dần
Giả sử hệ số tắt dần bằng0; khi đó trong (2.24), (2.25), (2.29) ta có
k=K =κ =0. (2.38)
Thay cho việc tìm r0 trong (2.37), các hệ số a0, b0 có thể tìm trực tiếp từ (2.35): nghiệm duy nhất được cho bởi
b0 =0, (2.39a)
a0(β−3
4a
2
Chúng ta chỉ xét chi tiết con lắc với trường hợp ε = ε0 = 16Ω2. Các tham số gốc ω, ω0 và F của phương trình (2.24) có thể khôi hồi qua (2.25) đến (2.27). Phương trình (2.39b) trở thành
a0(ω2−ω02+1 8ω
2
0a20) =−F. (2.40) Nghiệma0 có thể thu được bằng cách vẽ đường cong bậc ba
z =a0(ω2−ω02+1 8ω
2
0a20) = f(a0) (2.41) Trên đồ thị với các trụca0,z cho một vài giá trị cố định củaω vàω0, sau đó tìm các giao điểm với đường thẳngz=−F vớiF >0, như Hình2.3.
Một số đặc điểm chính được đưa ra dưới đây:
(i) Khiω2>ω02 (Hình2.3(a)), có chính xác một dao động tuần hoàn có thể. Khi F nhỏ, biên độ xấp xỉ với phản hồi tuyến tính (2.22), và với phản hồi tuyến tính đã sửa chữa (2.23), trừ khi ω ≈ω02 (rất gần với trường hợp cộng hưởng) là trường hợp khác nhau đáng kể (Hình 2.3(b)). Những phản hồi này ngoài pha1800 với số hạng cưỡng bức.
(ii) Khi ω2 <ω02 (Hình 2.3(c)), có một phản hồi đơn, ngoài pha 1800 khiF tương đối lớn. Khi F nhỏ hơn có ba phản hồi tuần hoàn phân biệt, hai trong pha và một ngoài pha so với số hạng cưỡng bức. Phản hồi được ghi chữ ’A’ trong Hình 2.3(c) tương ứng với phản hồi (2.22) của phương trình tuyến tính hoá, và với phản hồi tuyến tính đã sửa (2.23).
(iii) Toàn bộ ba phản hồi được mô tả ở (ii) sẽ có biên độ nhỏ nếu giao điểm của đường cong z = f(a0) với trục a0 (Hình 2.3(c)) gần gốc toạ độ. Các giao điểm này làa0=0,a0=±2√
2(1−ω2/ω02)1/2.Ba giao điểm thực sự đạt được với điều kiện là:
F < 4 3 r 2 3ω 2 0(1−ω2/ω02)3/2
Kết quả đó có thể nhận được từ các tính chất của phương trình bậc ba củaa0 . Do đó bằng cách chọnω2/ω02 đủ gần 1(gần cộng hưởng) vàF tương ứng nhỏ, các biên độ củacả ba phản hồi có thể được làm nhỏ tuỳ ý.
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
Hình 2.3: Minh họa phương trình (2.41)
(iv) Mặc dù không có tắt dần nhưng vẫn có các dao động ổn định bị chặn cả khiω =ω0 (không giống với trường hợp tuyến tính). Biên độ tăng vô hạn nếu lực cưỡng bức còn lại sau dao động tự nhiên và tăng cường vào chu trình liên tục. Tuy nhiên, tần số của dao động tự nhiên(phi tuyến) biến đổi theo biên độ nên không còn lại trong bước với số hạng cưỡng bức.
(v) Không biết là dao động ổn định có đạt được hoặc gần đạt tới hay không, nếu có thì mô hình này tương ứng với nó còn tuỳ thuộc vào điều kiện ban đầu của bài toán.
(vi) Có hay không một phương thức đặc biệt có thể được duy trì trong thực hành còn phụ thuộc vào tính ổn định của nó. Nếu trong lân cận của biên độa0, biên độ cưỡng bứcF được yêu cầu duy trì tăng/giảm khia0tăng/giảm thì chúng ta có nghiệm ổn định, trong tình huống đó nhiễu nhỏ ngẫu nhiên của biên độ không thể duy trì và khuếch đại. Tuy nhiên nếuF tăng/giảm khi a0 giảm/tăng, thì các điều kiện này làm tăng nhiễu và kết quả là không ổn định. Phân tích sâu hơn có thể chỉ ra các nhánh ổn định và không ổn định
trong Hình2.3 và2.4.
Hình 2.4: Đường cong biên độ-tần số của con lắc không tắt dần (phương trình (2.40))
Bản chất của các nghiệm trong (2.40) như một hàm số của các tham số ω, ω0 vớiF đã cho, có thể được thể hiện trên ’lược đồ phản hồi’ đơn trong Hình2.4. Hình vẽ có thể vẽ trực tiếp bằng việc viết (2.40) dưới dạng
ω = r {ω02(1−1 8a 2 0)−F/a0}.
Cho mỗi giá trịF >0, biên độ nằm trên hai nhánh trơn, một cặp điển hình được chỉ ra trên hình vẽ. F tăng trên chu tuyến cách xa dần so với đường cong F =0 (là đường cong biên độ tần số của dao động tự do và là một phần của ellip) trên cả hai phía của nó. Chú ý rằng
dω da0 = 1 2ω − 1 4a0ω 2 0+ F a20 ! .
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
Do đó, nếua0<0(và F >0),dω/da0 không bao giờ bằng0, trong khi nếu a0 >0 (và F > 0), dω/da0 bằng 0 với mọi giá trị của a0 và ω <ω0 như Hình2.4.
Ví dụ 2.2. Nghiên cứu các nghiệm tuần hoàn cưỡng bức của phương trình
x00+ (9+ε β)x−εx3=Γcosτ,
ở đóε là nhỏ vàβ,Γ không quá lớn.
Phương trình đã cho có thể được viết lại như sau
x00+9x=Γcosτ+ε(x3−βx).
Viếtx(ε,τ) =x0(τ) +εx1(τ) +...,ở đóx0(τ),x1(τ), ...có chu kỳ 2π. Khi đó
x000+9x0 =Γcosτ, x001+9x1 =x30−βx0, ...
Phương trình đầu tiên có nghiệm2π-tuần hoàn dạng
x0(τ) =a0cos 3τ+b0sin 3τ +1
8Γcosτ.
Khi thay thế vào phương trình xác địnhx1, các số hạng trong cos 3τ, sin 3τ
xuất hiện ở mặt bên phải, ngăn chặn các nghiệm tuần hoàn trừ khi các hệ số của chúng bằng0. Cách đơn giản nhất để thực hiện phép thế bằng cách
viết x0(τ) =A0e3iτ+A0e−3iτ+ 1 16Γe iτ + 1 16Γe −iτ, ở đóA0 = 12a0−12ib0. Ta thấy được x30−βx0 = Γ3 163 + 6Γ2 162A0+3A 2 0A0−βA0 e3iτ+liên hợp đầy đủ +Các hàm điều hoà khác.
Do đó, ta cần A0 3A0A0−β+6Γ 2 162 ! =− Γ 3 163.
Điều đó cho thấy rằngA0 là số thực,b0 =0, A0 = 12a0 và phương trình đối vớia0 là 1 2a0 3 4a 2 0−β +6Γ 2 162 ! + Γ 3 163 =0.