Một số đặc trưng của nhĩm siêu giải được hữu hạn

M Ở ĐẦU

2.2.Một số đặc trưng của nhĩm siêu giải được hữu hạn

Trong phần này nhĩm được xét (nếu khơng nĩi gì thêm) luơn là nhĩm hữu hạn

2.2.1. Định nghĩa (tháp Sylow)

Cho p p1, 2,...,pr là các ước nguyên tố khác nhau của G . Một tháp Sylow loại

(p p1, 2,...,pr) là một dãy các nhĩm con G G1, 2,...,Gr của G sao cho Gi là pi −nhĩm con Sylow của G, ∀ =i 1, 2,...,r, và G G1. 2...Gk G,∀ =k 1, 2,...,r.

Nếu các ước nguyên tố của G được sắp xếp sao cho p1 > p2 > >... pr thì ta gọi tháp Sylow loại (p p1, 2,...,pr) là một tháp Sylow (sắp thứ tự giảm).

2.2.2. Mệnh đề

Cho 1  H K G là một dãy các nhĩm con chuẩn tắc của nhĩm G với H và K H

là nhĩm cyclic. Khi đĩ, nếu H = < =p q K H , với p q là các s, ố nguyên tố thì tồn tại R là nhĩm con chuẩn tắc của G chứa trong K sao cho R q= và K R = p.

Chứng minh. Vì H = < =p q K H nên K = pq

Gọi R là q−nhĩm con Sylow của K và n là số các q–nhĩm con Sylow của G, ta cĩ: 1(mod ) | n q n p q ≡   <  ⇒ =n 1⇒RK ⇒R H char K H. Mà K H G H nên R H G H ⇒RG R, =q và K R = p. 2.2.3. Định lý

Cho G là nhĩm siêu giải được hữu hạn. Khi đĩ G cĩ một dãy siêu giải được với các nhân tử là nhĩm cĩ cấp là số nguyên tố và giảm dần theo chiều dài của dãy.

32

Chứng minh. Do G là nhĩm siêu giải được nên G cĩ một dãy siêu giải được.

0 1

1=G   G ... Gn =G với các nhân tử là nhĩm cyclic cấp nguyên tố (Định lý 2.1.19)

Xét dãy các nhĩm con chuẩn tắc của G: 1≤G1≤G2 ≤G cĩ G1 và G G2 1 là nhĩm cyclic cấp nguyên tố.

Nếu G1 = < =p q G G2 1 thì theo Mệnh đề 2.2.2 ta cĩ ∃R1G R, 1⊂G2 sao cho

1 2 1

R = > =q p G R . Dãy 1=G0 R1 G2 ... Gn =G cĩ R1 > G R2 1

Xét dãy các nhĩm con chuẩn tắc của G R1 :

1 1 2 1 3 1 1 1=R R G R G R G R Nếu G R2 1 = < =p r G G3 2 = (G R3 1) (G R2 1) thì theo Mệnh đề 2.2.2 ta cĩ 2 1 1 R R G R ∃  , R R2 1⊂G R3 1 sao cho ( ) ( ) 2 1 3 1 2 1 3 2 R R = > =r p G R R R = G R Dãy 1=G0 R1 R2G3 ... Gn =G cĩ R R2 1 > G R3 2

Nếu R R2 1 = > =r q R1 ta tiếp tục xét dãy các nhĩm con chuẩn tắc của G:

1 2

1 R R G.

Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng được dãy siêu giải được của G sao cho các nhân tử là nhĩm cĩ cấp nguyên tố và giảm dần theo chiều dài của dãy.

2.2.4. Định lý

Cho G là nhĩm siêu giải được. Nếu G cĩ các ước nguyên tố p1 > p2 > >... pm thì G cĩ các nhĩm con P P1, 2,...,P sao cho m P là i pi − nhĩm con Sylow của G, ∀ =i 1,m và

1 2... k , 1,

P P P G ∀ =k m. (G cĩ một tháp Sylow).

33

 n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

G = p , hiển nhiên G là p– nhĩm con Sylow của G và GG

Giả sử mệnh đề đúng với số ước nguyên tố của G nhỏ hơn m. ta chứng minh đúng với G = m.

