5. Cấu trúc khóa luận
2.3. Mầu Randall Sundrum
Các mô hình RS( Randall Sundrum) được dựa trên không - thời gian 5D mở rộng compact hóa trên orbifold s'/z2, quỹ đạo đa tạp trong đó có hai ba -
brane( 4D siêu bề mặt) định xứ tại hai điểm cố định: brane Planck y = 0 và brane TeV tại y = '/2. Bình thường 4D Poincare bất biến được hiển thị và duy trì bới giải pháp cổ điểm phương trình Einsten sau:
dS2 =e~2ơ(y)ĩiMVdxv —bftdy2, ơ ( y ) = m0b0 \ỵ\ (2.1)
ở đây * "(// = 0,1,2,3) là các thành phần tọa độ trên siêu mặt bốn chiều y không đổi, metric tương ứng TỊựv =diag( 1 ,-1 ,-1 ,-1 ). Với m0 và bo lần lượt là tham số khối lượng và bán kính compact. Thực hiện dao động hấp dẫn nhỏ với metric RS:
ĩl / u v ^ 8 / u v = rl ^ v +£hụ v { ^ y \ - ^ b 0 +b (x ) (2.2)
Ta thu được hai thành phần mới trên TeV brane: Các mode KK(kaluza - Klein) hnnv{x) và trường radio chuẩn tắc ộ(){x) tương úng được cho bởi:
v w = ẳ <k = S M Pleh(x) (2.3)
„=0 0
Trong đó Cìb(x) = e~nitíỉb°+b(x)]/2, s liên hệ với khối lượng Planck bốn chiều Mpi và năm chiều M5 theo biểu thức sau:
E 2 = \ 6 n G s = - ^ r
M ị
M p l = l ẻ G ; ( 2 A )
M PÌ 1
2 £,2m0
ở đây Q () =e~mữk)l2 được gọi là yếu tố dọc. Bởi vì brane TeV được sắp xếp để được y = l /2, một trường vô hướng bình thường nhân với yếu tố dọc, ví dụ: m phys = Q()«ỉo• Ke từ khi giá trị trung bình của mQb0 / 2 = 3 5 có thể tạo ra TeV quy mô khối lượng vật lý, vấn đề phân cấp đo được giải thích
Lagrangian hiệu dụng bốn chiều có dạng
L = H r 7A — ( 2. 5)
A w = y / Ĩ MpịCIq và T ụv là tenxo năng xung lượng của brane TeV, là vết của tenxo năng xung lượng, ở mức cây ta có:
T» = 2 > / 7/ - m ị z ^ + ( 2 m ị l ị - 0 ^ 0 % ) (2.6) /
Trong brane TeV xuất hiện số hạng trộn giữa hấp dẫn và vô hướng là
Sặ = ệ ị d \ ^ ~ R { g vi;i) H +H (2.7)
ở đây R ( g v is ) là tenxo vô hướng Ricci rút gọn trên brane TeV.
