Nguyín lý so sânh mới sau đđy:
Định lí 2.13. ([3]) Giả sử 0 lă một miền bị chặn trong R" vă r lă lồi mở
tương đối cl của díì. Khi đó nếu Q lă một toân tử elliptic có dạng (2.2) vă u e C°(Õ) nc2(ílu r), u e C°(Õ) n C2(Q) thỏa mẫn Qu > Qv trong Q; u < V trín díì — r, dv/dv = —oo trín r thì u < V trong n.
Chứng minh. Theo Định lý 1.1 ta có:
sup(u — v) < sup (u — v) + .
trín r, hăm số u — V không thể đạt được giâ trị lớn nhất trín r. ở đđy u < V trong fi.
□
Ngoăi ra âp dụng Định lý 2.12, lấy y e cố định, ố lă đường cong kính Q, 0 <
a < ổ/2, vă hăm số w định nghĩa bởi:
w(x) = m + ìpịr)
r — \x — y \, với m Ẽ 1 vă ỷ E c2(a, S) sao cho V’(i) = 0, lị) < 0, ĩỊ> (a) — —oo. Sử dụng (2.8), với u E C 2 (Q),r > a ta có: oo. Sử dụng (2.8), với u E C 2 (Q),r > a ta có:
Qw = a j(x, u(x), Dw)DiịW + b(x, u(x), Dw)
, « (2.61) = —(7 - £ * ) + ^-y£ + ò,
{$')
trong đó 7 = vết [fflij] ,E* = £/|p|2.
Những biến số của T, £ vă b trở thănh x,u(x) vă Dw. Bđy giờ ta chọn hăm số sao cho Qw < 0 trong miền fi = { x e f 2|7' > a, |tí(x)| > M} với mọi hằng số M.
Vă nếu Qu — 0 trong Q thì theo Định lý 2.12 ta có: sup < M + m + 'ệ(a). n-Ba(v)
với m — sup u + . an-Ba{y)
Đânh giâ (2.62) thiết lập những kết quả về sự không tồn tại. Ta xĩt hai trường hợp sau:
(i) Trước tiín giả sử rằng: b<-ự£,
với X £ Q, \z\ > M, \p\ > L, ở đđy M,L,6 lă những hằng số dương. Khi đó lập
ĩị)(r) = K (S — a) — (r — a)
ở đđy /3 = 0/(1 + 6) vă K El thì với K đủ lớn, Qw < 0 trong ù, Khi đó đânh giâ (2.62) xảy ra trong trường hợp năy.
(ii) Sau đó ta giả sử rằng b < 0, E<»(7-E*)\p I1-',
với X e rỉ, \z\ > M,\p\ > 0 ở đđy (Ấ,6,M lă những hằng số dương. Khi đó trong ủ,ta có:
Qw < --7-^- + Ị £ < 0,ĩprB ựý I
với việc lựa chọn chính xâc 4>(r)
=
(f) / (10E«) ’dt- r
ở đđy /3 = 0/(1 + ớ). Sau đđy lặp lại đânh giâ (2.62). Chú ý rằng hăm số ĩp cho bởi (2.66) thỏa mên
lim ĩp(a) = 0 a —>oo (2.6 (2.6 (2.6 (2.6 (2.6
Bđy giờ ta giả thiết miền íĩ thỏa mên một mặt cầu trong tại y tức lă tồn tại một hình cầu в = BR(Xо) с П với y e в n díì. Sau đó ta coi hăm số w* định nghĩa bởi
w * = m * + x ( r ) , r = \ x — Xol , (2.67) với m * e R, X e c2(0, R — e ) , о < E < R sao cho x(0) = о, X > 0 vă x ' ( R —
e ) = 00. Theo (2.61) ta có, với r > 0
Qw* = — (T - £*) + + b, (2.68) (x)
Ta cố định điều kiện mạnh hơn (2.63) đó lă
b + \p\w 7 < -\pfE-, 0 < R < R, (2.69)
với X e rỉ, \z\ > M, \p\ > L. Khi đó lập
x(r) = K{(R - e ý - ( R - e - r f } , ß = (2.70) Ta thu được, với К đủ lớn, Qw* < 0 trong miền õ = { X e 0| \x — y\ < R,R <
ịx — Xol < R - e, |u(x)| > M}. Khi đó theo Định lý 2.12 ta có
suptí < M + m* + x(R — e), (2-71) n
với m * = sup u .