 G cĩ các ước nguyên tố là p1> p2 > >... pm

Vì G là nhĩm siêu giải được hữu hạn nên G cĩ một dãy siêu giải được với các nhân tử là nhĩm cĩ cấp nguyên tố và các nhân tử cĩ cấp p= p1 xuất hiện đầu tiên (Định lý 2.2.3):

0 1

1=G   G ... Gn =G

Gọi r là số nguyên lớn nhất sao cho G Gr r−1 = p. Khi đĩ, Gr G và Gr = pr

Ta cũng cĩ bất kì số nguyên tố nào là ước của G Gr đều nhỏ hơn p. Do đĩ Gr là

p−nhĩm con Sylow chuẩn tắc của G. Ta cĩ 2 i m r i i G G pα =

=∏ . Theo giả thiết quy nạp, với mỗi i=2,m, G Gr cĩ các pi −

nhĩm con Sylow là T Gi i sao cho ( )

2 k i i r i T G G G = ∏  , ∀ =k 2,m 2 , 2, k i i T G k m = ⇒∏  ∀ = . Gọi Pi là pi −nhĩm con Sylow của G, ∀ =i 2,m; P1=Gr là p1−nhĩm con Sylow của G. Ta cĩ i 1 i i i r i r i r i i r T T G T G T G P p pp G α α = ⇒ = = = , ∀ =i 2,m , 2, i i i P pα i m

⇒ = ∀ = ⇒ Pi là pi −nhĩm con Sylow của G, ∀ =i 2,m. Vậy ta cĩ P1G; P P1 2 =T2 G; …; 1 2 , 2, k k i j i j P T G k m = = = ∀ = ∏ ∏  . 2.2.5. Hệ quả

34

i) Nếu p là ước nguyên tố lớn nhất của G thì G cĩ một p−nhĩm con Sylow chuẩn tắc S và S cĩ phần bù T trong G.

ii) Nếu p là ước nguyên tố nhỏ nhất của G thì p−nhĩm con Sylow P của G cĩ một phần bù chuẩn tắc Q trong G.

Chứng minh.

G là nhĩm siêu giải được hữu hạn. Khi đĩ, nếu G cĩ các ước nguyên tố là

1 2 ... m

p > p > > p thì G cĩ các nhĩm con P P1, 2,...,Pm sao cho Pi là pi −nhĩm con Sylow của G, ∀ =i 1,m và P P1 2...Pk G, ∀ =k 1,m.(Định lý 2.2.4)

i) Lấy S =P1, ta cĩ S là p1−nhĩm con Sylow chuẩn tắc của G (với p1= p là ước nguyên tố lớn nhất của G ) và ([G S: ], S)=1⇒S cĩ phần bù T trong G (Định lý 1.11).

ii) Lấy P=Pm và Q=P P1 2...Pm−1G. Ta cĩ ( Pi , P)=1,∀ =i 1,m−1 ⇒( P Q, )=1 1

Q P

⇒ ∩ = . Mà PQ=G ⇒P cĩ phần bù chuẩn tắc Q trong G.

2.2.6. Định lý

Cho G là nhĩm siêu giải được khi đĩ với mọi H G≤ , H cĩ một nhĩm con cĩ chỉ số trong H là p với mỗi p là ước nguyên tố của H .

Chứng minh.

Ta chứng minh quy nạp theo G

Nếu H <G thì H là nhĩm siêu giải được và theo giả thiết quy nạp thì H cĩ một nhĩm con cĩ chỉ số trong H là p với p là ước nguyên tố của H . Như vậy, ta chỉ cần chứng minh điều sau: “ Lấy q là một ước nguyên tố của G , ta chứng minh G cĩ một nhĩm con cĩ chỉ số trong G là q”.

Giả sử p là ước số nguyên tố lớn nhất của G . Khi đĩ G cĩ một p–nhĩm con Sylow S (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

35

 Trường hợp q< p. Vì G S < G , \q G S và G S là nhĩm siêu giải được nên theo giả thiết quy nạp thì G S cĩ một nhĩm con là K S cĩ chỉ số trong G S bằng q. Khi đĩ, ta cĩ

K ≤G và [G K: ] [= G S K S: ]=q⇒K là nhĩm cần tìm.

 Trường hợp q= p. Vì G là nhĩm siêu giải được, S G nên G cĩ một dãy siêu giải được cĩ S là một trong số các hạng tử của dãy (theo Định lý 2.1.10). Mà S là một p–nhĩm nên

P G ∃ < sao cho P≤Svà [S P: ]= p. Đặt M =PT. Ta cĩ P∩ ≤ ∩ =T S T 1 M PT P T P T P T ⇒ = = = ∩ Mà S T G ST S T S T = = = ∩ nên [G M: ] G S T [S P: ] p q M P T = = = = = .⇒M là nhĩm cần tìm. 2.2.7. Định nghĩa

Nhĩm G được gọi là nhĩm thỏa clt (chiều đảo của Định lý Lagrange – converse of Lagrange’s Theorem) nếu với mỗi n là ước của G thì G cĩ một nhĩm con cĩ cấp là n.

2.2.8. Định lý

Mọi nhĩm siêu giải được đều thỏa clt.

Chứng minh.

G là nhĩm siêu giải được ⇒với mỗi H ≤G, p là ước nguyên tố của H thì tồn tại nhĩm con cĩ chỉ số trong H là p (Định lý 2.2.6).

