.
Định nghĩa 2.1. ChoX vàY là hai không gian Banach. Một toán tử tuyến tính không bị chặn từX vàoY là một ánh xạ tuyến tínhA:D(A)⊂X→Y xác định trên một không gian tuyến tính con D(A)⊂ X với giá trị trongY. Tập D(A)
được gọi là miền xác định củaA.
Ta nói Alà bị chặn (hoặc liên tục) nếuD(A) =X và nếu tồn tại hằng sốc≥0
sao cho:
kAxk ≤ckxk,∀x∈X.
Nhận xét 2.1.1. Tất nhiên có thể xảy ra rằng một toán tử tuyến tính không bị chặn là bị chặn. Thuật ngữ này không thật thích hợp nhưng nói chung nó vẫn được sử dụng và không dẫn tới bất kì sự nhầm lẫn nào.
Ví dụ 2.1. Toán tử không0 :X1 ⊂X →Y xác định bởix7→0.
Ví dụ 2.2. Toán tử đồng nhất Id:X1⊂X →X xác định bởix7→x.
Ví dụ 2.3. Toán tử A:C1[a,b]⊂C[a,b]→C[a,b] xác định bởix7→Ax(t) =
x0(t).
Sau đây là một vài định nghĩa quan trọng và kí hiệu khác:
Đồ thị củaA=G(A) ={[u,Au];u∈D(A)} ⊂X×Y, Tập giá trị (Ảnh) củaA=R(A) ={Au;u∈D(A)} ⊂Y, Hạch (Nhân) củaA=N(A) ={u∈D(A):Au=0} ⊂X. Một ánh xạAđược gọi là đóng nếu G(A)là đóng trongX×Y.
Ví dụ 2.4. Cho toán tửA:C[0,1]→C[0,1]xác định bởi
x7→(Ax)(t) = Z t 0 x(s)ds Khi đó: Nhân của AlàN(A) ={0}.
Ảnh củaAlà tập các hàm sốycó đạo hàm liên tục trên đoạn[0,1]vày(0) =0
Nhận xét 2.1.2. Để chứng minh A là toán tử đóng, ta thường làm như sau: Lấy một dãy(un)⊂D(A)sao choun→utrongX vàAun → f trongY. Sau đó kiểm tra hai điều:
(a) u∈D(A),
(b) f =Au.
Chú ý rằng nếu chỉ xét dãy(un)màun→0trongX vàAun→ f trongY và chứng minh f =0là chưa đủ.
Nhận xét 2.1.3. NếuAđóng thìN(A)đóng, tuy nhiênR(A)không nhất thiết đóng.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh nếuA đóng thì N(A) đóng. Thật vậy với mọi dãy xn ∈N(A), giả sửxn→x. Doxn ∈N(A)nênAxn =0. MàAđóng nên cho qua giới hạn khi (n→∞)thìAx=0hayx∈N(A).
NếuAđóng thìR(A)không nhất thiết đóng chẳng hạn: Cho ánh xạA:`2→`2
thì với mỗi x∈`2 mà x= (xn)n≥1 ta đặt Ax= (1nxn)n≥1. Khi đó R(A)không đóng.
Ví dụ 2.5. Chứng minh rằng các toán tử sau đây là những toán tử bị chặn và tìm chuẩn của chúng a )A:C1[0,1]→C[0,1]xác định bởi(Ax)(t) =x(t). b) A:C1[a,b]→C[a,b]xác định bởi(Ax)(t) =x0(t). Giải a) Với mọix∈C1[0,1], ta có ||x||C1[0,1] =|x(0)|+ sup t∈[0,1] |x0(t)|,
Theo công thức số gia hữu hạn, ta có
x(t) =x(0) +tx0(c), c∈(0,1), t ∈[0,1]. Do đó |x(t)| ≤ |x(0)|+ sup t∈[0,1] |x0(t)|=||x||C1[0,1], ∀t ∈[0,1]. Từ đó suy ra ||Ax||C[0,1]=||x||C[0,1] ≤ ||x||C1[0,1]
Vậy Abị chặn và||A|| ≤1. Mặt khác, lấy xo(t) =1,t ∈[0,1], ta được
xo ∈C1[0,1],||xo||C[0,1]=||xo||C1[0,1]=1.
