(phương pháp Lindstedt)
Xét dao động của phương trình autonom kiểu con lắc (một dạng của phương trình Duffing)
d2x
dt2 +x−εx3 =0. (2.60) Với lò xo mềmε >0và lò xo cứng ε <0. Giả thiết rằng
ω =1+ε ω1+..., (2.61)
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
Chúng ta thế điều này vào (2.60) và tìm kiếm nghiệm có chu kỳ 2π/ω. Sẽ đơn giản hơn về mặt kỹ thuật khi đểω xuất hiện trong phương trình vi phân bằng cách viết
ωt =τ. (2.63)
Khi đó (2.60) trở thành
ω2x00+x−εx3 =0. (2.64) Bằng cách thế đó ta đã thay thế phương trình (2.60) chưa biết chu kỳ bởi phương trình (2.64) có chu kỳ đã biết là2π. Do đó, như trước, với mọi τ
xi(τ+2π) =xi(τ),i=0,1, ... (2.65) Phương trình (2.64) trở thành
(1+ε2ω1+...)(x000+εx001+...) + (x0+εx1+...) =ε(x0+εx1+...)3 và bằng việc nhóm theo luỹ thừa củaε, đồng nhất hệ số ta được
x000+x0 =0, (2.66a)
x001+x1=−2ω1x000+x30, ... (2.66b) Để đơn giản việc tính toán, ta có thể áp đặt điều kiện
x(ε,0) =0,x0(ε,0) =0 (2.67) Điều đó suy ra
x0(0) =a0,x00(0) =0, (2.68a) và
xi(0) =0,x0i(0) =0,i=1,2, ... (2.68b) Nghiệm của (2.66a) thoả mãn (2.68a) là
Phương trình (2.66b) trở thành x001+x1 = (2ω1a0+3 4a 3 0)cosτ+1 4a 3 0cos 3τ. (2.70) Nghiệm chỉ tuần hoàn nếu như
ω1 =−3 8a 2 0. (2.71) Từ (2.70), (2.71) x1(τ) =a1cosτ+b1sinτ − 1 32a 3 0cos 3τ, và (2.68b) suy ra b1 =0,a1= 1 32a 3 0. Do đó x1(τ) = 1 32a 3 0(cosτ−cos 3τ). (2.72) Cuối cùng, từ (2.69) và (2.72) x(ε,τ)≈a0cosτ+ 1 32εa 3 0(cosτ−cos 3τ) +O(ε2). (2.73) Quay trở lại biếnt (phương trình (2.63)) ta có xấp xỉ
x(ε,τ) ≈a0cosωt+ 1 32εa
3
0(cosωt−cos 3ωt) (2.74a) ở đó
ω ≈1−3
8εa
2
0, (2.74b)
cho thấy sự phụ thuộc của tần số vào biên độ.
2.10. Dao động cưỡng bức của phương trình tự kích thích
Xét phương trình Van der Pol với số hạng cưỡng bức
¨
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Phương trình tự do có chu trình giới hạn với bán kính xấp xỉ2và chu kỳ xấp xỉ 2π. Chu trình giới hạn được tạo ra bởi việc cân bằng giữa sự mất năng lượng nội tại và sự sinh ra năng lượng, và số hạng cưỡng bức sẽ thay đổi sự cân bằng này. NếuF là nhỏ (kích thích yếu), tác dụng của nó phụ thuộc vào liệuω có gần tần số tự nhiên hay không. Nếu gần thì sẽ ra một dao động là nhiễu của chu trình giới hạn. Nếu F không nhỏ (kích thích lớn) hoặc nếu tần số tự nhiên và tần số ấn định không gần nhau thì dao động tự nhiên có thể mất đi vì nó xảy ra với phương trình tuyến tính tương ứng.
Đầu tiên, viết
ωt =τ (2.76)
thì (2.75) trở thành
ω2x00+ε ω(x2−1)x0+x=Fcosτ (2.77) ở đó dấu phẩy là đạo hàm theo biếnτ.
Kích thích mạnh, xa cộng hưởng
Giả thiết rằng ω là không gần với số nguyên. Trong (2.77), giả sử
x(ε,τ) =x0(τ) +εx1(τ) +... (2.78) Dãy các phương trình đối vớix0, x1,...
ω2x000+x0=Fcosτ (2.79a) ω2x001+x1 =−(x20−1)x00 (2.79b) x0(τ), x1(τ) có chu kỳ2π. Nghiệm duy nhất của (2.79a) có chu kỳ2π là
x0(τ) = F
1−ω2 cosτ và do đó
x(ε,τ) = F
Nghiệm là một nhiễu của phản hồi tuyến tính thông thường và chu trình giới hạn bị lấn át như đã dự kiến.
Kích thích yếu, xa cộng hưởng
Trường hợp này cũng giống như kích thích mạnh ở trên nhưng với F = εF0. Tuy nhiên, nghiệm đó thường không ổn định và không có chu trình giới hạn.
