hữu hạn đơn định tối tiểu đoán nhận L.
Chứng minh: Gọi M = <Q, Σ, δ, q0, F> là ôtômat hữu hạn đơn định đoán nhận ngôn ngữ L được xây dựng như trong Định lý 2.4.5. Cho A là ôtômat hữu hạn đơn định đầy đủ tuỳ ý đoán nhận L. Khi đó số trạng thái của A không ít hơn số lớp tương đương theo quan hệ RA và do đó không ít hơn số lớp tương đương theo quan hệ RL, tức là số trạng thái của M.
Giả sử A’ = <Q’, Σ, δ’, q’0, F’> là ôtômat hữu hạn đơn định đoán nhận L có số trạng thái bằng số trạng thái của M. ∀q’∈Q’, do số lớp tương đương theo quan hệ RA’ bằng số trạng thái của A’, nên ∃ω∈Σ* sao cho δ’(q’0, ω)=q’. Đặt q=δ(q0, ω). Nếu ∃α∈Σ* sao cho δ’(q’0, ω)=δ’(q’0, α)=q’ thì ωRA’α. Từ sự bằng nhau giữa số lớp tương đương theo RA’ và theo RL, ta suy ra ωRLα. Do đó ta có:
δ([ε], ω) = [ω] = [α] = δ([ε], α) (ởđây q0=[ε]).
Bằng phương pháp như vậy, ta có thể đồng nhất các trạng thái của M với các trạng thái của A’. Chính xác hơn, tồn tại song ánh f từ Q’ lên Q thoả mãn:
f(δ’(q’0, α)) = δ(q0, α), ∀α∈Σ*.
Điều này cho biết hai ôtômat M và A’ được xem là như nhau và M là ôtômat hữu hạn đơn định tối tiểu duy nhất đoán nhận L.
2.4.7. Định nghĩa: Trạng thái q của ôtômat hữu hạn đơn định đầy đủ A=<Q, Σ, δ, q0, F> được gọi là đến được nếu ∃ω∈Σ* sao cho δ(q0, ω)=q. q0, F> được gọi là đến được nếu ∃ω∈Σ* sao cho δ(q0, ω)=q.
Khi đó mỗi lớp tương đương theo quan hệ RA có thể được đồng nhất với một trạng thái đến được.
2.4.8. Chú ý: Cho A=<Q, Σ, δ, q0, F> là một ôtômat hữu hạn đơn định đầy đủđoán nhận ngôn ngữ chính quy L trên bảng chữ Σ. Chúng ta sẽ chỉ ra phương pháp đoán nhận ngôn ngữ chính quy L trên bảng chữ Σ. Chúng ta sẽ chỉ ra phương pháp tìm ôtômat hữu hạn đơn định tối tiểu M đoán nhận L. Để tìm các trạng thái của M, ta cần tìm các lớp tương đương theo quan hệ RL, mà mỗi lớp tương đương theo RL lại là hợp của một số lớp tương đương theo quan hệ RA. Do ta đồng nhất mỗi lớp tương đương theo RA với một trạng thái đến được của A nên ta sẽ xây dựng một
quan hệ tương đương trên tập hợp K tất cả các trạng thái đến được mà quan hệ này có thể đồng nhất với RL.
Trên tập hợp K xét quan hệ≡ sau:
∀p,q∈K, p≡q ⇔ (∀γ∈Σ*, δ(p, γ)∈F ⇔ δ(q, γ)∈F). Rõ ràng ≡ là một quan hệ tương đương trên K.
∀p,q∈K, ∃α, β∈Σ* sao cho p=δ(q0, α) và q=δ(q0, β). Khi đó ta có: p≡q ⇔ (∀γ∈Σ*, δ(δ(q0, α), γ)∈F ⇔δ(δ(q0, β), γ)∈F) ⇔ (∀γ∈Σ*, δ(q0, α γ)∈F ⇔δ(q0, βγ)∈F)
⇔ (∀γ∈Σ*, α γ∈L ⇔ βγ∈L) ⇔αRLβ.
Tập K các trạng thái đến được có thể nhận được như sau. Đặt K0={q0}, K1=K0∪{δ(q0, a) | a∈Σ}. Nếu K1≠K0, đặt K2=K1∪{δ(p, a) | a∈Σ, p∈K1 \ K0}. Tương tự như vậy, ta có thể tìm được Kj+1 thông qua Kj (j≥0). Nếu tồn tại i sao cho Ki+1=Ki thì ta có K=Ki.
Bây giờ ta tìm các lớp tương đương theo quan hệ ≡ trên K bằng thuật toán như dưới đây.