Tiêu chuẩn bổ sung để nhĩm hữu hạn là siêu giải được

M Ở ĐẦU

2.3. Tiêu chuẩn bổ sung để nhĩm hữu hạn là siêu giải được

2.3.1. Bổ đề

Cho G là nhĩm cấp p p1 2...p , vn ới p ,i i=1,n là số nguyên tố . Khi đĩ G là nhĩm siêu giải được.

Chứng minh.

1 2... n

G = p p p , khơng mất tính tổng quát ta cĩ thể giả sử p1> p2 > >... pn

Gọi Pn là pn −nhĩm con Sylow của G, ta cĩ Pn = pn nên Pn là nhĩm cyclic, rõ ràng thỏa mãn Pn ≤Z N( G(Pn)) nên theo Định lý Burnside (Định lý 1.19) ta cĩ G=N Pn n với

, 1

n n n

N G N ∩P = , và Nn cĩ cấp là p p1 2...pn−1.

Tương tự như vậy ta lại cĩ Nn =Nn−1Pn−1 với Nn−1G P, n−1 là pn−1– nhĩm con Sylow của G.

Tiếp tục quá trình như vậy, ta xây dựng được dãy các nhĩm con chuẩn tắc của G:

1 1 1 1

1= N  ... Nn− Nn− Pn− =Nn N Pn n =G thỏa mãn mỗi nhân tử là nhĩm cyclic. Vậy, G

là nhĩm siêu giải được.

Một cách tổng quát, ta cĩ định lý nổi tiếng sau đây của S. Srinivasan là điều kiện đủ để một nhĩm hữu hạn bất kì là siêu giải được.

2.3.2. Định lý S. Srinivasan

Cho G là nhĩm hữu hạn thỏa mãn mọi nhĩm con tối đại của nhĩm con Sylow bất kì của G là chuẩn tắc trong G. Khi đĩ G là nhĩm siêu giải được.

41 Giả sử 1 2

1 2 ... r

r

G = p pα α pα . Đặt N là tích các nhĩm con tối đại của những nhĩm con Sylow của G. Do tính lũy linh của các nhĩm con Sylow của G (do đều là p–nhĩm) nên các nhĩm con tối đại của chúng cĩ cấp lần lượt là 1 1

1 1 ,

N = pα − 2 1 1

2 2 ,... r

r r

N = p α − N = pα − , các nhĩm này rõ ràng giao nhau bằng 1 nên 1 1 2 1 1

1 2 ... r

r

N = pα− pα − pα − , các nhĩm N N1, 2,...,Nr

theo giả thiết chuẩn tắc trong G nên N G, suy ra G N = G N = p p1 2...pr. Do đĩ ta cĩ

G N là nhĩm siêu giải được (theo Bổ đề 2.3.1).

Rõ ràng N là nhĩm lũy linh vì tất cả các nhĩm con Sylow của N là chuẩn tắc trong N. Như vậy, G N là siêu giải được và N là lũy linh do đĩ G là nhĩm giải được.

Gọi M là nhĩm con tối đại bất kì của G. Do G là nhĩm giải được nên M cĩ chỉ số trong là lũy thừa của một số nguyên tố, giả sử [G M: ]= pin với

1 i r i i G pα = =∏ . Ta cĩ M là nhĩm giải được cấp 1 2 1 . 2 ... i n... r i r M = pα pα pα− pα . Gọi Mpi là pi −nhĩm con Sylow của M khi đĩ i

i

n

p i

M = pα − . Theo Định lý P.Hall (Định lý 1.25.7) do M là giải được nên tồn tại 'pi –nhĩm con Hall H của M sao cho

i p M =HM , với 1, j r j j j i H pα = ≠ = ∏ . Vì i i p p M < G ( i p

G là pi–nhĩm con Sylow của G) nên Mpi phải nằm trong một nhĩm con tối đại P0 của Gpi, do đĩ ta cĩ Mpi ≤P0 <Gpivà theo giả thiết ta cĩ P0G.