Kích thích yếu, gần cộng hưởng
Với kích thích yếu viết trong (2.77)
F =ε γ (2.81)
và với gần cộng hưởng
ω =1+ε ω1 (2.82)
Giả sử khai triển:
x(ε,τ) =x0(τ) +εx1(τ) +... (2.83) Phương trình (2.80), (2.81) và (2.82) dẫn đến
x000+x0 =0, (2.84a)
x001+x1 =−2ω1x000−(x20−1)x00+γcosτ, ... (2.84b) Chúng ta đòi hỏi nghiệm có chu kỳ2π. Phương trình (2.84a) có nghiệm
x0(τ) =a0cosτ+b0sinτ. (2.85) Sau một vài thao tác, (2.84b) trở thành
x001+x1 ={γ+2ω1a0−b0(1 4r 2 0−1)}cosτ +{2ω1b0+a0(1 4r 2 0−1)}sinτ +hàm điều hoà cao hơn
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
ở đó
r0 = q
(a20+b20)>0. (2.87) Để nghiệm tuần hoàn ta cần (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2ω1a0−b0 1 4r 2 0−1 =−γ (2.88a) 2ω1b0−a0 1 4r 2 0−1 =0. (2.88b)
Bình phương và cộng hai phương trình này ta được
r02 ( 4ω12+ 1 4r 2 0−1 2) =γ2 (2.89)
là phương trình xác định biên độ có thể r0 của phản hồi ứng với ω1 và γ đã cho.
2.11. Phương pháp nhiễu và chuỗi Fourier
Trong các ví dụ ở Mục 2.3 và 2.4, các nghiệm xuất hiện như chuỗi của
sinvà cosin với các tần số là bội nguyên của tần số cưỡng bức. Chúng xuất
hiện khi ta tái tổ chức các số hạng giống nhưx3, nhưng bằng cách tác động trực tiếp nhờ sử dụng chuỗi Fourier ta có thể chỉ ra dạng này luôn xảy ra, thậm chí cả khi không có các số hạng đa thức hoặc điều hoà cưỡng bức. Xét phương trình cưỡng bức tổng quát hơn
x00+Ω2x=F(τ)−εh(x,x0) (2.90) ở đó ε là tham số nhỏ. Giả sử rằng F là tuần hoàn với biến số thời gian đã lấy tỷ lệ để có chu kỳ2π; và giá trị trong hình của nó bằng 0để sao cho có số hạng hằng số bằng 0 trong chuỗi Fourier (có nghĩa là giá trị trung bình theo thời gian của F bằng 0 trên toàn bộ chu kỳ) nên ta có thể khai triển F
thành chuỗi Fourier F(τ) = ∞ ∑ n=1 (Ancosnτ +Bnsinnτ) (2.91) trong đó các hệ số Fourier được cho bởi
An = 1 π Z 2π 0 F(τ)cosnτdτ,Bn= 1 π Z 2π 0 F(τ)sinnτdτ. Ta cho phépΩcó thể gần với một số nguyên N bằng cách viết
Ω2=N2+ε β (2.92)
(N=1 trong Mục 2.4). Phương pháp nhiễu đòi hỏi có các nghiệm tuần hoàn được tổng hợp từ các nghiệm tuần hoàn của một vài phương trình tuyến tính thích hợp. Nếu (2.91) có một số hạng bậcN khác 0thì (2.90) với ε =0, rõ ràng không là phương trình tuyến tính thích hợp, vì số hạng cưỡng bức có một thành phần bằng với tần số tự nhiên N nên sẽ không có nghiệm tuần hoàn.
Tuy nhiên nếu ta viết
AN =εA,BN =εB (2.93)
thì số hạng trongF gây cộng hưởng sẽ được bỏ đi từ phương trình tuyến tính hoá và ta có thể có một họ nghiệm sinh. Bây giờ sắp xếp lại (2.90), tách số hạng phức tạp trongF bằng cách viết f(τ) =F(τ)−εAcosNτ−εBsinNτ = ∑ n6=N (Ancosnτ+Bnsinnτ). (2.94) Phương trình (2.90) trở thành x00+N2x= f(τ) +ε−h(x,x0)−βx+AcosNτ+BsinNτ (2.95) Phương trình tuyến tính hoá là x00+N2x= f(τ), không có cộng hưởng. Ta viết như thông thường
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
ở đó x0, x1,... có chu kỳ 2π. Bằng cách khai triển h trong (2.90) theo luỹ thừa củaε ta có
h(x,x0) =h(x0,x00) +εh1(x0,x00,x1,x01) +... (2.97) ở đóh1 có thể tính toán bằng cách thế (2.96) vào (2.97) và (2.95) ta thu được dãy
x000+N2x0= ∑
n6=N
(Ancosnτ+Bnsinnτ) (2.98a)
x001+N2x1=−h(x0,x00)−βx0+AcosNτ +BsinNτ (2.98b) x002+N2x2 =−h1(x0,x00,x1,x01)−βx1, ... (2.98c) Nghiệm của (2.98a) là
x0(τ) =a0cosNτ+b0sinNτ+ ∑ n6=N Ancosnτ+Bnsinnτ N2−n2 =a0cosNτ +b0sinNτ +φ(τ) (2.99)
vớia0, b0 là các hằng số được xác định như sau: βa0 =−1 π Z 2π 0 h(a0cosNτ+b0sinNτ+φ(τ)), −a0NsinNτ +b0NcosNτ +φ0(τ))cosNτdτ+A (2.100a) βb0 =−1 π Z 2π 0 h(a0cosNτ+b0sinNτ+φ(τ)), −a0NsinNτ +b0NcosNτ +φ0(τ))sinNτdτ +B. (2.100b)