Giả sử \n G , khi đĩ ∃ ∈m  sao cho G =nm. Giả sử p p1 2...pr là một phân tích nguyên tố của m ⇒ pi,∀ =i 1,r là các ước nguyên tố của G .

36 [ ] 1 2 1 2 1 1 ... ... : r r G p p p n H p p n G H p ⇒ = = = .

Ta lại cĩ p2 \ H1 ⇒ ∃H2 ≤H1 sao cho [H1:H2]= p2 , tương tự như vậy với 2,...,

i = r cĩ nhĩm con Hi cĩ chỉ số là pi trong Hi−1. Khi đĩ

[ ] [ 1][ 1 2] [ 1 ] 11 22 ... : : : ... : ... r r r r r r H H p p p n H n H H H H H H H − H p p p = = = =

Suy ra Hr là nhĩm con cần tìm. Vậy, với mỗi \n G đều cĩ nhĩm con cấp là n

(đpcm).

2.2.9. Định lý

Nếu G là nhĩm p–đĩng nghiêm ngặt thì G là nhĩm siêu giải được.

Chứng minh.

Ta chứng minh quy nạp theo G .

Vì G là nhĩm p–đĩng nghiêm ngặt nên theo định nghĩa ta cĩ H là p–nhĩm con Sylow chuẩn tắc của G và G H là nhĩm aben cĩ số mũ là ước của p–1.

Nếu H =1 thì G≅G H là nhĩm aben (cĩ số mũ là ước của p–1) nên G là nhĩm siêu giải được.

Nếu H ≠1 thì (Z H)≠1 (vì H là p–nhĩm). Mà (Z H)G nên tồn tại N là nhĩm con chuẩn tắc tối tiểu của G sao cho N ≤Z H( )⇒ H ≤CG( )N . Mà G H là nhĩm Aben cĩ số mũ là ước của p–1 nên G CG( )N ≅(G H) (CG( )N H) là nhĩm Aben cĩ số mũ là ước của

p–1. Suy ra N = p hay N là nhĩm cyclic (1)

Ta cĩ H G⇒ H N G N , H N = pr−1 ( H = pr ) ⇒H N là p–nhĩm con Sylow chuẩn tắc của G N (2).

37

Từ (2) và (3) ta cĩ G N là nhĩm p–đĩng nghiêm ngặt. Mặt khác G N < G nên theo giả thiết quy nạp ta cĩ G N là nhĩm siêu giải được (4).

Từ (1) và (4) ta cĩ G là nhĩm siêu giải được (theo Hệ quả 2.1.9)

2.2.10. Bổ đề (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Cho G là nhĩm hữu hạn thỏa mãn mọi nhĩm con tối đại đều cĩ chỉ số trong G là một số nguyên tố. Nếu p là ước nguyên tố lớn nhất của G thì p–nhĩm con Sylow tương ứng là chuẩn tắc trong G.

Chứng minh.

Gọi S là p–nhĩm con Sylow của G với p là ước nguyên tố lớn nhất của G . Giả sử S

khơng chuẩn tắc trong G, thế thì NG( )S chứa trong nhĩm con tối đại M của G. Vì

[G N: G( )S ] [= G M: ][M N: G( )S ] và NM( )S = NG( )S nên theo định lý Sylow

[G M: ]≡1(mod )p , đặt [G M: ]=q thì do sự lựa chọn p nên q≤ p , mặt khác từ

[G M: ]= +1 kp k, ≠0 ta cĩ kp = −q 1, suy ra p là ước q−1, tức p<q (mâu thuẫn). Vậy ta cĩ điều phải chứng minh.

2.2.11. Định lý

Nếu mọi nhĩm con tối đại của G đều cĩ chỉ số trong G là một số nguyên tố thì G là nhĩm siêu giải được.

Chứng minh.

Bước 1: Ta chứng minh G là nhĩm giải được bằng quy nạp theo G .

 Giả sử p là ước nguyên tố lớn nhất của G

38

 Ta cĩ M S là nhĩm con tối đại của G S khi và chỉ khi M là nhĩm con tối đại của G và

S ⊂M . Hơn nữa [G S M S: ] [= G M: ] là một số nguyên tố ⇒G S thỏa giả thiết định lý. Mà G S < G , do đĩ theo giả thiết quy nạp ta cĩ G S là nhĩm giải được.

Do S giải được và G S giải được nên G là nhĩm giải được.

Bước 2: Ta chứng minh G là nhĩm siêu giải được bằng quy nạp trên G

Giả sử H là một nhĩm con chuẩn tắc tối tiểu của G. M H là nhĩm con tối đại của

G H khi và chỉ khi M là nhĩm con tối đại của G và H ⊂ M và [G S M S: ] [= G M: ] là số nguyên tố ⇒G H thỏa giả thiết của định lý và G H < G . Theo giả thiết quy nạp, ta cĩ

G H là nhĩm siêu giải được.

