C m ơn
2.3. B in đổi Wavelet
2.3.1. Khái ni m bi n đổi Wavelet
Có nhiều phương pháp phân tích tín hiệu, trong đóphân tích Fourier được biết đếnvà sử dụng rấtnhiều. Phương pháp này cho phép phân tích một tín hiệu thành tổng c a các hàm sin với các tần số khác nhau. Nói cách khác, phân tích Fourier là kỹ thuật biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số. Tuy nhiên, h n chế c a phép biến đổi này là thông tin thời gian đã bị mất. Để khắc phục nhược điểm này, người ta phân tích Fourier trong miền thời gian ngắn. Phân tích này gọi là STFT (Short time Fourier Transform) hay biến đổi Fourier cửa sổ. Khuyếtđiểm chính c a phương pháp phân tích này là khi kích thước cửa sổ đã xác định tất c các tần số được phân tích với cùng độ phân gi i thời gian và tần số. Nếu hàm cửa sổ hẹp thì phân gi i tần số kém, thời gian tốt và ngược l ihàm cửa sổ rộng thì phân gi itần số tốt, thời gian kém.
Biến đổi Wavelet khắc phục được các nhược điểm trên, độ phân gi i thời gian và tần số có thể thay đổi một cách thích nghi với đặc tính c a tín hiệu trên mặt phẳng thời gian và tần số.Phân tích Wavelet cho phép sử dụng các kho ng thời gian dài khi ta cần thông tin tần số thấp chính xác hơn, và miền ngắn hơn đối với thông tin tần số cao.
Wavelet là công cụ thống kê m nh được sử dụng rộng rãi trong nhiều ng dụng như sau: Xử lỦ tín hiệu; nén dữ liệu; làm mịn và gi m nhiễu hình nh; mã hoá nguồn, mã hoá kênh; xác minh vân tay; trong sinh học, nhận biết màng tế bào, để phân biệt các màng bình thường từ màng bệnh lỦ; phân tích DNA, phân tích protein; phân tích huyết áp, nhịp tim và điện tâm đồ; nhận d ng giọng nói. Trong đề tài này sử dụng Wavelet để lọc nhiễu và tìm biên nh.
Wavelets là các d ng sóng nhỏ có thời gian duy trì tới h n với giá trị trung bình bằng 0, các hàm số cơ s ψk(t) này độc lập về thời gian và không gian. Wavelet có năng lượng vô h n. So sánh với sóng sin thì sóng sin không có kho ng thời gian giới h n – nó kéo dài từ âm vô cùng đến vô cùng. Trong khi sóng sin là trơn tru và có thể dự đoán, wavelet l i bất thường và bất đối x ng. Hình 2.14 là hình d ng so sánh giữa hàm Sinusoid và Wavelet.
19
Sinusoid Wavelet
Hình 2.11. ảình dạng hàm sinusoid và hàm Wavelet [21]
Giống như hàm sin và cosin trong phép biến đổi Fourier, thì Wavelet được dùng như hàm cơ s ψk(t)được trình bày trong hàm f(t).
( ) k k( )
k
f t a t (2.7)
Kho ng thời gian ψk(t): vector không gian S ch a các hàm f(t) được miêu t b i
ψk(t).
Wavelet có rất nhiều hình d ng khác nhau như Wavelet Harr, Wavelet Morlet, Wavelet Daubechies …
Hình 2.12. Các hình dạng Wavelet phổ biến [21]
Wavelet được t o từ những Wavelet mẹ đơn ψ(t) b i s là tỉ lệ (nghịch đ o c a tần số) và τ là biến dịch chuyển vị trí đặc trưng.
, 1 ( ) s t t s s (2.8)
Các biến đổi wavelet được chia thành 3 lo i: biến đổi wavelet liên tục, biến đổi wavelet rời r c và biến đổi wavelet đa phân gi i (wavelet multiresolution-based).
20
2.3.2. Bi n đổi Wavelet liên t c
Phép bi n đổi Wavelet thu n:
Phép biến đổi Wavelet liên tục (CWT) c a một hàm f(t)được định nghĩa như sau:
1 ( , ) t t C s f t dt s s (2.9)
Trong đó:C(τ,s) là hệ số biến đổi liên tục c a f(t)với tham số s là tỉ lệ (nghịch đ o c a tần số) và tham số τlà dịch chuyển đặc trưng vị trí. C hai tham số đều là số thực và s ≠ 0; x(t)là hàm thời gian (tín hiệu ) cần được phân tích; ψ(t)là hàm liên tục trong miền thời gian và miền tần số gọi là Wavelet mẹ. * là liên hợp ph c. Vai trò c a các Wavelet mẹ được dùng để t o ra những Wavelet con có những đặc tính mong muốn liên kết với hàm; Hệ số 1/ s được sử dụng để đ m b o cho sự chuẩn hoá trên những tỉ lệ khác nhau.