8&S = a b ( x ) { tJ ^ + s h /ẨVỴ Trong đó H là trường Higgs thỏa mãn
Hq =CÌqH. Tham số ệ biểu thị độ lớn của số hạng trộn. Với ệ =é0 ta không có hàm riêng khối lượng của boson Higgs thuần túy hay radion thuần túy. số hàng ệ này trộn các trường /zq và Qq thành các hàm riêng khối lượng h và
Q cho bởi
Với Aệ=\f6Mp{Q.Q là trang bình chân không của trường radion,
í7 \ ỈĨQ - 6 ệ ỵ 1 COSỠ sin 6 v- s i n ớ cosớy d c b a \<t>j (2.8) Trong đó Y - ~ r ~ ’ Z 2 = 1 - 6ệy2{\ +6 ệ) = p - 36 ệ 2y 2, p = 1 - (>ệy2 Aịí __ cosớ . _ sin 0 6ậỵ n n 6ệỵ . n m a = _ ,b = —~ì— ,c = s in ớ — ^ - c o s6,d =COS0+ - ^ - s m ỡ (2.9) z z z z G óc trộn 0 được xác định bởi: 2 mh. t a n 2 6 = 1 2 « ^ z — --- \ --- ( 2 . 1 0 ) 2 /^ 2 2\ 2 " V _36<^ ^ 23
Các trường mới h và Q là các hàm riêng khối lượng và không khối lượng là:
1
m h,ệ
2 z mị + P mị ,+Ậ mị + p ™ ị )2 \2 - 4 ZA ry'21 2 2 (2.11) Sự trộn giữa các trạng thái cho phép rã các hạt nặng hơn thành các hạt nhẹ hơn nếu động năng đủ lớn. Nói chung, tiết diện tán xạ, độ rộng phân rã và tỉ số giữa hằng số rã riêng và hằng số rã đều chịu ảnh hưởng đáng kể bởi giá trị của tham số trộn. Ngoài ra còn có hai ràng buộc đối với giá trị của ệ . Một là bắt nguồn từ đòi hỏi nghiệm hàm ngược của phương trình (2.11) là xác định dương. Điều này cho thấy Boson Higgs là hạt nặng hơn.
2 r. n ( 2 v 2 m ị z + 2P 2 \ 1/2 I - Ỉ - p (2.12)
Một ràng buộc khác là do z 2 là hệ số của số hạng động năng radion khi bỏ đi sự trộn động năng. Do đó, nó phải dương ( Z2>0) để giữ cho số hạng động năng của radion xác định dương ,nghĩa là:
12 1 + 1 + < £ < 12 '’V - '
\
(2.13)
Tiếp theo ta sẽ xét đến khối lượng của radion và một vài tham số khác của mô hình. Tất cả những tín hiệu về sự trộn radion - Higgs của mô hình RS đều được xác định từ tham số
m0
,ìĩĩjl ,ìfiậ,Ẹ (2.14)
Đe nghiệm RS là tin cậy, tỉ số
M PI
được chọn cỡ 0.01 < m° < 0.1 để
Mpi M PI
xiên ( oblique parameters) là nhỏ. Ta chon tham số <^ = 0 , + — phù hơp với 6
ệr « \ , z 2*ì .
Nhưng với kết quả nghiên cún gần đây cho thấy radion có thể được tồn tại một cách tự nhiên vói khối lượng nhỏ hơn, chẳng hạn cỡ 10~2G e V . Khả năng cho giá trị nhỏ hơn nữa cũng xảy ra nếu xét tới những hiệu chỉnh nhỏ. Nhung nói chung trong trường họp tổng quát radion không nhỏ một cách tự nhiên. Hiện tại, thực nghiệm chỉ mới tiến gần đến vùng không gian tham số lý thuyết mong muốn của các mô hình đã biết.
2.4. Hằng số liên kết của radỉon với các photon.
Với các Boson chuẩn không khối lượng như photon và gluon, ta không có nhũng tương tác lớn với radion bởi vì số hạng khối lượng trên brane. Tuy nhiên có thể xuất hiện những đóng góp lớn cho các tương tác này do các bổ chính loop của các Boson chuẩn, các trường Higgs, top quark và các dị thường trục (trace anomalies) định xứ sẽ có khả năng cho đóng góp lớn (không - thời gian tổng quát cũng cho đóng góp nếu các Boson chuẩn không khối lượng được đặt lên trên brane). Chúng ta đặt hằng số liên kết của radion với các photon là
trường họp h ệ = 5TeV và m° = 0.1. Ở đây hiệu ứng của radion nên tham số
L’fr r = 2 C ^ Ft ‘vFMV (2.15)
Với:
a
4/zA, a(b 2 +bY) - c i ị2 F ì ( r w ) + 3Fi ( r w )
2
(2.16)
Ở đây: b2 = — ,by = là hê số trong mô hình chuẩn (SM), và
6 6
aĩ2 =a + —X t = —- y - , r w = . Do r , = nên từ đây ta có thể suy ra
y q q m ị
2 2
q = m ị.