Ta cĩ 0 i p M =HM ≤HP , HP0 ≠G vì nếu HP0 =G mà H∩P0 =1 suy ra 0 0 1, 1 j i r r j i j j i i G H P pα P pα = ≠ =   = =  <

 ∏  ∏ (vơ lý), mặt khác M là nhĩm con tối đại của G nên

0 M =HP . Do H ∩P0 =1 nên 0 1 1, j i r j i j j i M H P pα pα − = ≠   = =    ∏ 

42 Suy ra [ ] 1 2 1 2 1 1, ... : r j i r i r j i j j i G p p p G M p M p p α α α α α − = ≠ = = =      ∏ 

. Như vậy, ta đã chỉ ra mọi nhĩm con

tối đại của G cĩ chỉ số trong G là số nguyên tố, theo Hệ quả 2.2.12 ta cĩ G là nhĩm siêu giải được.

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là trong giả thiết của định lý nếu ta thay điều kiện “chuẩn tắc” bằng điều kiện “π −tựa chuẩn tắc” thì định lý cịn đúng khơng? Câu trả lời là khẳng định, định lý sau đây làm rõ điều đĩ.

2.3.3. Định lý

Cho G là nhĩm hữu hạn thỏa mãn mọi nhĩm con tối đại của nhĩm con Sylow bất kì của G là π−tựa chuẩn tắc trong G. Khi đĩ G là nhĩm siêu giải được.

Chứng minh.

Gọi P là p–nhĩm con Sylow bất kì của G. Giả sử P0 là một nhĩm con tối đại của P. Theo giả thiết ta cĩ P0 là π −tựa chuẩn tắc trong G ⇒ P G0 q ≤G, ∀q G\ với Gq là q– nhĩm con Sylow của G. Do P0 là π –tựa chuẩn tắc trong G nên π −tựa chuẩn tắc trong

0 q

P G (Định lý 1.21.2 (i)) và do đĩ P0P G0 q,∀ ≠q p (Định lý 1.21.2 (ii)). Suy ra

0

( ),

q G

G ≤N P ∀ ≠q p. Do P0 là nhĩm con tối đại của P nên P0P suy ra P≤NG( )P0 , do đĩ theo Định lý 1.18 P0G. Áp dụng Định lý 2.3.2 ta cĩ G là nhĩm siêu giải được.

Mở rộng hơn định lý của S. Srinivasan, ta cĩ định lý sau đây

2.3.4. Định lý

Cho H G. Nếu G H là nhĩm siêu giải được và mọi nhĩm con tối đại của nhĩm con Sylow bất kì của H là chuẩn tắc trong G thì G là nhĩm siêu giải được.

Chứng minh.

Ta xét 2 trường hợp sau:

43

Đặt m P( )={P P1, 2,...,Pn}, n≥1 là tập tất cả các nhĩm con tối đại của P, theo giả thiết ta cĩ Pi G,∀ =i 1, 2,...,n.

1, 2,...,

i n

∀ = ta cĩ (G Pi) (P Pi)≅G P=G H nên (G Pi) (P Pi)là nhĩm siêu giải được. Mặt khác P Pi = p, tức P Pi là nhĩm cyclic nên theo Hệ quả 2.1.9 ta cĩ G Pi,

1,

i n

∀ = là nhĩm siêu giải được.

Do đĩ theo Hệ quả 2.1.12 G P G P1× 2× ×... G Pn là siêu giải được. Mặt khác

( 1 2 ... n) 1 2 ... n G P P P G P G P G P ≅ ∩ ∩ ∩ ⊂ × × × nên 1 n i i G P =

∩ là nhĩm siêu giải được. Do PG nên ( )φ P ≤φ( )G 1 ( ) ( ) n i i G φ G G φ P G P = ⇒ ≤ = ∩ do đĩ G φ( )G là siêu giải được, theo Định lý 2.2.13 G là nhĩm siêu giải được.

