Kỹ thuật nắn chỉnh biến dạng dựa vào phương trình vi phân (PDE)

TRÌNH VI PHÂN TỪNG PHẦN (PDE)

Kỹ thuật này được áp dụng bằng cách là chúng ta sẽ mô hình hóa, hoặc xấp xỉ các bề mặt đối tượng bằng một hàm số nào đó. Việc nắn chỉnh đối tượng sẽ được thực hiện bằng cách thay đổi các tham số của hàm số.

2.3.1. GIỚI THIỆU

Kể từ khi Bloor và các cộng sự trong công trình đầu tiên của mình đã sử dụng các phương trình vi phân từng phần (PDE) trong việc biểu diễn các bề mặt hỗn hợp của đối tượng [41], những ưu điểm và tính đúng đắn của việc sử dụng PDEs đã từng bước được công nhận bởi nhiều nhà nghiên cứu khác, để giải quyết một loạt các vấn đề, chẳng hạn như thiết kế bề mặt dạng tự do [42], mô hình rắn [43], thiết kế tương tác [44] v.v… Một ứng dụng chủ yếu của phương pháp PDE mà Bloor và các cộng sự đưa ra là phát triển các công cụ hỗ trợ để tạo ra cá mô hình công nghiệp, chẳng hạn như cánh quạt [45], cổng xoáy [46] và hình học máy bay [47], có thể là dễ dàng mô phỏng theo. Hơn nữa, nó cũng đã được chứng minh rằng phương pháp PDE có thể được áp dụng cho việc nắn chỉnh biến dạng hình học [48], mô hình hình học cho web trực quan [49], xây dựng lại lưới bề mặt cho đối tượng [50], v.v…

You và các cộng sự đã giới thiệu một giải pháp phân tích ước tính nhanh một PDE bậc 4 bằng cách sử dụng hàng loạt Pseudo-Levy [51]. Thông thường, các PDE bậc 4 được cho là chính xác, đủ để đảm bảo một bề mặt nhẵn trong một bản vá PDE, trong khi một bậc cao hơn là tốn thời gian. Năm 2004, nhằm tăng tính liên thông giữa các bản vá lỗi PDE chung của các mô hình 3D, You và các cộng sự đã đề xuất để mở

rộng PDEs bậc 6, để đạt được C2 cong liên tục giữa các bản vá lỗi bề mặt khớp [52].

Điều này cũng đã được chứng minh bởi Kubiesa và các cộng sự trong cùng một năm [53].

Tất cả các phương pháp PDE khảo sát trên được dựa trên một giải pháp phân tích để giải quyết PDEs. Các giải pháp phân tích phù hợp cho những PDEs với điều kiện biên cận hình thức. Nếu không, một giải pháp sẽ phải được tìm kiếm số lượng, nhưng điều này cũng có nghĩa là tăng tải trọng tính toán. Du và Qin đề nghị sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải quyết PDEs [54]. Bởi vì không phải tất cả các PDEs có một giải pháp phân tích, các giải pháp số có thể cải thiện tính tổng quát của phương pháp PDE, nhưng sẽ mang lại tốc độ xử lý chậm. Trong [43], Du và Qin sử dụng kỹ thuật biến dạng hình thức miễn phí cho thiết kế vững chắc. Một đóng góp quan trọng của công việc này là họ đặt ra khái niệm về 4D PDE, được tạo thành không

chỉ của một đại diện tham số 3D cho hình học vững chắc, mà còn của một 1D đại diện tiềm ẩn thêm mô tả tính chất rắn, chẳng hạn như cường độ vật chất, v.v…

2.3.2. PHƯƠNG PHÁP

Để có thể áp dụng nắn chỉnh đối tượng dựa vào hàm số, trong trương hợp này là PDE, trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu về bề mặt PDE, các thuộc tính cũng như cách thức xây dựng bề mặt PDE.

 Bề mặt PDE

Một bề mặt PDE là một bản vá bề mặt tham số S u v , , định nghĩa là một hàm

của hai tham số u và v trên một tên miền hữu hạn 2

( )

  , hàm S như là một ánh xạ

của một điểm trong miền  tới một điểm S(u,v) trong không gian vật lý. Hình dạng của các bản vá bề mặt thường được xác định bằng cách xác định một tập hợp các dữ

liệu biên   . Thông thường các dữ liệu biên được chỉ rõ trong các dạng của S(u,v)

và một số dẫn xuất của nó trên   . Do đó, bề mặt được sinh ra như là một giá trị

của bài toán, bề mặt S(u,v) được coi như là một giải pháp của một PDE elliptic.

Các PDE elliptic khác nhau có thể được sử dụng; những phương trình thường được sử dụng là các phương trình song điều hòa và song điều hòa bội ba, cụ thể là:

2 2 2 2 2 S u v( , ) 0 u v             (12) Và 3 2 2 2 2 S u v( , ) 0 u v             (13)

Ngoài ra, các điều kiện biên tuần hoàn cũng rất được quan tâm. Giả sử chúng ta đang làm việc với hai PDEs elliptic trên, chúng ta yêu cầu các phương trình này phải thỏa mãn một tập gồm 2N điều kiện biên, với N là 2 trong trường hợp phương trình

(12) và N là 3 trong trường hợp phương trình (13). Dạng chung của những điều kiện

biên này sau đó có thể được viết như sau , 1 0, = ( v) ( ) S f v (14) (u vi, ) g v ii( ), 2 ... 2 1 S   N (15) 2 1, ( v) f ( ) S  v (16)

Trong đó: f1(v) trong phương trình (14) và f2(v) trong phương trình (16) là các

điều kiện hàm số (điều kiện biên) được chỉ rõ riêng từng trường hợp với u = 0 và u =

1. Điều kiện S(ui,v)gi( )v trong phương trình (15) có thể được viết như sau:

, , ( 0 1), 2 (u vi ) fi for ui i ... 2N 1 S      (17) Hoặc 2 2 2 2 ( , ) ,..., , 0 1, 2...2 1 N i N i S S S u v for u i N u u            (18)

Hiểu một cách đơn giản thì các điều kiện trên có nghĩa là cho một bản vá bề mặt của PDE bậc 2N, chúng ta có thể xác định hai hàm điều kiện, như được đưa ra

trong phương trình (14) và (16), cần được thỏa mãn ở các cạnh (tại u = 0 và u = 1) của

các miếng vá bề mặt, và một số hàm hoặc điều kiện dẫn xuất như đã nói trong Phương

trình (15), lên tới 2N - 2 điều kiện mà PDE có thể thỏa mãn.

 Lời giải cho các PDEs

Tồn tại nhiều phương pháp khác nhau để giải các phương trình (12) và (13), từ các giải pháp phân tích đến các phương pháp số phức tạp. Những vấn đề chúng tôi giải quyết trong luận văn này liên quan đến việc mô hình hóa các đối tượng đơn giản, như là hình trụ, và do đó hàng loạt các hình dạng gặp phải có thể được kết hợp bằng cách giải PDEs chọn với điều kiện tuần hoàn. Lưu ý ở đây điều kiện tuần hoàn ngụ ý rằng cho tham số v thỏa mãn điều kiện Su,0   S , 2u . Vì vậy, đối với công việc được mô tả ở đây, luận văn giới hạn với điều kiện tuần hoàn và có được một dạng khép kín của giải pháp phân tích cho phương trình (12) và (13) .

