4. Tổ chức của luận văn
3.2.4. Phân tích tiên nghiệm
3.2.4.1. Biến và giá trị của chúng
♦ V1: Hình thức làm việc. Cá nhân, theo nhóm, cả lớp.
+ Làm việc cá nhân: Phát huy tinh thần làm việc của từng học sinh, giúp học sinh hiểu bài toán và cung cấp tư liệu cho làm việc nhóm.
+ Làm việc nhóm: có sự trao đổi thảo luận giúp tìm nhanh cách giải quyết bài toán. + Làm việc cả lớp: tạo sự tranh luận trong thời điểm tổng kết các pha và tổng kết tiết học.
♦ V2: Nguồn gốc của bài toán: Trong toán học hay ngoài toán học.
♦ V3: Biến liên quan đến số lượng các đại lượng phụ thuộc lẫn nhau trong tình huống + Hai đại lượng.
Bảng 3.1. Bảng giá trị của các biến được lựa chọn trong các tình huống
V1 V2 V3 V4
Câu hỏi Làm việc cá nhân Trong toán học Hai đại lượng Tường minh
Bài toán 1 Làm việc cá nhân,
nhóm, cả lớp Ngoài toán học Nhiều đại lượng
Ngầm ẩn
Bài toán 2 Làm việc nhóm,
cả lớp Ngoài toán học Nhiều đại lượng
Ngầm ẩn Tường minh
Bài toán 3 Làm việc nhóm,
cả lớp Ngoài toán học Hai đại lượng
Tường minh
3.2.4.2. Chiến lược và cái có thể quan sát được 3.2.4.2.1. Câu hỏi
Với câu hỏi trên, chúng tôi đưa ra hai đại lương phụ thuộc lẫn nhau. Mục tiêu của chúng tôi muốn kiểm tra xem học sinh có xác định được đại lượng nào phụ thuộc vào đại lượng nào và có nhận ra được một mối liên hệ hàm số giữa hai đại lượng phụ thuộc lẫn nhau hay không. Các câu hỏi này nhắm đến các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm. Cụ thể đó là hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng, phụ thuộc.
Chúng tôi đặt học sinh trong một tình huống toán học và giá trị của biến V3 là hai đại lượng được nêu tường minh để học sinh có thể phát hiện và thiết lập sự tương ứng, phụ thuộc giữa hai đại lượng. Từ đó kiểm tra xem học sinh có nhận biết được sự phụ thuộc giữa hai đại lượng, xác định được hai biến và sự tương ứng giữa các giá trị đầu vào và giá trị đầu ra.
+ Câu trả lời mong đợi:
•Số dư phụ thuộc vào số bị chia •Số dư là một biến số phụ thuộc •Số bị chia là một biến số độc lập •Số dư là hàm số của số bị chia.
+ Câu trả lời có thể: Chúng tôi dự đoán có thể học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc xác định sự phụ thuộc của hai đại lượng và đánh dấu vào ô “Em không biết”. Ngoài ra, có thể có những câu trả lời sau:
Số bị chia là hàm số của số dư (đánh dấu vào ô đúng vì học sinh không phát hiện ra sự tương ứng giữa 1 giá trị đầu vào và nhiều giá trị đầu ra).
Số dư là một biến số độc lập (đánh dấu vào ô sai).
3.2.4.2.2. Bài toán 1
Giá trị của các biến V2, V3, V4 thay đổi hoàn toàn so với câu hỏi, chúng tôi kiểm tra xem học sinh có phát hiện, thiết lập được sự tương ứng giữa hai đại lượng phụ thuộc lẫn nhau cũng như nghiên cứu chúng. Đặc biệt với yêu cầu thứ hai, học sinh phải tự chọn lựa hai đại lượng phụ thuộc nhau để mô tả mối quan hệ phụ thuộc, chúng tôi mong muốn học sinh lựa chọn các biến thích hợp và việc mô tả có thể bằng nhiều cách khác nhau như bảng số, đồ thị, công thức.
