ánh
Định lý 2.2.1. ChoA: D(A)⊂X →Y là toán tử không bị chặn, xác định trù mật và đóng. Khi đó các tính chất sau là tương đương:
(i) R(A)là đóng, (ii) R(A∗)là đóng, (iii) R(A) =N(A∗)⊥, (iv) R(A∗) =N(A)⊥.
Chứng minh. Với các kí hiệu giống như trong chứng minh của Hệ quả 2.1 ta có:
(i)⇔G+Llà đóng trongE (xem (27)). (ii)⇔G⊥+L⊥ là đóng trong E∗ (xem (29)). (iii)⇔G+L= (G⊥∩L⊥)⊥ (xem (27) và (28)). (iv)⇔(G∩L)⊥ =G⊥+L⊥ (xem (26) và (29)). Do đó theo Định lý 1.7.1 ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.1. ChoA:D(A)⊂X →Y là toán tử không bị chặn, đóng. Khi đó
R(A)là đóng ⇔tồn tại một hằng sốcsao cho
dist(u,N(A))≤ckAuk, ∀u∈D(A).
Kết quả tiếp theo cung cấp một đặc trưng quan trọng của các toán tử toàn ánh.
Định lý 2.2.2. ChoA: D(A)⊂X →Y là toán tử không bị chặn, xác định trù mật và đóng. Các tính chất sau là tương đương:
(a)Alà toàn ánh, tức làR(A) =Y, (b) Tồn tại một hằng sốcthỏa mãn:
kvk ≤ckA∗vk,∀v∈D(A∗).
(c)N(A∗) ={0}vàR(A∗)là đóng.
Nhận xét 2.2.1. Phép suy (b) ⇒ (a) là hữu dụng khi chứng minh một toán tử Alà toàn ánh. Khi đó ta làm như sau: Giả sửvthỏa mãnA∗v= f, ta chứng minh rằng ||v|| ≤c||f|| (với c độc lập với f). Điều này được gọi là phương pháp đánh giá tiên nghiệm. Người ta thường không quan tâm tới phương trình
A∗v= f có nghiệm hay không mà ta cứ giả sử rằng vlà một nghiệm (nếu có) và ta đánh giá chuẩn của nó.
Chứng minh. (a)⇒(b) Đặt
B∗ ={v∈D(A∗):kA∗vk ≤1}.
Theo tính thuần nhất, ta chỉ cần chứng minh rằng B∗ là bị chặn. Với mục đích này - theo hệ quả (Nguyên lý bị chặn đều ) - ta chỉ cần chứng minh rằng với mỗi fo ∈Y, tập hB∗, foi là bị chặn (trong R). Do A là toàn ánh nên tồn tại
uo ∈D(A)thỏa mãn Auo = fo. Với mỗiv∈B∗ ta có:
hv, foi=hv,Auoi=hA∗v,uoi và do đó|hv,foi| ≤ kuok. (b)⇒(c) Giả sử fn=A∗vn và fn→ f. Do fn → f nên∀ε>0,∃no >0 :∀n,m≥no ta có||fn− fm||< 1cε. Với mọin,m≥no ta có ||vn−vm|| ≤ c||A∗(vn−vm)|| ≤ c||A∗(vn)−A∗(vm)|| ≤ c||fn− fm||<ε
Suy ra vn là dãy cơ bản trong không gian Banach nên nó hội tụ vềv∈D(A∗). Mặt khác doA∗ đóng (theo Mệnh đề 1.1) ta kết luận rằng f = lim n→∞ fn = lim n→∞ A∗vn =A∗v. Từ đó suy ra (c).
(c)⇒(a) VìR(A∗)là đóng, nên theo Định lý 2.2.1 ta cóR(A) =N(A∗)⊥ ⊂Y. Mặt khác do N(A∗) ={0}nên N(A∗)⊥ =Y. Suy ra R(A) =Y hay A là toàn ánh.
Hệ quả 2.2.2. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩnX,Y vàA∈£(X,Y). Khi đóR(A)trù mật trongY khi và chỉ khiA∗ là một đơn ánh.
Chứng minh. Ta cóR(A)trù mật trongY ⇔R(A) =Y
⇔((∀y∗ ∈Y∗)y∗ ∈R(A)⊥ ⇔y∗ =0)
⇔R(A)⊥={0}.
Do đó từ Định lý 2.2.1 suy ra
R(A) =Y ⇔N(A∗) ={0} ⇔A∗ là một đơn ánh. Sau đây là một kết quả đối ngẫu của định lý trên.