Chọn miền tham số là 0u1 and 0v2, và giả sử rằng các điều kiện trong các phương trình (14), (15), (16) là các hàm tuần hoàn. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp tách biến và quang phổ xấp xỉ để viết lại giải pháp phân tích cho phương trình (12), (13) như sau: 0 1 ( , ) ( ) [ ( ) cos( ) ( ) sin( )] ( , ) M n n n S u v A u A u nv B u nv R u v      (19)

Trong đó A0(u) là một hàm đa thức và An(u), Bn(u), R(u,v) là các hàm mũ. Các dạng cụ thể của A0(u), An(u), Bn(u), R(u,v) cho từng trường hợp của phương trình (12) có thể tìm thấy trong [65] và cho phương trình (13) có thể tìm thấy trong [66].

Những điểm chính cần ghi nhớ về các phương pháp, giải pháp trên là nó cho phép một để đại diện cho một tập hợp các điều kiện tuần hoàn của một chuỗi Fourier

phương trình điều chỉnh nhằm thỏa mãn các điều kiện. Cách giải cụ thể của phương pháp này được trình bày trong [55].

 Phương pháp tạo các bề mặt PDE

Trong phần này, chúng ta thảo luận về một loạt các ví dụ, cho thấy các phương pháp khác nhau mà bề mặt PDE có thể được tạo ra với PDEs được chọn là phương trình (12) và (13) và các điều kiện được thực hiện trong các định dạng được mô tả trong phương trình (14) , (15) và (16).

Chúng ta xét ví dụ đầu tiên là làm thế nào để tạo ra một bề mặt để PDE bậc bốn nơi mà tất cả các điều kiện được đưa ra thỏa mãn là điều kiện của hàm số. Hình 2.14 (b) cho thấy hình dạng của một bề mặt tạo ra bởi các PDE bậc 4 nơi các điều kiện được xác định là các đường cong trong hình 2.14 (a) . Đặc biệt, các điều kiện như vậy thỏa mãn: 1 2 3 1 2 (0, ) ( ), ( , ) ( ), ( , ) ( ) 3 3 S v c v S v c v S v c v và S(1, )v c v4( ). Khi chúng ta dùng

bốn điều kiện trên để tạo ra một PDE bậc bốn thì tất cả các đường cong trong trường hợp này đều nằm trên bề mặt kết quả. Như vậy, trong trường hợp cụ thể này, bề mặt PDE kết quả là một nội suy trơn giữa các tập hợp các điều kiện hàm số.

Hình 2.14. Bề mặt đối tượng (b) được xây dựng bởi một hàm PDE bậc bốn từ các điều kiện biên (a).

Ví dụ tiếp theo chúng ta xét một bề mặt PDE bậc bốn được tạo ra bởi các điều kiện được xem là một hỗn hợp của các điều kiện hàm và điều kiện phát sinh. Hình 2.15 (b ) cho thấy hình dạng của một bề mặt tạo ra bởi các PDE bậc bốn, nơi hai điều kiện hàm và ranh giới hai điều kiện biên phái sinh được xác định theo các đường cong trong hình 2.15 (a). Đặc biệt, các điều kiện biên được lựa chọn như vậy thỏa mãn:

1 4 2 1 4 3 (0, ) (1, ) (0, ) ( ), (1, ) ( ), S v [ ( ) ( )]s, S v [ ( ) ( )]s S v c v S v c v c v c v c v c v u u           với s

là một đại lượng vô hướng. Trong trường hợp này các bản vá bề mặt tạo ra như một

giải pháp cho một PDE bậc bốn chứa các đường cong c1 và c4 trong khi nó không nhất

thiết phải có các đường cong biên c2 và c3.

Hình 2.15. Bề mặt đối tượng (b) được xây dựng bởi một hàm PDE bậc bốn từ các điều kiện biên và điều kiện phát sinh (a).

