- Kiến thức: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đún g,
Vậy (a2 +c )(b2 2+ c) 2+ (a2 +d )(b2 2+ d) (a b)(c d)2 +
Cách giải khác.
áp dụng bất đẳng thức Bunhacôpski
(m2+n )(x2 2+y ) (mx ny)2 ≥ + 2
với m a,n c,x c,y b= = = = ta đợc điều cần chứng minh.
Bài toán 8.2.
Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phơng pháp hình học:
a2+b2 b c2+ ≥2 b(a c)+ với a,b,c là những số dơng
Lời giải:
Đặt các đoạn BH a,HC c= = trên một đờng thẳng. Kẻ đoạn HA b= vuông góc với BC.
Dể thấy
AB.AC 2S≥ ABC =BC.AH
Khai thác bài toán:
Tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đơc bất đẳng thức sau Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :
2 2 2 2
a +b . b + ≥c b(a c)+ với a,b, c 0>
Bài toán 8.3.
Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c và các đờng cao tơng ứng h , h , ha b c. Gọi r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng a b c r , r r, 1 2 h h h < Phân tích:
Chúng ta biết rằng bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác và đờng cao liên quan trực tiếp đến công thức diện tích. Vì vậy chúng ta sể sử dụng diện tích tam giác để tính r và h , h , ha b c Lời giải: Ta có: a a S S Pr r p 2S 2S a.h h a = ⇒ = = ⇒ = Vậy a r a a a a 1 a a 2p 2 h = =a b c a (b c)+ + = + + < + =
Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta đả sử dụng đến bất đẳng thức tam giác “trong một tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại”.
Khai thác bài toán.
Nếu thêm vào điều kiện tam giác ABC có a, b thoả mãn điều kiện a b c 2+ < thì
c
r 0,4h ≥ h ≥
Ta có thể áp dụng “trong một tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại” để chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) Cho tam tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Chứng minh rằng