Trường hợp 2. P<H

Theo Định lý 2.3.2, ta cĩ H là nhĩm siêu giải được (vì mọi nhĩm con tối đại Pi của

P chuẩn tắc trong G thì cũng chuẩn tắc trong H ≤G). Áp dụng Định lý 2.2.4, với P1 là

1

p −nhĩm con Sylow của H, trong đĩ p1 là ước nguyên tố lớn nhất của H thì ta cĩ

1

P H . Bằng quy nạp ta cĩ G P1 là nhĩm siêu giải được (Do G P1 và H P1 thỏa mãn điều kiện định lý, cụ thể (G P1) (H P1)≅G H siêu giải được. Lấy Q P1 là một nhĩm con tối đại của nhĩm con Sylow bất kì của H P1 thì Q là nhĩm con tối đại của nhĩm con Sylow của H, theo giả thiết Q là chuẩn tắc trong G, suy ra Q P1 là chuẩn tắc trong G P1) . Theo

Trường hợp 1 (áp dụng với H là P1 ), ta cĩ G là siêu giải được.

Tất nhiên, một câu hỏi cũng được đặt ra là trong giả thiết của định lý nếu ta thay điều kiện “chuẩn tắc” bằng điều kiện “π −tựa chuẩn tắc” thì định lý cịn đúng khơng? Câu trả lời là khẳng định, định lý sau đây làm rõ điều đĩ.

2.3.5. Định lý

Cho H G. Nếu G H là nhĩm siêu giải được và mọi nhĩm con tối đại của nhĩm con Sylow bất kì của H là π −tựa chuẩn tắc trong G thì G là nhĩm siêu giải được.

44

Chứng minh.

Giả sử định lý là sai, ta chọn G cĩ cấp nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện của định lý nhưng khơng là nhĩm siêu giải được.

Khi đĩ H là nhĩm siêu giải được. Thật vậy, nếu H =G thì theo Định lý 2.3.3 ta cĩ H

siêu giải được. Nếu H <G thì cặp (H, H) thỏa các điều kiện của định lý nên H là siêu giải được do cách chọn G.

Gọi P là p–nhĩm con Sylow của G, với p là ước nguyên tố lớn nhất của G . Ta cĩ 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu P≤H thì do H là nhĩm siêu giải được ta cĩ PH(Định lý 2.2.4). Do

P là p–nhĩm con Sylow của H mà PH nên P char H, mặt khác H G nên PG. Ta cĩ

H PG P và (G P) (H P)≅G H là nhĩm siêu giải được, theo Định lý 1.21.2(iii) mọi nhĩm con tối đại của nhĩm con Sylow bất kì của H P là π −tựa chuẩn tắc trong G P. Như vậy cặp (G P H P, ) thỏa mãn điều kiện của định lý, và G P < G nên ta cĩ G P là nhĩm siêu giải được.

Gọi P1 là nhĩm con tối đại bất kì của P, theo giả thiết ta cĩ P1 là π −tựa chuẩn tắc trong G, suy ra PQ1 ≤G, ∀ ≠q p và Q là q–nhĩm con Sylow của G. Theo Định lý 1.21.2 (i) thì P1 là π −tựa chuẩn tắc trong PQ1 , theo Định lý 1.21.2 (ii) P1PQ1 suy ra PQ1 ≤NG( )P1

và do đĩ Q≤NG( )P1 vì Q≤PQ1 . Do P1P nên P≤NG( )P1 , suy ra P1G. Do đĩ theo Định lý 2.3.4 (áp dụng với H là P) G là nhĩm siêu giải được, mâu thuẫn.

Trường hợp 2: Nếu P ≤ H. Rõ ràng PH ≤G(vì H G).