Một ví dụ khác, trong hình 2.16 (b ) cho thấy hình dạng của một bề mặt được tạo ra bởi một PDE bậc sáu, với các điều kiện đều được đưa đến vị trí được xác định theo các đường cong trong hình 2.16 (a). Đặc biệt, các điều kiện biên thỏa mãn:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4

(0, ) ( ), ( , ) ( ), ( , ) ( ), ( , ) ( ), ( , ) ( ), (1, ) ( )

5 5 5 5

S v c v S v c v S v c v S v c v S v c v S v c v

Hình 2.16. Bề mặt đối tượng (b) được xây dựng bởi một hàm PDE bậc sáu từ các điều kiện biên (a).

Cũng như trong ví dụ đầu tiên của bề mặt PDE bậc bốn, Khi chúng ta dùng sáu điều kiện trên để tạo ra một PDE bậc sáu thì tất cả các đường cong trong trường hợp này cũng đều nằm trên bề mặt kết quả. Như vậy, trong trường hợp cụ thể này, bề mặt PDE kết quả là một nội suy trơn giữa các tập hợp các điều kiện hàm số.

Một ví dụ cuối cùng chúng ta xét làm thế nào để tạo ra được một bề mặt PDE bậc sáu từ các điều kiện biên được xem là một hỗn hợp của các điều kiện biên và điều kiện phát sinh . Hình 2.17 (b ) cho thấy hình dạng của một bề mặt tạo ra bởi các PDE bậc sáu từ hai điều kiện biên phát sinh bậc nhất và hai điều kiện biên phát sinh bậc hai được thể hiện bởi các đường cong trong hình 2.17 (a). Đặc biệt, các điều kiện biên được lựa chọn thỏa mãn:

1 6 2 1 6 5 (0, ) (1, ) (0, ) ( ), (1, ) ( ), S v [ ( ) ( )]s, S v [ ( ) ( )]s S v c v S v c v c v c v c v c v u u           và 2 2 1 2 3 6 4 5 2 2 (0, ) (1, ) [ ( ) 2 ( ) ( )]t, [ ( ) 2 ( ) ( )]t S v S v c v c v c v c v c v c v u u           , với s,t là các đại

lượng vô hướng. Như trong ví dụ của trường hợp PDE bậc bốn hình 2.17 (b) bề mặt

tạo ra trong trường hợp này có chứa các đường cong c1 và c6 trong khi nó không nhất

thiết chứa phần còn lại của các đường cong.

Hình 2.17. Bề mặt đối tượng (b) được xây dựng bởi một hàm PDE bậc sáu từ các điều kiện biên và điều kiện phát sinh (a).

Những ví dụ trên đây chứng minh việc làm thế nào để sử dụng các PDE bậc bốn và bậc sáu tạo ra các bề mặt, bằng việc áp dụng cho một loạt các kịch bản thiết kế. Vì vậy, ý tưởng cơ bản ở đây là để tạo ra một loạt các đường cong (cả điều kiện và phái sinh) có thể được sử dụng để xác định các điều kiện biên cho PDE. Như đã thấy trong các ví dụ, hình dạng bề mặt kết quả có thể trực giác luôn luôn được dự đoán từ hình dạng của các đường cong là các điều kiện biên.

 Nắn chỉnh đối tượng

Như phần trên đã trình bày về cách tạo ra các bề mặt đối tượng băng bề mặt PDE, có thể thấy rằng: muốn nắn chỉnh đối tượng chúng ta chỉ cần thay đổi các điều kiện biên, hoặc thay đổi các giá trị của điều kiện biên. Có thể rút ra một giải thuật cho quá trình nắn chỉnh đối tượng dựa vào PDE như sau:

Giải thuật như sau:

Đầu vào: Các phương trình điều kiện biên mô tả đối tượng 3D

Đầu ra: Hình học đối tượng 3D sau khi nắn chỉnh

Thuật toán:

Bước 1: Xây dựng hoặc xấp xỉ bề mặt PDE thỏa mãn các điều kiện biên Bước 2: Nắn chỉnh bằng cách thay đổi các tham số của các điều kiện biên Bước 3: Tính lại bề mặt PDE

2.3.3. ĐÁNH GIÁ

Với kỹ thuật nắn chỉnh dựa vào PDE thường phù hợp với những bề mặt có thể xấp xỉ được bằng PDE và yêu cầu độ trơn cao. Điểm khó nhất của kỹ thuật này nằm ở hai khâu, thứ nhất là việc xây dựng được các điều kiện biên cho đối tượng và thứ hai là việc giải xấy xỉ phương trình PDE.

