Phân tích đa phân giải (MRA – Multiresolution Analysis) là đặc tính quan trọng nhất của phép biến đổi wavelets.
Biểu diễn toán học của MRA như sau:
Vj = Wj+1 Vj+1 = Wj+1 Wj+2 Wj+3 . . . Wj+n +Vn (6.1) Trong đó:
Vj+1 là thành phần xấp xỉ của tín hiệu ở tỉ lệ j+1.
Wj+1 là thành phần chi tiết biểu diễn tất cả các hiện tượng quá độ của tín hiệu ở tỉ lệ j+1.
ký hiệu cho tổng của 2 tín hiệu đã phân tích. n là cấp phân tích.
Giả sử tín hiệu xj[t] được lấy mẫu theo các khoảng thời gian như nhau, với số lượng mẫu là N=2J , J là số nguyên thì xj[t]=(v0,v1, …, vN-1). Biểu diễn toán học biến đổi wavelet DWT của xj[t] là:
xj[t] = xj[t].j,k[t] (6.2)
k
với (t) là hàm tỉ lệ trong biến đổi DWT.
Kỹ thuật MRA sẽ phân tích tín hiệu ở nhiều tần số khác nhau theo nhiều độ phân giải khác nhau. MRA được thiết kế thỏa yêu cầu sau:
Phân giải tốt theo thời gian và phân giải kém theo tần số ở các tần số cao, Phân giải kém theo thời gian và phân giải tốt theo tần số ở các tần số thấp. Phân tích đa phân giải tạo nên một khối quan trọng nhất cho việc xây dựng các hàm tỉ lệ và các wavelets. Trong MRA, một hàm sẽ được nhìn ở nhiều cấp xấp xỉ hoặc chi tiết. Ứng dụng kỹ thuật này có thể phân chia một hàm phức tạp thành các hàm đơn giản hơn để xem xét chúng riêng biệt nhau.
Xét trường hợp một hàm có nhiều thành phần thay đổi chậm và nhanh như hình vẽ 3.16. Nếu muốn biểu diễn hàm này tại một xấp xỉ đơn mức thì phải làm rời rạc nó với kích thước bước là (h), được xác định bởi phần thay đổi nhanh của tín hiệu, điều này tạo ra quá nhiều các điểm dữ liệu. Nếu biểu diễn hàm này bằng nhiều bước rời rạc (gọi là các phân giải) thì có thể làm giảm đáng kể các điểm biểu diễn của tín hiệu. Xấp xỉ thô nhất của hàm này cùng với các chi tiết ở từng cấp sẽ biểu diễn được hàm gốc.