Trong trường hợp này, trước hết ta cĩ nhận xét sau: “Nếu PG thì G là siêu giải được ” (*)

Chứng minh (*): Ta cĩ P∩H G và P∩H là p–nhĩm con Sylow của H (theo Định lý 1.27.4) . Từ đĩ theo Định lý 2.3.4 tồn tại nhĩm con tối đại P2 của P∩H thỏa mãnP2

45

Khi đĩ H ≤ NG( )P2 . Thật vậy, vì P2 là π−tựa chuẩn tắc trong G nên P2 là π −tựa chuẩn tắc trong H. Suy ra P Q2 ≤H với mọi Q là q–nhĩm con Sylow của H, q≠ p ⇒ P2 là

π –tựa chuẩn tắc trong P Q2 (Định lý 1.21.2 (i)), mà P2 là nhĩm con Hall của P Q2 nên

2 2

P  P Q (Định lý 1.21.2(ii)) ⇒P Q2 ≤NG( )P2 ⇒ ≤Q NG( )P2 (1)

Do P2P∩H(nhĩm con tối đại của nhĩm lũy linh) nên P∩H ≤NG( )P2 (2). Từ (1) và (2) ta cĩ mọi nhĩm con Sylow của H đều nằm trong NG( )P2 do đĩ theo Định lý 1.18 ta cĩ

2

P  H, nghĩa là H ≤NG( )P2 .

Xét p( ) | là nhóm con Sylow của , ( 2)

G

O G = Q Q q− G q≠ p ≤N P <G (vì mọi q– nhĩm con Sylow Q≤NG( )P2 . Do đĩ tồn tại nhĩm con tối đại M của G thỏa mãn

2

( )

G

N P ≤M <G.

Ta cĩ O Gp( )G, O Gp( )M nên ta cĩ M O Gp( ) là nhĩm con tối đại của ( )

p

G O G mà G O Gp( ) là p–nhĩm nên M O Gp( )G O Gp( ) do đĩ M G , hơn nữa

G M = p.

Ta cĩ M là siêu giải được, vì H ≤NG( )P2 ≤M và H G ⇒H M , cặp ( , )M H

thỏa các điều kiện định lý nên do sự lựa chọn G, ta cĩ M là siêu giải được. Như vậy ta cĩ

G =PM và do đĩ G là siêu giải được. Vậy (*) được chứng minh. Bây giờ, ta xét 2 khả năng sau:

a) Nếu PH <Gthì vì cặp (PH H, ) thỏa mãn điều kiện định lý nên do sự lựa chọn của G ta cĩ PHlà nhĩm siêu giải được. Do PH H là p–nhĩm con Sylow của G H, với p là ước nguyên tố lớn nhất, mà G H là siêu giải được nên PH H G H (Định lý 2.2.4) và do đĩ

PH G. Do P char PH, PH G nên PG. Theo nhận xét (*) ở trên ta cĩ G là nhĩm siêu giải được, mâu thuẫn.

b) Trường hợp PH =G. Nếu \p H thì G H ≅ P. Lấy nhĩm con Sylow bất kì của H thì chỉ cĩ thể là q–nhĩm con Sylow Q, q≠ p. Với mọi Q1 là nhĩm con tối đại của Q, ta chứng minh Q1G

46

Lấy nhĩm con Sylow bất kì của G thì nĩ chỉ cĩ thể là p–nhĩm con Sylow chính là P hoặc q

–nhĩm con Sylow Q hoặc q2–nhĩm con Sylow Q2 nào đĩ q2 ≠ ≠p q Hiển nhiên Q1Q⇒ ≤Q N QG( 1) (1)

Ta cĩ Q1 là π−tựa chuẩn tắc trong G nên π −tựa chuẩn tắc trong Q P1 ⇒Q1Q P1 (do Q1

là nhĩm con Hall)⇒Q P1 ≤N QG( 1) ⇒ ≤P N QG( 1) (2)

Tương tự Q1 là π −tựa chuẩn tắc trong G nên π −tựa chuẩn tắc trong Q Q1 2 ⇒Q1Q Q1 2 (do Q1 là nhĩm con Hall)⇒Q Q1 2 ≤ N QG( 1) ⇒Q2 ≤NG(Q1) (3)

Từ (1), (2), (3) ta cĩ Q1G theo Định lý 1.18. Theo Định lý 2.3.4, G là nhĩm siêu giải được, mâu thuẫn.