ịx-yị=R
Kết hợp những đânh giâ (2.71) vă (2.63) với a — R — R vă lấy £ tiến tới 0, khi đó ta có đânh giâ
u(y) < 2M+ m +K[(ỗ - R)ß + Rß] , (2.72) với к phụ thuộc văo в vă L vă
m = sup u .
dn -BR(y)
Đânh giâ (2.72) chỉ ra rằng những giâ trị biín của hăm số и không thể lấy tùy ý trín ỡíì. Do câc lý luận ở trín có thể đúng với и thay thế bởi — u , điều kiện cấu trúc (2.69) có thể được thỏa mên với
b > ^ 7 + ự E , (2.73)
К
với X e Í2, |z| > M , |p| > L. Vì vậy ta đê chứng minh được kết quả về sự không tồn tại nghiệm của băi toân Dirichlet trong định lí sau:
Định lí 2.14. ([3]) Giả sử íĩ lă một miền bị chặn trong R" vă giả sử rằng
toân tử Q thỏa mên điều kiện cấu trúc (2.73) với R ỉă bân kính lớn nhất của hình cầu đóng chứa trong íĩ. Khi đó tồn tại một hăm số tp €
c°°(ũ) sao cho băi toân Dirichlet Qu = 0 trong Q, и = If trín dQ không có nghiệm.
Ta sử dụng trường hợp (ii) ở trín để chỉ ra sự cần thiết của sự hạn chế hình học. Ta giả sử rằng khai triển (2.42) lă có căn cứ khi boo phụ thuộc văo z vă ađ,,&00 liín tục trín ỠQ X R X R" vă thỏa mên những điều kiện cấu trúc (2.58). Ngoăi ra giả định rằng trín toân tử Q những điều kiện cấu trúc
b < 0,
(2.74)£ < /iA|p|1_e £ < /iA|p|1_e
với X e rỉ, \z\ > M, \p\ > L, ở đđy ụ,, в vă M lă những hằng số dương. Dễ dăng chỉ ra rằng những điều kiện (2.42), (2.58), (2.74) âp dụng khi điều kiện (2.65) xảy ra với X € f ì , M < \ z \ < М cho những hằng số М vă có thể có hằng số ụ ,
khâc xảy ra trong (2.74). Ta nhắc lại Nguyín lý cực đại cổ điển đối với phương trình eliptic tuyến tính cấp hai trong định lý sau đđy:
Định lí 2.15. ([3]) Giả sử L lă elliptic tuyến tính cấp hai trong miền bị
chặn íì. Giả sử rằng
Lu > 0(< 0) trong Q, c = 0 trong (2-75)
với u e c2(íl) n C'°(Õ). Khi đó giâ trị lớn nhất (nhỏ nhất) của u trong õ
đạt được trín díì, nghĩa lă:
sup u = sup •u(inf u = inf ú). (2.76)
Í2dâ n dũ
Từ (2.74) vă Định lý 2.14 ta có
sup u < M + sup u. (2.77)
Q d£l
Ta có thểgiả sử(2.65) âp dụng được trong íí+ = { X e íí|it(x) > 0} vă cũng trong fi+
đạilượng trong (2.58)lă bị chặn trong giới hạn củasupu. Bđy an giờ giả sử rằng d ũ € c2 vă
x ~ { y ) < -boo(y,-v(y)), (2.78)với được cho bởi (2.43) vă V kí hiệu của đơn vị bín trong của ỠÍ2 tại y. với được cho bởi (2.43) vă V kí hiệu của đơn vị bín trong của ỠÍ2 tại y.
