Kết quả sau sử dụng hữu ích trong việc chứng minh sự hội tụ yếu.
Định lí 2.2.1
Giả sử một dãy điểm {xn } trong không gian tuyến tính định chuẩn
1 x3(t)
1
X thoả mãn:
i) xn bị chặn: xn C.
ii) liml(xn) = l(x) với l thuộc một tập trù mật trong X’ thì: w – lim xn = x.
Chứng minh
Giả sử dãy điểm {xn } X thoả mãn các điều kiện i) và ii). Suy ra với mỗi l X’ dãy số (l(xn),l(x)) (n = 1, 2,..) là dãy cơ bản. Do đó với mỗi l X’ ta có:
n m n,mlim (x,x x )= n m n,mlim (x x ,x) = n m n,mlim (x ,x) (x ,x) = 0.
Giả sử z là một điểm cố định tuỳ ý thuộc không gian X và số > 0 cho trƣớc tuỳ ý, tìm đƣợc l(x) thuộc vào X’ sao cho
4
z x
C, tìm đƣợc số
nguyên dƣơng n0 sao cho:
0 2 n m (x,x x ) , m,n n . Do đó m,n n 0: (x ,z) (x ,z)n m (xnx ,z)m = (z,xn x )m = (z x x,xnx )m
= (z x,x nx ) (x,xm n x )m z x,xnx )m (x,xnx )m 2 C z x (x,xnx )m 2 4 2 C C .
Từ đó suy ra, với mỗi z X dãy số (xn, z) (n = 1,2 …) là dãy số cơ bản nên dãy đó phải hội tụ. Suy ra dãy {xn } hội tụ yếu, hay:
w – limxn = x.
Dễ thấy định lí 2.1.1 vẫn đúng trong không gian Banach. Từ điều này, chúng ta sử dụng nguyên lí bị chặn đều của không gian metric đầy S:
Nếu một họ {fv} các hàm giá trị thực fv trên S bị chặn từng điểm với mỗi x trong S,
f (x)v M(x),v. (8) Khi đó hàm fv bị chặn đều: f (u)v M, (8’) với mọi tập mở u . Chúng ta mở rộng trƣờng hợp này với S là một không
gian Banach X và với mỗi fv có tính chất dƣới cộng tính và thuần nhất tuyệt đối: f(x+y) f(x) + f(y); f(ax) = af(x). (9)
Định lí 2.2.2
Cho X là không gian Banach, {fv}là một họ các hàm giá trị thực dưới cộng tính và thuần nhất tuyệt đối trên X, bị chặn tại mỗi điểm xX được biểu diễn bởi (8). Khi đó {fv} là một dãy bị chặn đều, có nghĩa là tồn tại C sao cho:
v
v(x) Cx, f
f và x X. (10) Chứng minh
Từ nguyên lí bị chặn đều của không gian metric,
v
v(u) C x, f
f và mọi u trong hình cầu mở u = z+y, y r. Theo tính chất dƣới cộng tính, ta có: f (y) f (u z) f (u) f (z) 2M v v v v . (11) Vẫn đúng với mọi y: 2 r y . Với bất kì x X đặt 2 rx y x .
Theo cách xây dựng trên thì
2
r
y , vì vậy (11) vẫn đúng. Sử dụng tính thuần nhất tuyệt đối và từ (11) ta có:
x r M 4 M 2 r x 2 (y) f r x 2 y) r x 2 ( f (x) f v v v .
Công thức này là (10) với C 4M
r .
Ta có hệ quả của định lí 2.2.2.
Định lí 2.2.3
X là không gian Banach, {lv} là tập các phiếm hàm tuyến tính bị chặn, x Xthoả mãn v
v
l (x) M(x),l . (12) Khi đó tồn tại hằng số C thoả mãn: v
v
Chứng minh
(x)
lv là một hàm dƣới cộng tính và thuần nhất tuyệt đối với mỗi x. Áp dụng định lí 2.2.2, từ kết luận (10) ta đƣợc (13).
Dƣới đây là một hệ quả khác.
Định lí 2.2.4
X là một không gian tuyến tính định chuẩn, {xv} là họ của x thoả mãn, với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn l:
v v
l(x ) M(l),x . (12’) Khi đó tồn tại một hằng số C thoả mãn:
v
v
x C,x . (13’) Chứng minh
Định lí 2.2.4 đƣợc suy ra từ định lí 2.2.3 với không gian Banach X’, với những phần tử xv của phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên X.
Ta có hệ quả của định lí 2.2.4.
Định lí 2.2.4’
Một dãy hội tụ yếu {xn} trong một không gian tuyến tính định chuẩn X thì bị chặn đều theo chuẩn.
Sự hội tụ yếu có nghĩa là l(xn) hội tụ với mọi l X’. Khi đó, một dãy hội tụ bị chặn bởi một số, giả thiết (12’) của định lí 2.2.4 thoả mãn, từ đó ta có (13’) vẫn đúng.
Định lí 2.2.2, 2.2.3 và 2.2.4 đƣợc gọi là nguyên lí bị chặn đều.
Định lí 2.2.5
Giả sử {xn} là một dãy trong không gian tuyến tính định chuẩn X hội tụ yếu tới x. Khi đó:
n x inf lim x . (14) Chứng minh Theo định lí 1.2.7, với lX’ thì: 1. l , l(x) x
Khi đó, hội tụ yếu có nghĩa là: l(x) = liml(xn),
và từ:
n n n
l(x ) l x x suy ra (14). Mazur khái quát định lí 2.2.5 đƣợc:
Định lí 2.2.6
Giả sử K là một tập con đóng, lồi của không gian tuyến tính định chuẩn X, {xn} là một dãy điểm của K, hội tụ yếu tới điểm x. Khi đó: xK.
Chứng minh
Giả sử Sk là dãy hàm của K, định nghĩa bởi phƣơng trình (*) trong định nghĩa hàm giá nhƣ là
x K
l(xn) Sk(l). (15) Vì l(xn) hội tụ tới l(x), từ trên ta có:
l(x) Sk(l).
Nhƣng theo định lí 1.2.11, điều này có nghĩa là xK.
Bài tập 3
Chứng minh định lí 2.2.5 từ định lí 2.2.6 với hình cầu tâm là gốc tọa độ:
K = BR :{x : x R}.