Từ đó suy ra||A|| ≥1. Vậy||A||=1.
b) Ta thấy Alà toán tử tuyến tính.Thật vậy∀x,y∈C1[a,b], ∀α,β ∈Pta có
(A(αx+βy))(t) = (αx+βy)0(t) = (αx)0(t)+(βy)0(t) =αx0(t)+βy0(t) =α(Ax)(t)+β(Ay)(t). Do đó αx+βy∈C1[a,b]. Với mọix∈C1[a,b], ta có ||Ax||C[a,b]= sup t∈[a,b] |x0(t)| ≤ |x(a)|+ sup t∈[a,b] |x0(t)|=||x||C1[a,b]
Do đó A bị chặn và ||A|| ≤1. Mặt khác, lấy xo(t) =t−a,a≤t ≤b, ta được
Định nghĩa 2.2. Toán tử liên hợpA∗
Cho A:D(A)⊂X →Y là toán tử không bị chặn, xác định trù mật. Toán tử không bị chặnA∗:D(A∗)⊂Y∗→X∗ xác định như sau: Đầu tiên ta định nghĩa miền xác định của nó:
D(A∗) ={v∈Y∗; ∃c≥0 :|hv,Aui| ≤c||u||,∀u∈D(A)}.
Khi đóD(A∗)là một không gian tuyến tính con củaY∗. Thật vậy:∀x,y∈D(A∗),∀α,β ∈Pta có
|hαx+βy,Aui| = |hαx,Aui+hβy,Aui| ≤ |αhx,Aui|+|βhy,Aui| ≤ |α||hx,Aui|+|β||hy,Aui|
Do đó theo định nghĩa của D(A∗)thì tồn tạic1 vàc2 sao cho
|hx,Aui| ≤c1||u||và|hx,Aui| ≤c2||u|| ∀u∈D(A).
Suy raαx+βy∈D(A∗)hayD(A∗)là một không gian tuyến tính con củaY∗. Tiếp theo ta định nghĩa A∗v: vớiv∈D(A∗), xét ánh xạg:D(A)→Rxác định bởi:
g(u) =hv,Aui, ∀u∈D(A).
Ta có
|g(u)| ≤ckuk, ∀u∈D(A)
Theo định lý Hahn - Banach, tồn tại một ánh xạ tuyến tính f :X →R là thác
triển mở rộng củagvà thỏa mãn:
|f(u)| ≤ckuk, ∀u∈X
Khi đó f ∈X∗. Chú ý rằng thác triển này là duy nhất, bởi vìD(A)trù mật trong X.
Ta thiết lập một ánh xạ A∗:D(A∗)⊂Y∗→X∗ xác định bởi công thức
tức là
hA∗v,ui=hv,Aui ∀u∈D(A)
Khi đóA∗ là toán tử tuyến tính . Thật vậy∀x,y∈Y∗,∀α,β ∈Pta có
hA∗(αx+βy),ui = hαx+βy,Aui
= αhx,Aui+βhy,Aui
= αhA∗x,ui+βhA∗y,ui
= hαA∗x,ui+hβA∗y,ui
= hαA∗x+βA∗y),ui,∀u∈D(A)
Suy raA∗(αx+βy) =αA∗x+βA∗y.Do đó A∗ là toán tử tuyến tính.
Toán tửA∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tửA. Từ định nghĩa ta có mối liên hệ cơ bản giữa AvàA∗ như sau
hv,AuiY∗,Y =hA∗v,uiX∗,X ∀u∈D(A), ∀v∈D(A∗).