BÀI TẬP
2.1 Tìm tất cả các nghiệm tuần hoàn của x¨+Ω2x=Γcost với mọi giá trị củaΩ2.
2.2Tìm hai điều hoà đầu tiên của nghiệm có chu kỳ2π của các phương trình dưới đây.
(i)x¨−0.5x3+0.25x=cost; (ii)x¨−0.1x3+0.6x=cost;
2.3. Tìm một xấp xỉ đầu tiên đối với chu trình giới hạn của phương trình Rayleigh’s ¨ x+ε(1 3x˙ 3−x˙) +x=0,|ε| 1. sử dụng phương pháp của Mục 2.9 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.4. Sử dụng phương pháp của Mục 2.9 với bậc của ε để thu được các nghiệm với chu kỳ2π và quan hệ biên độ - tần số đối với
(i)x¨−εxx˙+x=0; (ii)(1+εx˙)x¨+x=0.
2.5. Phương trình Duffing gần cộng hưởng tại Ω=3 với kích thích yếu là
¨
x+9x=ε(γcost−βx+x3).
Chứng tỏ rằng có các nghiệm2π - tuần hoàn nếu biên độ của nghiệm có bậc0là0hoặc2p(β/3)
2.6. Áp dụng phương pháp Lindstedt, Mục 2.9 đối với phương trình Van der Polx¨+ε(x2−1)x˙+x=0,|ε| 1.
Chứng tỏ rằng tần số của chu trình giới hạn được cho bởiω =1−161 ε2+ O(ε3).
2.7. Nghiên cứu các nghiệm cưỡng bức tuần hoàn có chu kỳ 23π đối với phương trình Duffing có dạngx¨+ (1+ε β)x−εx3 =Γcos 3t.
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
củax¨+Ω2x+εx2 =Γcost, bằng phương pháp trực tiếp của Mục 2.2. Giải thích sự có mặt của số hạng tự do trong khai triển.
2.9. Dùng phương pháp nhiễu biên độ - pha (Mục 2.8) để xấp xỉ các nghiệm có chu kì2π củax¨+x=ε(γcost−xx˙−βx).
2.10. Nghiên cứu các nghiệm có chu kì 2π của x¨+9x+εx2 =Γcost bằng cách sử dụng phương pháp trực tiếp của Mục 2.2. Nếux=x0+εx1+ ..., chứng tỏ rằng các số hạng thế tục xuất hiện đầu tiên với x2.
2.11. Cho phương trình con lắc tắt dần với số hạng cưỡng bức ¨
x+kx˙+ω02x−1
6ω
2
0x3 =Fcosωt.
Chứng tỏ rằng đường cong biên độ - tần số đạt cực đại trên
ω2=ω02(1−1 8r 2 0)− 1 2k 2.
2.12. Chứng tỏ rằng điều hoà đầu tiên với lực cưỡng bức phương trình Van der Pol x¨+ε(x2−1)x˙+x=Fcosωt là giống nhau đối với kích thích yếu và kích thích mạnh xa từ cộng hưởng.
KẾT LUẬN
Trên đây là toàn bộ nội dung của đề tài "Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiễu".Trong khóa luận tốt nghiệp này, em đã trình bày những hiểu biết
của mình một cách hệ thống, rõ ràng về việc sử dụng phương pháp nhiễu để nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến. Điều này làm rõ thêm vai trò quan trọng của lý thuyết phương trình vi phân nói chung và của toán học nói riêng trong các ứng dụng thực tế.
Khóa luận đã đạt được mục đích và nhiệm vụ đề ra. Tuy nhiên, do nội dung nghiên cứu còn khá mới mẻ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế, một phần vì đây là lần đầu tiên thực hiện nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên.
Một lần nữa, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến người thầy
Trần Văn Bằng đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ để em hoàn thành bài khóa luận này.
Tài liệu tham khảo
[] Tài liệu tiếng Việt
[1] Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn (1970), Phương trình vi phân, Nxb Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[2] Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, Nxb Đại
học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cở sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định, Nxb Giáo dục.
[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2003), Toán học cao cấp, Nxb Giáo dục.
[] Tài liệu tiếng Anh
[5] D. W. Jordan, P. Smith (2007),Nonlinear Ordinary Differential Equa- tions, Oxford University Press.