Các phƣơng pháp mô phỏng ở cƩp độ electron và nguyên tử nhƣ DFT và MD nêu trên mặc dù cho độ chính xác cao nhƣng nó đòi hỏi nhiều thời gian và khối lƣợng tính toán lớn. Trong khi cơ học truyền thống áp dụng cho thang vą mô nhƣ phƣơng pháp phƫn tử hữu hƥn (FEM) truyền thống lƥi không thể áp dụng cho vật liệu thang nano. Bởi vì ứng xử của những vật liệu thang vą mô đã hoàn toàn xác định và tích hợp trong FEM thông qua các mô hình phƫn tử đƥi diện nhƣ thanh, tƩm, vỏ… chúng là những mô hình đã đƣợc tính toán từ các thí nghiệm thực tế nhƣ kéo, nén, uốn, xoắn. Điều này, cho
tới hiện tƥi là không thể áp dụng cho những hệ có hữu hƥn các nguyên tử rời rƥc nhƣ trong cƩu trúc vật liệu nano.
Phƣơng pháp phƫn tử hữu hƥn nguyên tử (tên trong tiếng Anh là: Atomistic finite element method hoặc Atomic-scale finite element method (AFEM) đƣợc đƣa ra bởi Liu và cộng sự vào năm 2004 [61]), đôi khi còn đƣợc gọi là phƣơng pháp phƫn tử hữu hƥn động lực phân tử (Molecular dynamics finite element method) đã đƣợc phát triển để phân tích các vật liệu cƩu trúc nano một cách hiệu quƧ thời gian gƫn đây [61, 70, 71, 116, 118]. Trong AFEM, nguyên tử đƣợc coi nhƣ là nút và các chuyển vị của nó đƣợc xem nhƣ là các chuyển vị của nút. Mỗi phƫn tử trong AFEM đƣợc xây dựng để mô tƧ cho hàm thế năng. Ma trận độ cứng của các phƫn tử đó đƣợc thiết lập dựa trên hàm thế năng của chúng. Cũng giống nhƣ trong FEM, ma trận độ cứng tổng thể trong AFEM đƣợc ghép nối từ các ma trận độ cứng phƫn tử. Mối liên hệ giữa chuyển vị nút (chuyển vị của các nguyên tử) và ngoƥi lực tác dụng cũng đƣợc mô tƧ bởi một hệ phƣơng trình.
AFEM cho kết quƧ chính xác tƣơng đƣơng các phƣơng pháp mô phỏng ở cƩp độ nguyên tử khác nhƣ MD khi dùng chung một bộ thông số hàm thế. Bên cƥnh đó AFEM lƥi cho tốc độ tính toán nhanh (hội tụ sau ít bƣớc lặp) hơn so với phƣơng pháp MD do AFEM sử dụng cƧ đƥo hàm bậc nhƩt và đƥo hàm bậc hai của hàm thế năng khi tính toán cực tiểu hóa năng lƣợng của hệ để tìm vị trí cân bằng, trong khi MD chỉ sử dụng đƥo hàm bậc nhƩt của hàm thế năng. Điều này cũng đã đƣợc khẳng định ở tài liệu tham khƧo [61]. Trong tài liệu đó, Liu và cộng sự lƫn đƫu tiên đƣa ra phƣơng pháp AFEM. Cách chọn phƫn tử của họ lúc này dựa trên cƩu trúc nguyên tử. Phƫn tử trong trƣờng hợp này bao gồm một nguyên tử làm trung tâm và tƩt cƧ các nguyên tử khác có tƣơng tác với nguyên tử trung tâm. Cách chọn này khi đó sẽ cho ra ma trận độ cứng cồng kềnh. Tuy họ đã đƣa ra đƣợc cách để dễ dàng ghép nối các ma trận độ cứng phƫn tử. Nhƣng việc tính toán đƣợc ma trận độ cứng của một phƫn tử gồm nhiều nguyên tử nhƣ trong trƣờng hợp này là không
đơn giƧn. Tƣơng tự, trong tài liệu [70, 71], Nasdala và cộng sự đã xây dựng phƫn tử bốn nút để mô phỏng cho cƧ thế năng biến dƥng uốn, xoắn và biến dƥng dài giữa các nguyên tử. Trong tài liệu [117, 118], Wang và cộng sự đã đề xuƩt một phƫn tử thanh thẳng với hai nửa khớp đàn hồi ở hai đƫu, mỗi khớp có 6 bậc tự do dẫn tới phƫn tử có 12 bậc tự do. Nghiên cứu sinh cho rằng những cách chọn phƫn tử trên là phức tƥp.
Tác giƧ cùng ngƣời hƣớng dẫn nhận định AFEM là phƣơng pháp mới, còn nhiều điều có thể phát triển để áp dụng mô phỏng tìm đặc trƣng cơ học của các vật liệu nano. Cụ thể, luận án sẽ đƣa ra cách chọn phƫn tử đơn giƧn, phù hợp với hàm thế điều hòa và hàm thế Tersoff để có thể tính toán ra ma trận độ cứng một cách thuận lợi nhƩt. Trong đó, ma trận độ cứng sẽ đƣợc đƣa ra dƣới dƥng hiển cho hàm điều hòa và hàm ngắt trong hàm Tersoff đƣợc loƥi bỏ cũng là những đóng góp mới của luận án. Chi tiết hơn về phƣơng pháp AFEM cũng nhƣ việc thiết lập các phƫn tử, mô hình của luận án sẽ đƣợc trình bày trong chƣơng 3.