Ví dụ 2.6. Tìm các toán tử liên hợp với các toán tử cho dưới đây a) Ax= (0,x1,x2, ...,xn, ...), vớix= (xn)∈`2.
b) (Ax)(t) =Rt
0x(s)ds, với0≤t ≤1, x∈L2[0,1]. Giải
a) Với x= (xn)∈`2 thìAlà toán tử tuyến tính bị chặn nên tồn tại toán tử liên hợp A∗. ∀x= (x1,x2, ...),y= (y1,y2, ...)ta có: hAx,yi = 0y1+x1y2+...+xnyn+1+... = x1y2+...+xnyn+1+... = hx,A∗yi Vậy A∗y= (y2,y3, ...).
b) Trước hết ta thấyAlà toán tử tuyến tính trong L2[0,1]. Thật vậy∀x,y∈L2[0,1], ∀α,β ∈Pta có (A(αx+βy))(t) = Rt 0(αx+βy)(s)ds = Rt 0((αx(s)) + (βy(s)))ds = αR0tx(s)ds+βR0ty(s)ds = α(Ax)(t) +β(Ay)(t), ∀t ∈[0,1] Với mọit ∈[0,1]thì | Z t 0 x(s)ds|2≤( Z t 0 |x(s)|ds)2 ≤ Z t 0 |x(s)|2ds=||x||2.
Suy raR1 0 |Rt
0x(s)ds|2dt≤ ||x||2 hay||Ax||2 ≤ ||x||2 nên||Ax|| ≤ ||x||. VậyAlà toán tử tuyến tính bị chặn do đó tồn tại toán tử liên hợpA∗.
∀x,y∈L2[0,1]ta cóhAx,yi=hx,A∗yi. Khi đó hAx,yi = R1 0(Ax)(t)y(t)dt = R1 0(R1 0 x(s)ds)y(t)dt = R1 0 R1 0 x(s)y(t)dsdt = R1 0 x(s)(R1 s y(t)dt)ds Do đó hx,A∗yi=R1 0 x(s)(A∗y)(s)ds. Vậy (A∗y)(s) =R1 s y(t)dt, s∈[0,1].
Chú ý 2.1.1. Ta có thể không cần sử dụng tới định lý Hahn - Banach để thác triển g mà chỉ cần sử dụng thác triển cổ điển bởi tính liên tục vì D(A) là trù mật, glà liên tục đều trênD(A)vàRlà không đầy.
Nhận xét 2.1.4. (Có thể xảy ra khả năngD(A∗)) không trù mật trongY∗ (kể cả nếuAđóng ) nhưng đây là một trường hợp trực giao khác. Vì nếuAlà đóng thì D(A∗) là trù mật trongY∗ đối với topo yếu δ(Y∗,Y). Đặc biệt, nếuY là phản xạ thìD(A∗)là trù mật trongY∗ theo topo ứng với chuẩn thông thường.
Nhận xét 2.1.5. Nếu A là một toán tử bị chặn thì A∗ cũng là một toán tử bị chặn (từY∗ vàoX∗) và hơn nữa
kA∗k£(Y∗,X∗)=kAk£(X,Y).
Ta thấy:D(A∗) =Y∗. Thật vậy: Rõ ràngD(A∗)⊂Y∗.
Mặt khác, với mọiz∈Y∗ ta có|hz,Aui| ≤ ||z||||Au||. Mà do Abị chặn và
z∈Y∗ nên tồn tạic1 vàc2 sao cho||Au|| ≤c1||u||và||z|| ≤c2. Suy ra
|hz,Aui| ≤(c1.c2)||u||hayz∈D(A∗)tức làY∗⊂D(A∗). Từ định nghĩa ta có
|hA∗v,ui| ≤ kAk kuk kvk, ∀u∈X, ∀v∈Y∗.
Chứng tỏ, kA∗vk ≤ kAk kvkvà do đókA∗k ≤ kAk.