Nếu tồn tại K là một nhĩm con chuẩn tắc tối tiểu của G và K ≠H thì G K là nhĩm siêu giải được theo quy nạp. Hơn nữa H ∩KG H, ∩K K, do tính tối tiểu của K nên

1

H ∩ =K ⇒ ≅G G H( ∩K) là nhĩm siêu giải được (Định lý 2.1.13). Do vậy, ta chỉ xét trường hợp H là nhĩm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Vì G là nhĩm giải được hữu hạn nên H là p–nhĩm con Aben cơ bản của G. Khi đĩ H là nhĩm con chuẩn tắc lũy linh của

G ⇒ H ≤F G( ).

Nếu tồn tại q là một ước nguyên tố của ( )F G và q≠ p. Giả sử Q là một q–nhĩm con Sylow của ( )F G . Do tính lũy linh của ( )F G nên Q là duy nhất ⇒Q char F G( ). Mà

( )

F G G nên QG ⇒G cĩ một nhĩm con q–chuẩn tắc ⇒G cĩ một nhĩm con chuẩn tắc tối tiểu là q–nhĩm (mâu thuẫn với sự duy nhất của H). Vậy ( )F G là p–nhĩm.

Nếu H khơng chứa trong ( )φ G thì tồn tại M là nhĩm con tối đại của G sao cho H

khơng chứa trong M. Ta cĩ M <HM , do tính tối đại của M nên HM =G.

H là nhĩm Aben ⇒M ∩H H , H G⇒M ∩H M ⇒H M, ≤NG(M ∩H) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

M H HM G

⇒ ∩  = . Mà M ∩H H M, ∩H ≠ H nên do tính tối tiểu của H, ta cĩ 1

M ∩H = . Khi đĩ H =[H:1] [= H: (M ∩H)] [= HM M: ] [= G M: ] là một số nguyên tố

H

39

Nếu H ≤φ( )G , theo giả thiết quy nạp ta cĩ G φ( )G là nhĩm siêu giải được. Mặt khác F G( φ( )G )=F G( ) φ( )G . Mà ( )F G là một p–nhĩm nên F G( φ( )G ) là một p– nhĩm. G φ( )G là nhĩm siêu giải được nên mọi nhân tử cơ bản của G φ( )G là nhĩm cyclic cấp nguyên tố (Định lý 2.1.18). Mặt khác F G( φ( )G ) là một p–nhĩm nên mọi nhân tử cơ bản của G φ( )G là nhĩm cyclic cấp p.

Giả sử H K là một nhân tử cơ bản của G φ( )G , khi đĩ ta cĩ Aut H K( ) = −p 1.

Ta cĩ (G φ( )G ) C(Gφ( ))G (H K) đẳng cấu với một nhĩm con của Aut H K( ) là nhĩm Aben cĩ cấp là p–1 ⇒(G φ( )G ) C(Gφ( ))G (H K) là nhĩm Aben cĩ số mũ là ước của

p–1. Mà F G( φ( )G ) là giao của các tâm hốn tử của các nhân tử cơ bản của G φ( )G nên ta cĩ G F G( )≅(G φ( )G ) (F G( ) φ( )G ) (= G φ( )G ) (F G φ( )G ) là nhĩm Aben cĩ số mũ là ước của p–1. F G( ) là p–nhĩm, suy ra ∃S là p–nhĩm con sylow của G sao cho

( )

F G ≤SG (1). Ta cĩ G S ≅(G F G( )) (S F G( ))⇒G S là nhĩm Aben cĩ số mũ là ước của p–1 (2).

Từ (1) và (2) ta cĩ G là nhĩm p–đĩng nghiêm ngặt do đĩ G là nhĩm siêu giải được.

2.2.12. Hệ quả.

G là nhĩm (hữu hạn) siêu giải được khi và chỉ khi mọi nhĩm con tối đại của G cĩ chỉ số trong G là một số nguyên tố.

Chứng minh. Hệ quả này là sự kết hợp từ Định lý 2.1.20 và Định lý 2.2.11. 2.2.13. Định lý

Cho G là nhĩm (hữu hạn), nếu G φ( )G là nhĩm siêu giải được thì G là nhĩm siêu giải được.

Chứng minh.

Lấy M là nhĩm con tối đại của G ta cĩ ( )φ G ⊂M . Mà ( )φ G G nên ( )φ G M và ( )

40

[G φ( ) :G M φ( )G ] là một số nguyên tố, mà [G M: ] [= G φ( ) :G M φ( )G ] suy ra [G M: ]

là số nguyên tố với mọi nhĩm con tối đại M của G. Theo Hệ quả 2.2.12 ta cĩ G là nhĩm siêu giải được.