5. Phương pháp nghiên cứu
2.5. Một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là hyperbolic
Ta trang bị vài định nghĩa cần thiết cho chứng minh các định lý tiếp theo trong phần này.
Định nghĩa 2.5.1 (Các cặp điểm đường kính).
Nếu K m là một thể lồi và u Sm1, thì xác định đường kính của
K theo hướng u như sau
2
( ) max : , , ,
D u x y x y K x y a au .
Giá trị lớn nhất đạt được tại vài cặp điểm thuộc K bởi vì K K là lồi và compact, và x y 2 là liên tục với ( , )x y K K. Bây giờ ta xác định
( , ) : ( ) 2 u p q K K D u q p và 1 m u u S
Ta nói rằng ( , )p q u là một cặp điểm đường kính theo hướng u và là tập các cặp điểm đường kính của K .
Định nghĩa 2.5.2 (Lồi ngặt).
Một thể lồi K là lồi ngặt nếu với mỗi hai điểm x y K, , đoạn thẳng mở nối x và y chứa trong phần trong của K .
Ta viết xy để ký hiệu đoạn thẳng đóng với các điểm mút tại x và y vì thế y x là vectơ có hướng từ x đến y, độ lớn của nó là độ dài của xy.
Để có được kỹ thuật mêtric hóa sẽ được sử dụng ở trọng tâm của định lý 2.5.4, theo nhận xét đã đề cập, trước hết ta phải chứng minh sự tương đồng của tập các điểm xuyên tâm đối và tập các điểm đường kính.
Định lý 2.5.3.
Nếu K m là một thể lồi, thì tập các cặp điểm xuyên tâm đối của
K cũng giống như tập các cặp điểm đường kính của K , nghĩa là
Chứng minh
Trước hết, ta chỉ ra rằng .
Nếu ( , )p q , thì p H u K và q H u K với u Sm1. Rõ ràng, dây cung bất kỳ của K song song với pq nằm hoàn toàn trong vùng giữa Hu và Hu, cho nên không thể có độ dài lớn hơn độ dài của pq. Vì thế
( )
D q p q p và ( , )p q q p . Chú ý rằng nếu K là lồi ngặt, thì
pq là dây cung duy nhất có độ dài lớn nhất theo hướng của nó.
Ngược lại, để chỉ ra rằng , trước hết xét trường hợp trong đó
K là một thể lồi ngặt. Với mỗi u Sm1, xét các điểm xu Hu K và
u u x H K . Hàm liên tục : m 1 m 1 n f S S được xác định bởi 2 ( ) u u u u x x f u x x
có tính chất là f u u( ), 0 với mọi u. Nói cách khác, góc giữa u và f u( ) thì nhỏ hơn 2p.
Nếu f S: m1 Sm1 ánh xạ không có điểm x nào thành điểm xuyên tâm đối x của nó, thì f có cấp là 1 và đặc biệt nó là toàn ánh. Để chỉ ra
rằng , cho ( , )p q v với v Sm1. Theo tính toàn ánh của f , có
1
m
u S sao cho f u( )v. Ta biết rằng x xu u là dây cung dài nhất và duy nhất song song với v. Cho nên, p xu và q xu, kết quả là ( , )p q u.
Trong trường hợp trong đó K không lồi ngặt thì được xử lý theo một lý luận giới hạn tiêu chuẩn. Cho một vectơ v Sm1 và một dây cung dài nhất pq song song với v, ta phải chứng minh rằng ( , )p q . Khi đó K là giao của tất cả các thể lồi ngặt chứa K , có một dãy { }Kk của các thể lồi ngặt chứa K với hai tính chất sau đây.
(1) Có dây cung dài nhất p qk k của Kk song song với u sao cho
2 2
limk pk qk p q , và giới hạn limkpk p K và
limkqk q K tồn tại.
Theo kết quả của trường hợp lồi ngặt, có dãy các vectơ
1
m k
u S sao cho pk Kk H Kuk( )k và qk Kk Huk( )Kk . Bởi có lẽ sẽ đến một dãy con. (2) lim m 1 k uk u S là tồn tại. Nó kéo theo từ mục (1) rằng 2 2 p q p q và p q là song song với v. Cho nên, pq, cũng như pq, là dây cung dài nhất của
K song song với v. Nó kéo theo từ (2) rằng nếu H và H là các siêu phẳng vuông góc với u đi qua p và q tương ứng, thì H và H song song với siêu phẳng tựa của K . Cho nên p H và q H, và ta có kết quả ( . )p q u .
