Những hăm răo cản của Mục 2.1, 2.2 vă 2.3 có thể được âp dụng để đânh giâ modun liín tục trín biín của phương trình (2.1). Ngoăi ra nhận xĩt rằng nếu chỉ giả thiết и e C°(Õ) n C2( Q ) thì khi đó thay thế cho đânh giâ sup \Du\, ta sẽ
a n
có đânh giâ đối với đại lượng sau:
|и(ж) - u(y)\ SUP — i t---1—• xsn \x - у I
У Ễ 3fi
Hơn nữa chúng ta sẽ giả thiết rằng ip € c°(ỡfi). Để chỉ ra điều năy ta lấy một điểm у trín ôíì vă với £ > 0 tùy ý, chọn ỏ > 0 sao cho \ i p ( x ) — i p ( y)I < £ với
\x — y\ < ỗ. Khi đó ta định nghĩa những hăm số (p ± € c 2 (ù) bởi
^ { x ) = <p(y) ± + 2su^ ^ \x - 3/|2^ ■ (2.88) Rõ răng, trín dũ ta có
(p~ < if < (p+.
ở đđy nếu những toân tử Q vă những hăm số thỏa mên bất kỳ những điều kiện của những đânh giâ ở Mục 2.1, 2.2, 2.3, thì ta thu được một đânh giâ
<p~ + w~ < и < (p+ + w+, (2.89) trong к n Q với w ± lă những hăm cản thích hợp vă N lă khoảng lđn cận của y. Ta có w + = —w~ = w, theo (2.88) thì
|tí(x) — u(y)\ < £ + w ( x ) 4 ^ ^ \x — y\ 2 trong N n íì. ---(2.90)
Ta có thể đânh giâ tính liín tục như sau:
Định lí 2.19. ([3]) Giả sử u,(fi G C°(Õ) n c2(íì) thỏa mên Qu = 0 trong Q vă
и = tp trín ỡíĩ. Giả sử rằng toân tử Q vă miền Í2 thỏa mên điều kiện
cấu vă hình
học của Định lý 2.1, Hệ quả 2.ị, Hệ quả 2.6, Hệ quả 2.9 hoặc Định lý 2.10. Khi
đó môđun liín tục của и trín díì có thể được đânh giâ qua câc đại lượng môđun
liín tục của tp trín ỡfi, sup \tp\, sup |tí|, Q vă câc hệ số của Q.
Kết luận
Luận văn đê trình băy câc vấn đề sau: