5. Phương pháp nghiên cứu
2.4. Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đối
Ta tiếp tục chứng minh một hệ hàm lặp affine là co rút tôpô thì không xuyên tâm đối theo thể lồi nào đó.
Cho Sm1 m là hình cầu đơn vị trong m. Với một thể lồi
m
K và với u Sm1 thì tồn tại một cặp { ,H Hu u} của các siêu phẳng tựa khác nhau của K , lần lượt trực giao với u và với tính chất là chúng cùng giao với K nhưng không chứa điểm nào thuộc phần trong của K . Cặp { ,H Hu u} thường được xét đến như là hai siêu phẳng tựa của K trực giao với u. Khái niệm này được đề cập đến trong tài liệu về hình học lồi của Solomon Leader [13].
Dựa vào các định nghĩa có liên quan, ta nhận thấy mục tiêu chứng minh của phần này thật sự là đã quá rõ ràng.
Định nghĩa 2.4.1 (Cặp xuyên tâm đối).
: ( ) ( ) ( ) u u K Hu K Hu K và 1 : ( ) m u u S K
Ta nói rằng ( , )p q là một cặp điểm xuyên tâm đối theo K nếu ( , )p q .
Định nghĩa 2.4.2 (Hệ hàm lặp không xuyên tâm đối).
Nếu K m là một thể lồi, thì f : m m là không xuyên tâm đối
theo K nếu f K( )K , và ( , )x y ( )K kéo theo ( ( ), ( ))f x f y ( )K . Nếu m; , ,...,1 2
N f f f
F là một hệ hàm lặp với tính chất là mỗi fn không xuyên tâm đối theo K , thì F được gọi là không xuyên tâm đối theo K .
Hệ quả tiếp theo cho sự kéo theo từ tính co rút đến tính không xuyên tâm đối trong định lý 1. Như vậy chứng minh được làm rõ.
Hệ quả 2.4.3 (Phép co rút tôpô thì không xuyên tâm đối). Nếu m; , ,...,1 2
N f f f
F là một hệ hàm lặp affine với tính chất là tồn tại một thể lồi K m sao cho f Kn( )int( )K với mọi n 1,2,...,N, thì F không xuyên tâm đối theo K .