Định nghĩa 2.4.1 Cho hai phân thớ có cùng thớ mẫu và nhóm cấu trúc
(P, M, p, F, G, ) và ’(P’, M’, p’, F, G, ’). Xét ánh xạ liên tục f : P P’ thoả mãn điều kiện sau :
i) x M, fx = f
p1(x) : p1(x) p’1((f(x)) là đồng phôi giữa hai phân thớ.
ii) Gọi ~f : M M’ là ánh xạ xác định bởi x M, lấy u p1(x) , rồi đặt ~f (x) = p(f(u)), thì ~f là liên tục.
iii) Giả sử (Ui , i ) A , (U’j , ’j ) ’. Khi đó:
x Ui~f1(U’j), x’ = ~f (x), ánh xạ ~aji : x ~aji(x) G là liên tục. Ta gọi nó là hàm chuyển của f. Khi đó f được gọi là ánh xạ giữa hai phân thớ nói trên và kí hiệu là f : ’.
Mệnh đề 2.4.1
Các hàm chuyển ~aji của ánh xạ phân thớ f : ’ thoả mãn các
điều kiện sau :
a) x Ui Uj ~f1(U’k), ~akj(x) aji(x) = ~aki(x)
b) x Ui ~f1 (U’j U’k ), akj ( ~f (x)) ~aji (x) = ~aki(x), ở đây aji, akj tương ứng là các hàm cấu trúc của các phân thớ và ’.
Chứng minh
a) Ta có ~akj(x) aji(x) = k,x1 . j,x . j,x1 . i,x = ~aki(x). b) Chứng minh tương tự a).
Mệnh đề 2.4.2
Tập hợp các phân thớ có cùng phân thớ mẫu F và nhóm cấu trúc G cùng với các ánh xạ giữa chúng làm thành một phạm trù. Kí hiệu là FibF.G .
( từ định nghĩa và mệnh đề trên ta chứng minh được mệnh đề )
Định nghĩa 2.4.2
Hai phân thớ và ’ có chung đáy M, thớ mẫu F và nhóm cấu trúc G gọi là tương đương nếu tồn tại ánh xạ phân thớ f : P P’ sao cho ~f = idM.
Phân thớ tương đương với phân thớ tích được gọi là phân thớ tầm thường.
Định lí 2.4.1
Điều kiện cần và đủ để hai phân thớ ’(P’, M, p’, F, G, ’) và
(P, M, p, F, G, ) tương đương và tồn tại các ánh xạ liên tục
ji i j
a : U U Gthoả mãn các điều kiện sau :
a) x Ui Uj U’k , ~akj(x) . aji (x) = ~aki (x). b) x Ui U’j U’k, a’kj (x) . ~aji (x) = ~aki (x).
Chứng minh
Điều kiện cần : dễ dàng chứng minh được.
Điều kiện đủ :
u P, nếu p(u) = x Ui U’j , ta định nghĩa ánh xạ : fji : p1(Ui U’j) p’ như sau fji(u) = ’j (x, ~aji (x)i,x1(u)). Dễ thấy fji liên tục .
Giả sử u p1( Ui U’j) p1(Uk U’l ), khi đó : fji(u) = j(x, ~aji(x)i,x1(u))
= ’j(x, ajl(x)~ali(x)i,x1(u)) = ’l(x, ~ali(x)i,x1(u))) = ’l (x, ~alk(x)aki(x)(u)) = ’l (x, ~akl(x)k,x1 (u)) = flk(u)
Như vậy ta đã xác định được ánh xạ fij trên mỗi tập p1(Ui U’j ) sao cho tại phần giao nhau p1(Ui U’j ) p1(Uk U’l ) thì fij = fkl .
Rõ ràng các tập p1(Ui U’j ) phủ P .
Từ định nghĩa ta được ánh xạ f : P P’ như sau :
u P, nếu u p1(Ui U’j ) thì đặt f(u) = fji(u), ta sẽ đi chứng minh f là một ánh xạ phân thớ. Trước hết ta có :
u p1(Ui U’j ) , p’(f(u)) = p’(fji(u)) = x = p(u). Từ đó suy ra f(u) p’1(x). Vậy có ánh xạ :
fx = fp-1(x) : p1(x) p’1(x).
Vì các ánh xạ ’j , i,x1 , ~aji (x) là những ánh xạ đồng phôi nên fji là đồng phôi. Suy ra fx là đồng phôi.
Rõ ràng ~f (x) = p’(f(u)) = x , x M. Suy ra ~f = idM .
Với (Ui , i ) A , (U’j , ’j ) A’ , x Ui U’j , x’ = ~f (x) = x , ta đặt :
~
bji(x) = ’j,x1 . fx . i,x : F F.
Dễ thấy ~bji là đồng phôi, ta đi chứng minh ~bji = ~aji . Thật vậy:
F , ta có : ~bji(x)( ) = j,x1 . fx . i,x() = j,x1 . fji . i,x( ) = ’j,x1 . ’j(x, a~ji(x) i,x1 (i,x())) = ’j,x1 . j (x, ~aji(x)( )) = ’j,x1 . ’j,x ( ~aji (x)( )) = ~aji(x)( ). Từ đó suy ra ~bji = ~aji. Do đó ~bji liên tục .
Vậy f chính là một ánh xạ phân thớ vì ~f = idM nên và ’ tương
đương .
Định lí 2.4.2 ( Định lí về cấu trúc phân thớ)
Cho không gian tô pô M, {Ui , i I} là một cái phủ của nó. G là một nhóm tô pô các phép biến đổi của không gian tô pô F, G tác động có hiệu quả lên F.
aji : Ui Uj G là họ các ánh xạ liên tục thoả mãn điều kiện :
Khi đó tồn tại một phân thớ P với không gian đáy M, thớ mẫu F, nhóm cấu trúc G, nhận {aji} làm họ các hàm chuyển. Phân thớ P xác định duy nhất sai khác một phép tương đương. Nghĩa là nếu có phân thớ ’ thoả mãn các
điều kiện trên thì ’ tương đương với .
Chứng minh
Đặt Vi = Ui F, trên Vi trang bị tô pô tích của Ui và F. Gọi V = i
i I V
, trên V trang bị tô pô tổng của các Vi . Trên V V xét quan hệ hai ngôi như sau :
(x, , i) (x’, ’, j) nếu x = x’ Ui Uj và ’ = aji(x). Từ điều kiện (*) của định lí suy ra : aii(x)aii(x) = aii(x) .
Do đó aii(x) = e là phần tử đơn vị của nhóm G với i I. Suy ra có tính phản xạ.
Vì aji(x)aji(x) = e nên aji(x) = aji1(x).
Do đó nếu ’ = aji(x) thì = aij(x)’. Suy ra có tính chất đối xứng. Ngoài ra nếu ’=aji(x) ”=akj(x)’ thì ” = akj(x)’ = akj(x) aji(x) = aki(x). Suy ra p có tính bắc cầu.
Vậy là một quan hệ tương đương. Đặt P = V
, mỗi phần tử của nó là một lớp tương đương [(x, , i)].
Trên P ta lấy tô pô thương, nghĩa là nếu gọi : V P = V
là phép
chiếu chính tắc thì U P là tập mở khi p 1(U) là tập mở của V .
Ta định nghĩa phép chiếu p: P M [(x, , i)] x .