dựa vào phân vùng đối tượng, RBF đại diện cho cách tiếp cận nắn chỉnh dựa vào điểm điều khiển và PDE sẽ đại diện cho cách tiếp cận dựa vào hàm số.
2.1. KỸ THUẬT NẮN CHỈNH BIẾN DẠNG DỰA VÀO HỆ TỌA ĐỘ BARYCENTRIC BARYCENTRIC
2.1.1. GIỚI THIỆU
Nắn chỉnh biến dạng đối tượng dựa vào hệ tọa độ Barycentric được áp dụng rộng rãi trong các ứng dụng làm biến dạng đối tượng ở mức độ đơn giản. Tư tưởng chính của kỹ thuật là chia bề mặt đối tượng cần biến đổi thành các đa giác, các đa giác này được đặc trưng bởi các đỉnh. Để biến đổi đối tượng thì chúng ta chỉ cần biến đổi các đa giác này và sau đó áp dụng hệ tọa độ Barycentric tính lại dữ liệu cho đối tượng để thu được kết quả cuối cùng.
Hệ tọa độ Barycentric được đề xuất lần đầu tiên bởi August Ferdinand Mobius (1790 - 1816) trong cuốn sách “The Barycentric calculus”, xuất bản vào năm 1827 [29]. Ông bắt đầu với ý tưởng của một thanh trọng lượng với trọng lượng gắn vào hai điểm khác biệt, và quan tâm đến vị trí trung tâm của thanh. Nói cách khác, ông muốn tìm thấy những điểm mà tại đó một điểm tựa có thể được đặt để cân bằng thanh [30]. Trong tính toán của ông, Mobius được cho là đã phủ định trọng lượng. Mặc dù điều này có vẻ phản trực giác, phủ định trọng lượng có thể được coi là một đối tượng được áp dụng với một lực hướng lên, chẳng hạn như một quả khinh khí cầu. Trong trường hợp này, chú ý rằng trọng tâm không phải là điểm giữa hai đối tượng.
Mobius gán tọa độ đến điểm mà tại đó các trung tâm của trọng lực hoặc là vị trí xác đinh, trong đó phản ánh tỷ lệ trọng lượng gắn liền với thanh. Ông ghi tọa độ Barycentric của điểm mà tại đó điểm tựa là điểm xác định như trong hình 2.1 là (mA : mB) .
Mobius sau đó mở rộng ý tưởng này với một hệ thống ba điểm trọng , tạo thành
một hình tam giác [29]. Giả sử trọng lượng mA, mB và mC được đặt ở các đỉnh tương
ứng của tam giác ABC. Sau đó, tọa độ Barycentric của điểm P, vị trí trung tâm của lực
hấp dẫn, được thể hiện bằng tỷ lệ khối lượng (mA : mB : mC). Xem hình 2.2.
Hình 2.2. Ý tưởng mở rộng của Mobius
Nếu trọng lượng trong hình 2.2 được thay thế bằng trọng lượng đã từng được tăng hoặc giảm bởi một yếu tố phổ biến, tỷ lệ trọng lượng, và trọng tâm sẽ vẫn như cũ.
Vì vậy, một điểm P cụ thể có nhiều bộ tọa độ Barycentric . Ví dụ, giả sử trọng trong
hình 2.2 được gán khối lượng như sau: mA = 1g, mB = 2g, mC = 3g. Các tọa độ gán cho
P trong trường hợp này là (1:2:3). Nếu các trọng lượng này sau đó được thay thế mA =
2g, mB = 4g, và mC = 6g, khi đó tọa độ điểm P là (2: 4: 6). Vị trí của P khi đó là không
thay đổi. Do đó, hệ tọa độ Barycentric của P có thể được định nghĩa bởi (λ2 : λ3 : λ4 ),
với và được cho là đồng nhất.
Các tọa độ (u : v : w) thường được chuẩn hóa có tổng bằng 1, tức là: u + v + w
= 1 để tính toán dễ dàng hơn. Chuẩn hóa các tọa độ (u : v : w), chỉ đơn giản là nhân
với mỗi tọa độ một giá trị bằng 1/u+v+w. Do đó, hệ tọa độ chuẩn hóa của P(u : v : w)
là: 1 ( : : )u v w u , v , w u v w u v w u v w u v w
Tọa độ chuẩn hóa thường được dùng dấu phẩy thay vì dùng đấu hai chấm để