U (2E A 2) 2 4 F1 AF2 F3 Từ đây ta có:
3.3.Ph-ơng pháp trực tiếp giải hệ ph-ơng trình đại số tuyến tính dạng đặc biệt
đặc biệt
Khi tính xấp xỉ các bài toán cho các ph-ơng trình vi phân dạng eliptic thì th-ờng phải giải hệ ph-ơng trình đại số, hệ này th-ờng đ-ợc viết d-ới dạng:
A Vm m 1 B Vm m C Vm m 1 Fm , m 2,3,...,M 1, (3.17) BV1 1 CV1 2 F1, A VM M 1 B VM M FM , (3.18) Trong đó: A Cm, m - ma trận đ-ờng chéo; Bm- ma trận ba đ-ờng chéo bậcN; F Vm, m- véctơ N chiều. Để giải ph-ơng trình (3.17), (3.18) ng-ời ta sử dụng ph-ơng pháp lặp hoặc ph-ơng pháp trực tiếp. Sơ đồ tính toán ph-ơng pháp lặp để giải ph-ơng trình (3.17), (3.18) giống với sơ đồ mô tả trong ch-ơng 2. Các ph-ơng pháp trực tiếp cho phép cải biên hệ cần giải có tính đến dạng riêng của hệ ph-ơng trình. Trong phần này chúng ta sẽ dừng lại ở phần mô tả các sơ đồ tính toán của một vài ph-ơng pháp trực tiếp.
Khóa luận tốt nghiệp 33 Trần Thị Thu Hiền
Ph-ơng pháp khử lặp ma trận. Khi giải bài toán (3.17), (3.18) bằng ph-ơng pháp này thì đầu tiên ng-ời ta tìm hệ số quét Xm,Zm:
X1 B C11 1, Xm (Bm A Xm m 1) 1C1 , (3.19) Z1 B F11 1, Zm (Bm A Xm m 1) (1 A Zm m 1 Fm), m 2,3,...,M 1. Giá trị tìm đ-ợc cho phép tính VM: VM (BM A XM M 1) (1 A ZM M 1 FM), (3.20) Sau đó ta tính tiếp VM 1,VM 2,...,V1 : Vm X Vm m 1 Zm.
Trong công thức (3.19), (3.20) giả sử rằng detB1 0,
1
det(Bm A Xm m ) 0 (m 2,3,...,M ). Các điều kiện này sẽ đ-ợc thực hiện nếu bất đẳng thức sau là đúng:
detBm 0, B Am1 m B Cm1 m 1, m 1,...,M.
Ngoài ra, cho dù với một m thì bất đẳng thức thứ hai là bất đẳng thức thực sự (ở đây giả thiết là A1 CM 0).
Ph-ơng pháp khử lặp ma trận đòi hỏi phải thực hiện khoảng CMN3 phép toán số học (C- hằng số phụ thuộc vào ph-ơng pháp tìm ma trận nghịch đảo) và khoảng MN2 ổ nhớ để ghi các ma trận Xm và các véctơ Zm. Về chỉ số thì ph-ơng pháp khử lặp ma trận thua kém xa so với các ph-ơng pháp lặp khác.
Đối với các bài toán dạng:
Vm 1 BVm Vm 1 Fm, m 1,...,M 1, (3.21) V0 F0, VM FM, (3.22) Ng-ời ta đã xây dựng các ph-ơng pháp trực tiếp nhanh nhất, trong ph-ơng pháp này có sử dụng ý t-ởng của ph-ơng pháp khử các đại l-ợng ch-a biết và biểu diễn một số đại l-ợng trung gian thông qua đẳng thức Cheb-sev bậc một và bậc hai.
Khóa luận tốt nghiệp 34 Trần Thị Thu Hiền
Ph-ơng pháp quét ma trận đặc biệt. Khi sử dụng ph-ơng pháp này để giải bài toán (3.21), (3.22) ở giai đoạn quét trực tiếp chúng ta sẽ tìm đ-ợc và ghi nhớ các véctơ Y Y0, ,...,1 YM 1 , theo công thức sau:
Y0 F0, Ym P Ym( m 1 Fm), m 1,...,M 1. (3.23) Trong giai đoạn quét ng-ợc cho tr-ớc VM FM và theo hệ thức truy hồi ta có:
Vm P Vm m 1 Ym (3.24) Tiếp theo xác định VM 1,VM 2,...,V1.
Trong công thức (3.23), (3.24) ta sử dụng ma trận Pm cho phép biểu diễn:
Pm Um1( / 2)B Um 1( / 2),B
Trong đó: Um( )x - đa thức Cheb-sev loại hai bậc m.
Phép biểu diễn này cho phép dựng thuật toán tiết kiệm phép tính tích (phép nhân) của ma trận pmvới véctơ W . Phép tính véctơ S P Wm có thể tiến hành theo sơ đồ sau:
a) Tìm W1- giải hệ ph-ơng trình: ( 2 cos ) , 1 l l B E W W m l 1,..., ,m (3.25)
b) Xác định véctơ S theo công thức:
1 m l l l S a W , 2 sin 1 1 l l a m m
Nếu B- là ma trận ba đ-ờng chéo, thì để giải hệ (3.25) có thể sử dụng một trong các ph-ơng pháp quét sai phân . Vì vậy để giải bài toán (3.21), (3.22) theo ph-ơng pháp quét ma trận đặc biệt đòi hỏi phải thực hiện C M N1 2 phép toán số học.
Khóa luận tốt nghiệp 35 Trần Thị Thu Hiền
Ph-ơng pháp giảm toàn phần. Ph-ơng pháp này đ-ợc áp dụng để giải hệ ph-ơng trình (3.21), (3.22) trong tr-ờng hợp M 2 , trong đó là một số nguyên d-ơng. Sơ đồ tính toán của ph-ơng pháp này nh- sau:
a) Chúng ta cho tr-ớc p(0)j 0, q(0)j Fj, ( j 1,...,M 1); b) Do khi k 0,1,..., 2 theo công thức:
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 2 2 , , 2 k k k k k k k k k j j j j k k k j j j k k k k j j j j B S q p p p p S q p q q Chúng ta tính p(jk 1),q(jk 1)(j 2k 1l l, 1,3,...,2 k 1 1); c) Chúng ta cho tr-ớc V0 F V0, M F, sau đó khi
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});