Nếu \p H . Đặt P3 là p–nhĩm con Sylow của H, do P3 char H G nên P3G và

3

G P là siêu giải được (do sự lựa chọn G và cặp nhĩm (G P H P3, 3) thỏa điều kiện định lý). Ta cĩ P P3G P3 suy ra PG, do đĩ theo nhận xét (*) G là siêu giải được, mẫu thuẫn.

Trong mọi trường hợp đều dẫn đến mâu thuẫn, điều giả sử là sai. Vậy, G là nhĩm siêu giải được.

47

KẾT LUẬN

Trong luận văn, phần chính là các tính chất đặc trưng của nhĩm siêu giải được hữu hạn và điều kiện đủ để một nhĩm hữu hạn là siêu giải được. Luận văn đã đi sâu và nêu ra mối liên hệ giữa nhĩm siêu giải được và các nhĩm quan trọng khác như nhĩm giải được, nhĩm lũy linh, … Bên cạnh đĩ, việc xác định điều kiện đủ để một nhĩm hữu hạn là nhĩm siêu giải được khơng kém phần quan trọng, luận văn đã chứng minh được định lý nổi tiếng của Huppert, đây là tiêu chuẩn cơ bản về nhĩm siêu giải được, cụ thể “Nếu mọi nhĩm con tối đại của một nhĩm hữu hạn G đều cĩ chỉ số trong G là số nguyên tố thì G là nhĩm siêu giải được”. Từ đĩ, luận văn đưa ra tiêu chuẩn bổ sung là định lý nổi tiếng của Srinivasan,

đồng thời đưa ra thêm các tiêu chuẩn trong các bài báo của Asaad và Ramadan phát triển từ định lý của S.Srinivasan.

Những kết quả thú vị về điều kiện đủ để một nhĩm hữu hạn là siêu giải được đã, đang và sẽ tiếp tục phát triển. Chẳng hạn như các tiêu chuẩn cĩ sự kết hợp với nhĩm lũy linh, tích của các nhĩm con chuẩn tắc thỏa mãn một điều kiện nào đĩ, … Đây là vấn đề sẽ được tiếp tục nghiên cứu trong tương lai.

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Bùi Xuân Hải (2002), Đại số hiện đại, Nxb ĐH Quốc gia, Tp. Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh

2. C.J.E.Pinnock (1998), Supersolubility and some characterizations of finite supersoluble groups, Msci Project, London.

3. Derek J.S.Robinson (1996), A course in the theory of groups, Springer – Verlag, New York.

4. D.Gorenstein (1968), Finite groups, Northeastern University, New York.

5. M.Asaad, M. Ramadan and A.Shaalan (1991), “The influence of π –quasinormality of maximal subgroups of Sylow subgroups of Fitting subgroups of a finite group”, Arch. Math. ,56, pp. 521–527.

6. M.Ramadan (1992), “Influence of normality on maximal subgroups of Sylow subgroups of a finite group”, Acta Math. Hung, vol. 59, no. 4, pp. 107–110.

7. S.Srinivasan (1980), “Two sufficient conditions for supersolvability of finite groups”, Isr. J. Math.,35, pp. 210–214.

8. W.R.Scott (1987), Group theory, Dover Pulications Inc, New York.

9. William Burnside (2004), The Collected Papers of William Burnside, Oxford University press, New York.

Tiếng Đức

10. O. Kegel (1962), “Sylow – Gruppen und subnormalteiler endlicher Gruppen”, Math. Z., 78, pp. 205–221.