Định nghĩa 2.3.1
Một tập con C của không gian Banach X đƣợc gọi là liên tục compact yếu
nếu một dãy điểm bất kì trong C có một dãy con hội tụ yếu tới một phần tử của C.
Ví dụ 2.3.1
Một tập compact yếu bị chặn.
Dãy {xn} xác định bởi xn 1
n (n=1,2,…), có dãy con xnk xác định bởi: 1 k n k x n (k=1,2,…).
Hiển nhiên xnk hội tụ mạnh tới 0 suy ra xnk hội tụ yếu tới 0. Do đó {xn} là một tập compact yếu.
Ta có x 1, n 1 2, ,...do đó {xn} bị chặn.
Vậy tập {xn} xác định bởi xn 1
n (n=1,2,…) là một tập compact yếu bị chặn.
Vấn đề quan trọng của tính liên tục compact yếu cũng giống nhƣ tính compact của hội tụ mạnh. Compact yếu là một công cụ quan trọng trong việc xây dựng, cũng nhƣ giới hạn yếu, đó là vấn đề mà toán học quan tâm. Để nắm vững và sử dụng công cụ này, chúng ta cần biết đƣợc một số tiêu chuẩn đơn giản, dễ dàng của compact yếu; sau đây là một vài tiêu chuẩn nhƣ vậy.
Định lí 2.3.1
Trong một không gian phản xạ X, hình cầu đơn vị đóng liên tục compact yếu.
Chứng minh
Giả sử {yn} là một dãy điểm trong hình cầu đơn vị, có nghĩa là, yn 1. Kí hiệu Y là không gian tuyến tính sinh bởi tập đóng {yn}; Y tách đƣợc. Theo giả thiết: X là không gian phản xạ, theo định lí 1.2.10 thì Y là không gian phản xạ. Từ Y=Y’ tách đƣợc, theo định lí 1.2.8 thì Y’ cũng tách đƣợc, có nghĩa là nó chứa một tập con trù mật; đếm đƣợc {mj}. Sử dụng quy trình đƣờng chéo cổ điển, chúng ta có thể lấy một dãy con {zn} của {yn} sao cho:
j n
n
tồn tại với mọi mj. Từ tất cả zn thoả mãn zn 1 và từ {mj} là tập trù mật theo (16) và định lí 2.2.1 m Y ', m(zn) hội tụ tới một giới hạn khi n . Giới hạn này là một phiếm hàm tuyến tính của m:
n
n
limm(z ) y(m). (16’)
Từ m(z ) m zn m
n , theo (16’) phiếm hàm tuyến tính y(m) có chuẩn nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Vì Y là không gian phản xạ, với một điểm y bất kì của Y mà
y(m) = m(y), y 1, và từ (16) m Y ', m(zn) hội tụ tới m(y) khi n . Từ sự tƣơng ứng với bất kì l trong X’ là một m trong Y’, điều này chứng tỏ rằng zn hội tụ yếu tới một điểm y trong hình cầu đơn vị.
Chú ý sự khác nhau giữa định lí 1.2.1 và định lí 1.2.2, theo đó hình cầu đơn vị không là tập compact trong không gian định chuẩn. Sự compact tƣơng đối đƣợc nhắc tới thay thế cho sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu.
Eberlein đã chứng minh điều ngƣợc lại của định lí 2.3.1.
Định lí 2.3.2
Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X được gọi là liên tục compact yếu khi và chỉ khi X là không gian phản xạ.
Kết hợp định lí 2.2.6 và 2.3.1 cho ta điều phải chứng minh.
Định lí 2.3.3
Trong không gian Banach phản xạ, mọi tập bị chặn, đóng, lồi đều liên tục compact yếu.
Dƣới đây sử dụng kết quả của định lí 2.3.3.
Định lí 2.3.4
Cho không gian Banach, phản xạ X, K là tập con lồi, đóng của X, z là điểm bất kì của X. Khi đó, có điểm yKgần z hơn bất cứ điểm nào của K.
Chứng minh
Chúng ta có thể lấy z = 0 và giả sử 0K. Đặt s là khoảng cách từ 0 đến K, có nghĩa là:
s inf y , y K. (17)
Giả sử {yn} là dãy con nhỏ nhất của (17). Chúng ta có thể giả sử mỗi yn
thuộc giao của K và đƣờng tròn bán kính 2s tâm là gốc tọa độ. Đây là một tập bị chặn, đóng, lồi, theo định lí 2.3.3, tồn tại một dãy con {zn} của {yn} hội tụ yếu tới một điểm z của K. Theo định lí 2.2.5:
n z inf lim z . (18)
Vì {zn} là dãy con nhỏ nhất nên lim zn s. Kết hợp điều này với (17) và (18) ta đƣợc z s, có nghĩa là z là một điểm của K dần tới 0.
Định lí 2.3.4 là một sự khái quát của định lí 1.2.3. Ở đó chúng ta giả sử rằng X là lồi đều; khi đó, chúng ta giả sử chỉ có duy nhất X là phản xạ.