x1 ... xn có giá 1 2 n 1 2 n x x x ... m = m = = m
(trog đó m ,m ,...,m1 2 N là các số hửu tỉ dơng)
Bài toán 4.1.
Trong tất cả các hình chử nhật có chu vi cho trớc, hình nào có diện
tích lớn nhất ?
Lời Giải:
Giả sử x,y là độ dài hai cạnh kề nhau của hình chử nhật, 2S là chu vi của nó, P là diện tích. Ta có x y S,xy P+ = = . Với tổng đã
cho, tích P sẻ có giá trị lớn nhất nếu x y S 2
= = , tức là nếu hình
chử nhật là mộ hình vuông
Bài toán 4.2. giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đạt đợc khi nào ? y (a x)(b x), a, b, x R x + + + = ∈ . Lời giải: Ta có y ab x a b x = + + + bé nhất khi ab xx + bé nhất. Tích ab.x abx = không đổi, nên y có giá trị bé nhất khi ab xx = tức là ab =x.
Bài toán 5.3. Từ một hình vuông cạnh a, hãy cắt ở bốn góc những hình vuông cạnh x sao cho khi gấp lại thì đợc một cái hộp có thể tích lớn nhất (không có mép)
Lời giải:
Diện tích mặt đáy của hình hộp bằng (a 2x)− 2, độ cao bằng x, vậy thể tích cái hộp là:
V x(a 2x)= − 2.
Đặt a 2x− =y thì thu đợc 2V (2x)y= 2. Ta có 2x y a+ =
không đổi.