Thật vậy, lấy Umở M, thì (p )1(U) = 1p1((U)) là tập các phần tử
(x, , i) Ui F sao cho x Ui U. Do đó p liên tục. Xét ánh xạ i : Ui F p1(U)
(x, x) (x, , i) .
Vì p i(x, ) = p (x, , i) = x Ui nên i(x, ) p1(U). Ta sẽ chứng minh i là song ánh. Thật vậy :
{(x, , i)} p1(U), x Ui , xét phần tử (x, ) Ui F. Khi đó :
i(x, ) = (x, , i) = [(x, , i)] . Vậy i là đồng phôi.
Do liên tục nên i liên tục.
Xét W = W’ W”, trong đó W’ là mở trong Ui , W” là mở trong F. Khi đó : i(W) = {[(x, , i)] , x W’, W”}
nên 1. i(W) = W’ W” J, trong đó J = {k I : Uk W’ # }. Vì tập W’ W” J là tập mở của V nên i(W) là tập mở .
Vậy i là ánh xạ mở. Suy ra i là đồng phôi.
Đặt A = {(Ui , i ), i I } thì dễ thấy nó là tập bản đồ tầm thường hoá và (P, M, p, F, G, ) là một phân thớ.
Nếu có một phân thớ (P’, M, p’, F, G, ’) khác thoả mãn định lí trên thì theo định lí 4.4 dễ thấy hai phân thớ và ’ tương đương .
) Chú ý : Đối với các phân thớ khả vi ta cũng có định lí tương tự.
5. PHÂN THỚ KẾT HỢP Định nghĩa Định nghĩa
Hai phân thớ (P, M, p, F, G, ) và ’(P’, M’, p’, F’, G’, ’) gọi là
kết hợp với nhau nếu M M’, G G’ còn các tập bản đồ tầm thường hoá
= {(Ui , i ), i I } và ’ = {(Uj , j ), j I’} được chọn sao cho I I’ và với i, j I, Ui = U’i , aji = a’ji, ở đây {aji}, {a’ji} là họ các hàm cấu trúc của
và ’tương ứng .
và ’ gọi là các tập bản đồ kết hợp.
Ví dụ : Hai phân thớ tương đương thì kết hợp với nhau. Định lí
Cho phân thớ , khi đó tồn tại phân thớ chính kết hợp với . Ngược lại cho phân thớ chính ’(P’, M, p’, F, G, ’) và F là một không gian
tô pô sao cho G tác động có hiệu quả lên F, thì tồn tại phân thớ
(P, M, p, F, G, ) sai khác một phép tương đương kết hợp với ’. Chứng minh
Phần thuận dễ thấy từ định lí 2.4.2.
Ngược lại cho phân thớ chính ’(P’, M, p’, F, G, ’).
’ ={(Uj, ’j), j I} và F là một không gian tô pô sao cho G tác động có hiệu quả lên F.
Giả sử G tác động lên F về bên trái và tác động lên P’ về bên phải. Xét tập hợp P’ F trên đó G tác động về bên phải như sau :
(u, ) P’ F, a G, Ra(u, ) = (ua, a1 ).
Đặt P = P’ F/G, rồi định nghĩa p: P M [u, ] p’(u).
Với mỗi (Ui , ’i) ’ , ta có đồng phôi
’i : Ui G p’1(Ui) (x, a) i(x, a).
Để ý rằng với mỗi u = i(x, a), Rb(u) = ub = ’i(x, ab). Ta định nghĩa ánh xạ :
i : p1(Ui) = (p’1(Ui) F)/G Ui F [u, ] (p’(u), a). Dễ thấy ánh xạ này liên tục.
Xét ánh xạ i : Ui F p1(Ui), xác định như sau : Với mỗi (x, ) Ui F, lấy u p’1(x), ’i(x, a) = u. Đặt i(x, ) = [u, a1]. Dễ thấy ánh xạ này xác định.
Thật vậy, nếu có u’ p’1(x) thì có duy nhất b G để u’ = ub = i(x, ab).
Khi đó [u’, (ab)1] = [ub, b1(a1 )] = [u, a1] = [u, a1]. Suy ra ánh xạ i(x, ) liên tục.
Lại có : i i(x, ) = i([u, a1]) = (p’(u), a(a1 )) = (x, ). Từ đó suy ra i là đồng phôi.
Đặt = {(Ui , i ), i I }.
Dễ thấy (P, M, p, F, G, ) là phân thớ kết hợp với phân thớ chính
(P’, M’, p’, F, G’, ’).
) Chú ý: Đối với các phân thớ khả vi ta cũng có định lí tương tự.
) Ví dụ: Cho M là một đa tạp khả vi thì TM là phân thớ véc tơ kết hợp với phân thớ chính L(M) các mục tiêu trên M.
Giả sử (P, M, p, F, G, ) là phân thớ khả vi kết hợp với phân thớ chính (P’, M, p’, F, G, ’). với mỗi u P’, F, gọi x = p’(u). Kí hiệu u
= [u, ]. Khi đó ánh xạ u : F p1(x) u, a-1. Chứng minh Với u P’ cố định, p’(u) = x Ui M. {x}F : F p1(x) u, a1. Do đó u = hi {x}F là vi phôi.
Mặt khác : (ua) = [ua, ] = [(ua)a1, a] = [u, a] = u(a).
KẾT LUẬN
Phần nội dung chính của khoá luận đã trình bày vắn tắt một số khái niệm cơ sở để phát biểu và chứng minh các nội dung chính đó là :
1. Trình bày khái niệm không gian tô pô, T2 không gian, ánh xạ liên tục trên không gian tô pô và chỉ ra một số ví dụ minh hoạ.
2. Trình bày khái niệm đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc và một số ví dụ.
3. Nội dung chính của luận văn trình bày khái niệm không gian phân thớ và một số tính chất của nó.
Sau quá trình nghiên cứu, em đã tìm hiểu thêm được nhiều kiến thức mới, đúc rút cho mình được một số kiến thức cơ bản về vấn đề đã nghiên cứu. Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, mặc dù có rất nhiều cố gắng xong không tránh khỏi những thiếu xót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm Bình Đô (2010), Hình học vi phân, NXB ĐHSP. 2. Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB GD.
3. Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2011), Lí thuyết liên thông và hình học Rieman, NXB GD.