+ Câu trả lời có thể
Học sinh có thể liệt kê nhiều đại lượng phụ thuộc nhau: chiều dài bóng và khoảng cách từ người đến đèn, khoảng cách tử đỉnh bóng đến đèn và khoảng cách từ người đến đèn… Đến câu 2, để đơn giản thì cần chọn lựa hai đại lượng phù hợp là chiều dài bóng và khoảng cách từ người đến đèn.
+ Câu trả lời mong đợi: hai đại lượng phụ thuộc nhau là chiều dài bóng và khoảng cách từ người đến đèn. Mô tả hai đại lượng bằng : bảng, công thức và đồ thị. Cụ thể như sau:
• Công thức: Gọi y là chiều dài bóng( đơn vị: m), x là khoảng cách từ người đến đèn(m).
Theo định lý Ta-lét ta có: 1, 5 1 6 3 y y x x y = ⇒ = + • Bảng: Khoảng cách từ người đến đèn 1 2 3 4 5 6
Chiều dài bóng 1/3 2/3 1 4/3 5/3 2
• Đồ thị:
Chiều dài
1 2
Trong ba cách mô tả trên, chúng tôi dự đoán học sinh sẽ chỉ dùng công thức bởi trong các nghiên cứu trước đây chỉ ra rằng “ đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với biểu thức
giải tích”.
3.2.4.2.3. Bài toán 2
Đây là một bài toán thực tế, cũng giống như bài toán 1 chúng tôi nhằm vào hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng giữa hai đại lượng phụ thuộc lẫn nhau cũng như nghiên cứu chúng. Với yêu cầu thứ 2 của bài toán, chúng tôi mong muốn học sinh hiểu được sự biến thiên của nhiệt độ khi thời gian thay đổi để vẽ nên đồ thị.
Ở câu a, chúng tôi không nêu rõ các đại lượng biến để học sinh tự phát hiện sự tương ứng giữa các đại lượng phụ thuộc nhau. Câu trả lời có thể là: nhiệt độ của nước và thời gian nước chảy, nhiệt độ của nước và lượng nước trong bể, nhiệt độ của nước và nhiệt độ bên ngoài, tốc độ mở nước và lượng nước chảy ra ngoài …
Ở câu b, chúng tôi nêu rõ hai đại lượng biến với yêu cầu vẽ đồ thị của hàm số. + Câu trả lời mong đợi:
Nhiệt độ ban đầu của nước chảy ra gần với nhiệt độ phòng vì lượng nước này nằm trong ống. Khi nước nóng từ bình chứa nước nóng chảy ra vòi thì T tăng nhanh. Sau đó T cân bằng ở nhiệt độ của nước nóng trong bình chứa. Khi bình chứa cạn nước, T giảm xuống tới nhiệt độ của nguồn cung cấp nước. Điều này cho phép ta vẽ đồ thị của T theo t như hình sau.
Chúng tôi dự đoán có thể học sinh cho rằng nhiệt độ sẽ giảm dần theo thời gian và vẽ đồ thị như sau:
3.2.4.2.4. Bài toán 3
Chúng tôi xây dựng bài toán thực tế này nhằm vào ba hoạt động rèn luyện tư duy hàm và cho học sinh làm quen với một tình huống mô hình hóa cũng như giải quyết tình huống có vấn đề. Muốn trả lời câu hỏi bài toán đưa ra, đầu tiên học sinh phải phát hiện và thiết lập được sư tương ứng giữa số tiền công – thời gian sửa chữa. Mặc dù ở đây các biến số độc lập và biến số phụ thuộc này đã được đề cập tường minh trong đề toán nhưng việc thiết lập mối liên hệ giữa chúng không phải là hiển nhiên và được định hướng trước như trong sách giáo khoa. Kế đến muốn biết được số tiền của công ty nào thấp hơn, học sinh phải sử dụng các tính chất của hàm số bậc nhất. Từ đó, vận dụng việc nghiên cứu đồ thị của hàm số bậc nhất để trả lời cho câu hỏi của bài toán. Cụ thể, chúng tôi dự đoán các chiến lược được học sinh sử dụng như sau:
Các chiến lược có thể của bài toán 3:
- Chiến lược S1: Biểu thức tính tiền công
S1a : Giải bất phương trình bằng đại số + Lập hai hàm số + Lập bất phương trình. + Kết luận S1b: Giải bằng đồ thị + Xây dựng hai hàm số thích hợp + Vẽ đồ thị 2 hàm số đó lên cùng một hệ trục T T1 T2 t t1 t2
S1c: Chọn trị đặc biệt
+ Lập hai công thức tính tiền công
+ Cho một vài giá trị của thời gian để tính số tiền công + Kết luận
- Chiến lược S2: Ước lượng chi phí thấp nhất
S2a: Ước lượng thời gian
S2b: Ước lượng thời gian- phụ phí
Phân tích chi tiết cái có thể quan sát được:
- Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1a
Gọi x là mỗi 30 phút sửa chữa (x>0)
Gọi y1là số tiền công của công ty AAA (nghìn đồng) Gọi y2là số tiền công của công ty FFF (nghìn đồng)
Từ giả thiết bài toán ta có: y1 = 100 + 100x y2 = 120x
Giả sử y1 > y2ta được x < 5
Vậy x < 5 ta công ty FFF vì số tiền sửa ít hơn. Tương tự, x > 5 ta chọn công ty AAA.