Về tính dừng và độ phức tạp của thuật toán trong kỹ thuật này, do mục tiêu của luận văn cũng không đặt ra và cũng do chưa có thời gian để nghiên cứu sâu và cài đặt thử nghiệm nên việc đánh giá này hiện nay tôi vẫn chưa có đánh giá cụ thể. Nhìn chung đây là một phương pháp khá phức tạp và khó cài đặt.

CHƯƠNG III:

CHƯƠNG TRÌNH THỬ NGHIỆM

Trong chương này tôi sẽ trình bày về một số cài đặt thử nghiệm các kỹ thuật đã được trình trong chương II áp dụng cho bài toán “Phục dựng mặt người từ hình thái xương sọ”, bài toán này đã được nghiên cứu và giải quyết tại Việt Nam từ năm 2009 thuộc khuôn khổ đề tài cấp nhà nước “Nghiên cứu phát triển và ứng dụng các giải pháp công nghệ thông tin hiện đại tái tạo ảnh mặt người 3 chiều từ dữ liệu hình thái xương sọ phục vụ điều tra hình sự và an sinh xã hội”. Và có thể đây cũng chính là một phần chuẩn bị cho việc xây dựng sản phẩm của đề tài cấp Bộ GD&ĐT mà nhóm chúng tôi đang thực hiện trong giai đoạn 2015-2016.

3.1. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN

Cho một hộp sọ (gồm sọ mặt và xương hàm dưới) của một người nào đó (đã chết hoặc còn sống). Cần tái tạo diện mạo khuôn mặt của người đó (xem Hình 3.1).

Đây là bài toán rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực như khảo cổ học, nhân chủng học khi người ta muốn tái tạo bộ mặt của người cổ xưa dựa trên hộp sọ đã hóa thạch (nguyên vẹn hoặc không còn nguyên vẹn), và đặc biệt là trong giám định pháp y khi cần dựng lên khuôn mặt của người đã chết dựa trên hộp sọ tìm được. Bài toán có ý nghĩa vô cùng to lớn về nhiều mặt, nhất là về mặt xã hội khi chúng ta cần xác định danh tính của các liệt sĩ vô danh dựa trên hài cốt của họ, hay trong khoa học hình sự.

Về mức độ khó thì đây là bài toán cực kỳ khó vì từ một hộp sọ người ta có thể đắp đất sét lên hoặc vẽ/ dựng ảnh 2D hoặc khôi phục cả khuôn mặt 3D của rất nhiều người khác nhau. Xét trên góc độ toán học, đây là một bài toán ngược, và do đó có thể có rất nhiều lời giải và lời giải không ổn định [7].

Việc giải quyết thành công bài toán và xây dựng được hệ thống phần mềm tái tạo mặt người từ hộp sọ sẽ giúp việc giám định hài cốt liệt sĩ vô danh hữu hiệu hơn, nhanh hơn, đỡ tốn kém tiền bạc hơn. Phương pháp này tất nhiên không thể thay thế toàn bộ, nhưng nó là một tiền xử lý vô cùng hiệu quả trước khi chúng ta làm giám định ADN, đặc biệt trong trường hợp không có thông tin về thân nhân của liệt sĩ thì đây là một giải pháp hợp lý.

Bài toán khôi phục diện mạo của con người từ hộp sọ thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làm việc trong các lĩnh vực khác nhau tại nhiều quốc gia. Điều này có thể được minh chứng bởi sự tham gia của hơn 100 đại biểu với hơn 50