Argument tương tự như trong chứng minh định lý 2.13, hình cầu ở trong tại y sẽ được thay thế bởi mặt bậc hai khâc. Thật ra điều kiện (2.78) âp dụng khi a đủ nhỏ, khi đó tồn tại một mặt bậc hai s tiếp xúc với tại y sao cho (i) s có duy nhất hình chiếu song song về phía trín tiếp xúc với mặt phẳng tại y, (ii) s n
B a (y ) c Ũ vă (iii) đường cong %~ tương ứng với ỗ, thỏa mên
với mọi TỊ > 0. Bđy giờ ta xĩt hăm số w* định nghĩa bởi
w*(x) = m* + x(d),d = d ( x , S), (2.80) với m* Ễ Rj Ễ ơ2(e, a ) , 0 < £ < a, sao cho x(2ữ) — 0 , x < 0 , x (e) = —oo. Theo
(2.39) ta có, trong miền fi = { z € |x — y\ < a,£ < d < a,u(x ) > M},
n Qw* = X Aia^Dijd + boo) + X <4Dÿd + b 0 + ^7“2 £ ( x ) < x ' M v + 0(1)) + ỵ ị ỹ £ , t h e o (2.58) , (2.79) (2.81) < X Л(т? + o(l)) -i —2-£, theo(2.74) ( x ) Lập x ( d ) = K [ ( 2 a - e )ß- ( d - e ) % (2.82) với ß = 9 / ( 1 + 9 ) , khi đó ta có với к đủ lớn
Qw* < 0, trong Ù . Từ đó theo Định lý 2.12 ta có sup и < M + m* + x(s) n (2.83) < M +m* + K ( 2 a )ß với m* = sup u. \x-y\ = a
Kết hợp những đânh giâ (2.82), (2.62) vă lấy e -> 0 khi đó ta có đânh giâ
u ( y) < 2M + m + ф(а) + K{2aÝ , (2.84) với Ф cho bởi (2.66) vă
m = sup u.
an -Ba{y)
Đânh giâ(2.83) chỉ ra rằng и không thể cho tùy ý trín ỡíì.Định lý sau đđy cho thấy những kết quả về sự không tồn tại nghiệm của băi toânDirichlet.
Định lí 2.16. ([3]) Giả sử íĩ lă một miền c2 bị chặn trong R" vă giả sử
rằng toân tử Q thỏa mẫn những điều kiện cấu trúc ( 2 .42 ), (2.58) vă (2 .74 ). Khi đó nếu bất đẳng thức
^ ~ { y ) < - b o o ( y,-г'Ы), (2.85)
xảy ra tại điểm năo đó у e ỠO, thì tồn tại một hăm số ip e Ơ°°(Õ) sao
cho băi toân Dirichlet, Qu = 0 trong Í2, и = tp trín díì không có
nghiệm.
Nếu thay thế и bởi —tí, bất đẳng thức (2.84) thay thế bởi
^+( y ) < boo(y,+^(y)), (2.86) với điều kiện b thay thế bởi —b trong những điều kiện cấu trúc (2.74). Cũng như
với M = 0 trong điều kiện (2.77) ta có thể chọn sup \íp\ đủ nhỏ. Khi hạn chế xĩt an
phương trình độ cong trung bình (2.55) với H ( x , z ) = H ( x ) , ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.17. Giả sử П lă một miền c2 bị chặn trong K" vă giả sử rằng
tại mội điểm у e ÕQ độ cong trung bình H của díì thỏa mẫn điều kiện
Ị
H ( y ) < -JỊ-\H{y)\, (2.87)
n — 1
với H e С°(П) lă không dương hoặc không đm trong Q. Khi đó với mọi
£ > 0 tồn tại một hăm số ip e c°°(ù) với sup \ip\ < £ sao cho băi toân
Dirichlet Qu = 0 trong ỉì,u = ự? trín ỠÍ2 lă không có nghiệm.
Đối với phương trình mặt cực tiểu ta có định lí sau đđy của Jekins vă Serin về điều kiện cần vă đủ cho tính giải được của băi toân Dirichlet:
Định lí 2.18. ([3]) Giả sử íĩ lă một miền с2’1 bị chặn trong R" , 0 < 7 < 1.
<p G с2 , 7(й) nếu vă chỉ nếu độ cong trung bình H của ỠÍ2 không đm tại
mọi điểm của ỠÍ2.