Và x = 5 số tiền công của 2 công ty bằng nhau
Vậy với thời gian nhỏ hơn 2 giờ 30 phút ta nên chọn công ty FFF còn thời gian lớn hơn 2 giờ 30 phút chọn công ty AAA.
- Với chiến lược S1c, học sinh trình bày như sau:
Gọi x là mỗi 30 phút sửa chữa (x>0). Từ đó xây dựng nên công thức tiền cho hai công ty lần lượt là:
T1 = 100 + 100x T2 = 120x
Sau đó cho 1 vài giá trị của x= 1, 2, 3, 4,… tính ra tiền công theo 2 công thức trên. So sánh các giá trị của T1 và T2 tại từng điểm x rồi rút ra kết luận. Tuy nhiên, với chiến lược này học sinh có thể kết luận đúng nhưng không được chặt chẽ do chỉ kiểm tra trên một số điểm hữu hạn.
- Đối với chiến lược S1b, học sinh có thể trình bày như sau: Gọi x là mỗi 30 phút sửa chữa (x>0)
Gọi y1là số tiền công của công ty AAA ( nghìn đồng) Gọi y2là số tiền công của công ty FFF ( nghìn đồng) Từ giả thiết bài toán lập nên hai hàm số như sau:
y1 = 100 + 100x y2 = 120x
Vẽ hai đồ thị lên cùng một hệ trục tọa độ.
Từ đó nhận thấy: ứng với x < 5 đồ thị của hàm số y1 nằm phía trên hàm số y2, với x > 5 thì ngược lại.
Vậy với thời gian nhỏ hơn 2 giờ 30 phút ta nên chọn công ty FFF còn thời gian lớn hơn 2 giờ 30 phút chọn công ty AAA.
- Với chiến lược S2a: Nếu sửa chữa trong thời gian ngắn, em sẽ chọn công ty FFF. - Và chiến lược S2b : Cứ mỗi 30 phút, công ty FFF đắt hơn 20.000 đ. Nếu sửa trong 5. 30 = 150 phút thì phải trả thêm cho FFF 100.000 đ, bằng giá phụ phí của công ty AAA. Vậy nếu sửa dưới 150 phút, nên chọn FFF.
Trong năm chiến lược nêu trên, chúng tôi mong đợi học sinh sẽ sử dụng chiến lược S1b bởi chiến lược này cho câu trả lời chính xác và nhanh chóng. Tuy nhiên, ở chiến lược này, học sinh phải lựa chọn đơn vị trên các trục phù hợp để vẽ đồ thị, nghĩa là vấn đề chuyển đổi tỉ lệ phải được sử dụng ngầm ẩn. Hơn nữa, như nhiều nghiên cứu trước đây đã chỉ ra, vấn đề sử dụng đồ thị để giải toán là không quen thuộc đối với học sinh. Họ luôn có xu hướng đi tìm công thức hàm số và sử dụng công thức để giải. Vì vậy, chúng tôi dự đoán hai chiến lược S1a, S1ccó thể sẽ được sử dụng nhiều hơn.