Các yếu tố Fị (Tt ) và F j ( r w ) được cho bởi
2
Fi (Tf) = - 2 r [ l + ( l - D / ( n ] (2.17)
2
Với r > 1, tính chất quan trọng của Fj (Tt ) là: Với r > 1 hàm này bão
hòa rât nhanh ở và dưới 0 với r < 1. 3
Fị ( 0 = 2 + 3 r + 3 r (2 - 0 / ( 0 (2.18) Với r > 1, tính chất quan trọng của ^ i ( r r) là: Với r > 1 hàm này bão hòa rất nhanh ở 7 và dưới 0 với r < 1.
Trong đó r — ) / ( n = arcsin T > 1 ln 1 + V l - r 1 - V T T (2.19) — Ỉ 7 Ĩ , r < l
Chương 3: CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ VỚI s ụ THAM GIA CỦA RADION TRONG MÔ HÌNH CHUẨN M Ở RỘNG
3.1. Quá trình tán xạ yy —►yy vói sự tham gia của radỉon
Ở phần này chúng xét quá trình tán xạ gamma - gamma khi có sự tham ra của các hạt radion và tính toán chi tiết tiết diện tán xạ vi phân toàn phần của quá trình.
Tán xạ yy —►yy khi có sự tham gia của radion được mô tả bằng giản đồ Feynman như sau:
Hình 1: S ơ đồ Feynman cho quá trình tán xạ yy —> yy khi có sự tham gia của radion
Các đỉnh tương tác của y(p\,ụ.) - y (P2,v) - ẹ được cho bởi
2 .i.c1 7 f ( - p 1.p2/ ' ' + P Ĩ . ^ )
Chúng ta có thể viết độ lớn của quá trình như sau:
M = Ms+ M t + M u Với: (1) (2) Ms = ef ( p i ) ( - p m g liV+P1P2) A M ■2 _ + 2 , • - mị + Ỉ£ X 2.CÁ X £*/ (ki) . (-kik2gpơ + /4 fcf) X 2 0 , (3)
Mị = ^ (pi) .CÀ (-Pihg™ + pjfcj*) (fei)
Mu = eỊ (pi) .2c.i {-pik2gß(T + pĩkfỉ) .£*2° (k2) (4)
q2 - m 2, + ie-.£% (p2) .2c.i ( - p 2h g vp + ÍỘ Ĩ) .£*/ {kị)
Với c = Cự>77
4.7T.yV, ö(&2 + K) - an " f l M + ị f ì / 2(Tt)’ I
19 . . 4 1 _ .
Tại b z - n - 0- là trường SƯ(2)Z/ 0 U ( \ ) y P ~ là hàm hệ sô trong SM
4m?
(5)
c 4ĩĩíL 4 m: 2 2
Ö12 = a + T\v = — 2 ; Tt = —y-; <? = m ị
7 ợ2 ợ2
Các dạng hệ số được cho bởi:
^1/2(7) = - 2 r [1 + (1 - r ) / ( ĩ ) ] Fị(r) = 2 + 3 ĩ + 3r.(2 - r)./(r) Với: /00 = arcsin í — ì Neu T >1 - l [ l n ' + 7 L - iT tỶ N ế u K l 4 1 - y j \ —x
Các tính chất quan trọng của F \/ i( x ) là, khi ĩ > 1 nó rất nhanh bão hòa rất nhanh tới -4/3, và tới 0 nếu T < 1, F\{r) bão hòa nhanh chóng tới 7 với r > 1,
và tới 0 với T < 1.
Tổng bình phương biên độ tán xạ là:
I M ị 2 - I I4
q2 - m?
- - 7 cosớ - cos2ỡ - 7C0S3# + 2cos4ớ