Định lý tiếp theo cung cấp sự kéo theo, trong định lý 1, từ tính chất không xuyên tâm đối theo thể lồi nào đó đến tính chất hyperbolic của một hệ hàm lặp affine. Định lý 2.5.4. Nếu hệ hàm lặp affine m; , ,...,1 2 N f f f
F không xuyên tâm đối
theo thể lồi K , thì F là hyperbolic.
Chứng minh
Giả sử rằng K là thể lồi sao cho f không xuyên tâm đối theo K với
f F . Cho C K K và đặt f x( ) Lx a F , trong đó L là phần tuyến tính của f . Theo hệ quả 2.3.2, tập C là một thể lồi đối xứng tâm và
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L C L K L K f K f K K K C
Ta yêu cầu L C( ) int( )C . Khi đó C là compact và L là tuyến tính, để chứng minh yêu cầu trên, nó đủ để chỉ ra rằng L x( ) C với mọi
x C . Bằng phản chứng, giả sử x C và L x( ) C . Khi đó vectơ x
là vectơ dài nhất trong C theo chiều của nó.
Khi x C K K , có x x1, 2 K sao cho x x1 x2, và
1 2
( , )x x ( )K ( )K , trong đó đẳng thức cuối là theo định lý 2.5.3. Vì thế ( , )x x1 2 là một cặp xuyên tâm đối theo K . Tương tự, khi Lx là vectơ dài nhất trong C theo chiều của nó, có y y1, 2 K sao cho Lx y1 y2, và
1 2
( , )y y ( )K ( )K . Cho nên,
2 1 2 1 2 1 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x L x L x L x x Lx y y ,
nó kéo theo rằng ( ( ), ( ))f xn 1 f xn 2 ( )K ( )K , điều này mâu thuẫn với f
là không xuyên tâm đối theo K .
Nếu dC là mêtric Minkowski theo thể lồi đối xứng tâm C , thì theo hệ quả 2.3.4, C là quả cầu đơn vị có tâm là gốc tọa độ theo mêtric mêtric này. Khi C là compact, L C( )int( )C kéo theo rằng có một a [0,1) sao cho
C C Lx a x với mọi x m. Thì ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( , ) C C C C C C d f x f y f x f y Lx Ly L x y a x y ad x y
Cho nên, dC là một mêtric với mỗi hàm trong hệ hàm lặp là một phép co rút. Theo hệ quả 2.3.6, dC là tương đương Lipschitz với mêtric chuẩn.
Tổng kết chương 2
Như vậy, chứng minh định lý 1 đã hoàn thành với sơ đồ chứng minh được cung cấp như sau.
Chứng minh một hệ hàm lặp hyperbolic là phân thớ điểm được cung cấp trong định lý 2.1.1.
Chứng minh một hệ phân thớ điểm kéo theo sự tồn tại của một điểm hấp dẫn được cung cấp trong định lý 2.2.2.
Chứng minh sự kéo theo từ sự tồn tại của một điểm hấp dẫn đến tính chất co rút tôpô của một hệ hàm lặp affine được cung cấp trong định lý 2.3.10.
Chứng minh một hệ hàm lặp affine là co rút tôpô thì không xuyên tâm đối theo một thể lồi nào đó được cung cấp trong hệ quả 2.4.3.
Cuối cùng, chứng minh một hệ hàm lặp affine không xuyên tâm đối là hyperbolic được cung cấp trong định lý 2.5.4.
Chương 3
SỰ TỒN TẠI CỦA HỆ HÀM LẶP
AFFINE HYPERBOLIC
Ví dụ 1.2.4 cung cấp một hệ hàm lặp affine trên 2 được trang bị một ánh xạ mã hóa nhưng không là hyperbolic trên 2. Tuy nhiên, nó là hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng. Từ ví dụ cụ thể trên, một câu hỏi được đặt ra là “Một hệ hàm lặp là hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng có còn đúng trong trường hợp tổng quát hay không?”.
Mục tiêu của chương là trả lời cho sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine hyperbolic trên bao affine của một tập hợp tự đồng dạng trong trường hợp tổng quát.
Nếu X m và F X f f; , ,...,1 2 fN là một hệ hàm lặp trên X, thì định nghĩa về ánh xạ mã hóa và phân thớ điểm với F chính xác giống như định nghĩa 1.1.4 và 1.1.5, với m thay thế bởi X.
3.1. Sự tồn tại của một hệ hàm lặp affine phân thớ điểm hạn chế theo bao affine của tập hợp tự đồng dạng