Ta cũng có
|hv,Aui| ≤ kA∗k kuk kvk, ∀u∈X, ∀v∈Y∗.
Mệnh đề 1.1. ChoA:D(A)⊂X →Y là toán tử không bị chặn, xác định trù mật. Khi đóA∗ là đóng tức là G(A∗)là đóng trongY∗×X∗.
Chứng minh. Giả sửvn∈D(A∗)thỏa mãn:vn→vtrongY∗ vàA∗vn→ f trong
X∗.Ta cần chứng minh (a) v∈D(A∗)
(b) A∗v= f. Ta có:
hvn,Aui=hA∗vn,ui, ∀u∈D(A).
Qua giới hạn ta thu được
hv,Aui=hf,ui, ∀u∈D(A).
Do đó v∈D(A∗)(vì|hv,Aui| ≤ kfk kuk,∀u∈D(A)) và A∗v= f.
Đồ thị của A và A∗ được liên hệ bởi một hệ thức trực giao rất đơn giản. Xét đẳng cấuI:Y∗×X∗ →X∗×Y∗ xác định bởi
I([v,f]) = [−f,v].
ChoA:D(A)⊂X →Y là toán tử không bị chặn, xác định trù mật. Khi đó:
I[G(A∗)] =G(A)⊥.
Thật vậy giả sử [v, f]∈Y∗×X∗, khi đó
[v,f]∈G(A∗) ⇔ hf,ui=hv,Aui, ∀u∈D(A),
⇔ −hf,ui+hv,Aui=0, ∀u∈D(A),
⇔ [−f,v]∈G(A)⊥.
Sau đây là một số hệ thức trực giao quan trọng giữa miền giá trị và nhân.
Hệ quả 2.1. Nếu ChoA: D(A)⊂X →Y là toán tử không bị chặn, xác định trù mật và đóng. Khi đó
(i) N(A) =R(A∗)⊥, (ii) N(A∗) =R(A)⊥, (iii) N(A)⊥ ⊃R(A∗), (iv) N(A∗)⊥=R(A).
Chứng minh. Chú ý rằng (iii) và (ii) có thể suy ra một cách trực tiếp từ (i) và (ii) kết hợp với Mệnh đề 1.1. Có một cách chứng minh đơn giản và trực tiếp của (i) và (ii) như sau:
(i) ∀x∈N(A)⇒Ax=0⇔ hAx,y∗i=0⇔ hx,A∗y∗i=0⇔x∈R(A∗)⊥. (ii)∀y∗∈N(A∗)⇒A∗y∗=0⇔ hx,A∗y∗i=0⇔ hAx,y∗i=0⇔y∗ ∈R(A)⊥. Tuy nhiên, ta có thể gắn các vấn đề này với Mệnh đề 1.1 theo cách sau: Xét không gianE =X×Y, khi đóE∗=X∗×Y∗ và các không gian củaE
G=G(A) và L=X× {0} Thật dễ kiểm tra rằng : (26) N(A)× {0}=G∩L, (27) X×R(A) =G+L, (28) {0} ×N(A∗) =G⊥∩L⊥, (29) R(A∗)×Y∗=G⊥+L⊥.
Chứng minh (i): Theo (29) ta có
R(A∗)⊥× {0} = (G⊥+L⊥)⊥=G∩L (do(16)) = N(A)× {0} (do(26)).
Chứng minh (ii): Từ (27) ta có :
{0} ×R(A)⊥= (G+L)⊥ = G⊥∩L⊥ (do(17)) = {0} ×N(A∗) (do(28)).
Nhận xét 2.1.6. Có thể xảy ra (thậm chí cả khiAlà toán tử tuyến tính bị chặn), khả năngN(A)⊥6=R(A∗). Tuy nhiên, ta luôn cóN(A)⊥là bao đóng củaR(A∗)
đối với topo yếu δ(X∗,X). Đặc biệt nếuX là phản xạ thìN(A)⊥=R(A∗).