Định lý 2.2.3. ChoA: D(A)⊂X →Y là toán tử không bị chặn, xác định trù mật và đóng. Các tính chất sau là tương đương:
(a)A∗ là toàn ánh, tức làR(A∗) =X∗, (b)Tồn tại một hằng sốcthỏa mãn:
kuk ≤ckAuk, ∀u∈D(A),
(c)N(A) ={0}vàR(A)là đóng.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh của Định lý 2.2.2 ta xem nó như một bài tập.
Ví dụ 2.7. Chứng minh rằng nếuAlà toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian tuyến tính định chuẩnXvào không gian tuyến tính định chuẩnY thỏa mãn điều kiện
||Ax|| ≥m||x||, ∀x∈X
trong đómlà một số dương thì toán tử liên hợpA∗ củaAlà một toàn ánh. Giải
Giả x∗ là một phần tử bất kì của X∗. Ta chứng minh tồn tại y∗ ∈Y∗ sao cho
A∗y∗ =x∗. Từ bất đẳng thức đã cho suy raA là một đơn ánh và ánh xạ ngược
A−1 :A(X)→X xác định bởi Ax7→xlà một toán tử tuyến tính bị chặn. Ánh xạ hợp x∗◦A∗ : A(X)→P là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính định chuẩn Y. Theo định lý Hahn - Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục y∗ trên Y sao cho
y∗|A(X) =x∗◦A∗. Khi đóy∗ là phiếm hàm cần tìm tức làA∗y∗=x∗, vì với mọi
x∈X, ta có
Nhận xét 2.2.2. Nếu ta giải quyết dimX <∞hoặc dimY <∞ thì các khẳng định sau là tương đương:
Alà toàn ánh⇔A∗ đơn ánh
A∗ là toàn ánh⇔Alà đơn ánh.
Đây thực sự là kết quả cổ điển đối với các toán tử tuyến tính trong các không gian hữu hạn chiều. Lý do để các kết luận trên là R(A)vàR(A∗)là hữu hạn chiều (do đó là đóng). Trong trường hợp nói chung, ta có nhận xét sau
Nhận xét 2.2.3. ChoAlà toán tử tuyến tính liên tục từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩnY. Khi đó
a) Nếu Alà toàn ánh thìA∗ là đơn ánh. b) Nếu A∗ là toàn ánh thìAlà đơn ánh.
Chứng minh. a) Giả sửy∗ ∈Y∗ màA∗y∗ =0. Khi đó
(A∗y∗)x=y∗(Ax) =0, ∀x∈X.
DoAlà toàn ánh nên từ đó suy ray∗(y) =0với mọiy∈Y. Do đóy∗ =0. Vậy
A∗ là đơn ánh.
b) Giả sử x∈X màAx=0và x∗ là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kì trên
X. VìA∗ :Y∗→X∗ là toàn ánh nên tồn tại y∗ ∈Y∗ sao choA∗y∗=x∗. Do đó
x∗(x) = (A∗y∗)x=y∗(Ax) =y∗(0) =0.
Vì x∗(x) =0 với mọi x∗ ∈X∗ nên theo hệ quả của định lý Hahn - Banach, ta có x=0. VậyAlà một đơn ánh.
Chiều ngược lại, không đúng: Thật vậy ta có ví dụ đơn giản sau: Cho
X =Y = `2, với mỗi x∈ `2 với x= (xn)n≥1 đặt Ax= (1nxn)n≥1. Thật dễ để chứng minh rằng A là toán tử bị chặn và A∗ =A,A∗ là ánh xạ 1−1nhưng A
KẾT LUẬN
Trong quá trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em đã bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu quả. Qua đó, em có nét hình dung đầu tiên về toán học hiện đại, chuyên ngành giải tích hàm, đồng thời thấy được sự phong phú, lý thú của toán học. Đặc biệt trong khoá luận này em đã nghiên cứu một cách khái quát về toán tử tuyến tính không bị chặn, có thể xem như là một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về toán tử tuyến tính không bị chặn nói riêng và giải tích hàm nói chung. Đó chính là thành công của đề tài.
Như vậy có thể nói đề tài đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt ra. Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích, các thầy cô trong khoa Toán.
Mặc dù em có nhiều cố gắng, song do nhiều hạn chế về thời gian và kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong các thầy cô cùng các bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt hơn.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 1997 .
[2] Hoàng Tụy,Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội,
2007 .
[B] Tài liệu tiếng Anh
[3] H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, 2011.