Nhận xét: s là tỉ số nghịch đ o c a tần số nên nó sẽ liên quan đến các thông tin về tần số. Việc thay đổi tham số s sẽ nh hư ng đến việc làm giãn hay nén tín hiệu (wavelet mẹ). Nếu tham số s lớn đồng nghĩa với việc tần số thấp thì sẽ làm giãn tín hiệu và cung cấp chi tiết những thông tin bị giấu đi trong tín hiệu. Nếu tham số s nhỏ, tần số cao thì sẽ nén tín hiệu. Do đó ta chỉ biết được những thông tin chung về tín hiệu. Việc phân tích này rất phổ biến trong thực tế. Đối với những tần số cao sẽ không được kéo dài trong thời gian dài. Chúng chỉ xuất hiện khi muốn truyền ngắn. Ngược l i thì tần số thấp thường được kéo dài trong toàn bộ thời gian tín hiệu.
Nhìn hình chúng ta có thể thấy rằng khi s nhỏ, chiều rộng c a wavelet mẹ sẽ hẹp, có nghĩa là độ phân gi i thời gian không tốt nhưng độ phân gi i tần số tốt. Mặt khác, nếu s lớn, chiều rộng c a wavelet mẹ rộng, có nghĩa là độ phân gi i thời gian tốt nhưng độ phân gi i tần số kém.
Phép bi n đổi Wavelet liên t c ngh ch:
Phép biến đổi Wavelet liên tục nghịch có d ng:
1 ( ) ( , ) ( ) s t f t C s d ds s s (2.10)
21
Công th c trên cho phép khôi phục l i tín hiệu nguyên th y từ các hệ số biến đổi wavelet bằng phép tính tích phân theo toàn bộ các tham số tỉ lệ s và dịch chuyển τ. Trong đó hàm Wavelet mẹ được sử dụng thay cho hàm liên hợp ph c c a nó.
2.3.3. Bi n đổi Wavelet r i r c
Khuyết điểm c a phép biến đổi wavelet liên tục là t o ra rất nhiều hệ số C(τ,s). Điều này rất ph c t p trong việc tính toán và xử lỦ lượng dữ liệu khổng lồ này.Vì vậy, Phép biến đổi Wavelet rời r c ra đời nhằm rút ngắn thời gian và đơn gi n hoá trong tính toán mà vẫn đ m b o độ chính xác cần thiết. Trong phép biến đổi Wavelet này, người ta thay thế các hệ số tỉ lệ (s) và dịch vị (τ) bằng những hệ số rời r c, luỹ thừa cơ số 2 là s = 2j ; τ = k2j (k,j ∈ Z)
Phép biến đổi Wavelet rời r c được định nghĩa như sau:
2 , 2 ( ) (2 ) j j j k C f t t k dt (2.11)
Tín hiệu f(t) cũng có thể tái t o l i từ hệ số Cj,k và thuật toán này gọi là phép biến đổi Wavelet ngược (IDWT)
0 0 , 2 0 , 0 0 1 ds 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) s s s s F t C s t dtd D s t d K K s (2.12)
Hình 2.13 minh ho d ng tổng quát c a biến đổi DWT một chiều. Theo đó tín hiệu nguyên gốc được cho đi qua các bộ lọc thông cao H (highpass) và thông thấp L (lowpass) rồi được lấy mẫu xuống hệ số 2 t o thành biến đổi DWT m c 1.
Hình 2.13. Biến đổi Wavelet rời rạc một chiều
Từ biến đổi Wavelet rời r c 1 chiều, ta có thể m rộng thành biến đổi Wavelet rời r c2 chiều bằng cách vẫn sử dụng các bộ lọc riêng biệt. Sau đó ta dùng phép biến đổi Wavelet rời r c 1 chiều để biến đổi tín hiệu theo hàng rồi tiếp tục thực hiện theo
Tín hiệu Lọc thông cao Lọc thông thấp 2 2 xấp xỉ chi tiết
22 DWT
theo hàng
DWT theo cột
cột. Với cách biến đổi như thế này thì tầng 1 ta sẽ thu được 4 nhlần lược là LL, LH, HL, HH (chữ cái đầu tiên ng với lọc theo hàng, chữ cái th hai ng với lọc theo cột).
Hình 2.14: Biến đổi Wavelet rời rạc hai chiều cho ảnh
2.3.4. Bi n đổi Wavelet đa phơn gi i
Biến đổi Waveelet đa phân gi i là một Ủ tư ng mới được đưa ra lần đầu tiên năm 1986 nhằm gi i quyết hình th c tổng quát trong việc xây dựng cơ s trực giao c a wavelets. Hơn nữa phân tích đa phân gi i là trung tâm c a tất c các phép xây dựng nên hàm cơ s wavelets. Hình 2.18 là sơ đồ phân tích Wavelet đa phân gi i sử dụng biến đổi rời r c
Hình 2.15: Phân tích đa phân giải sử dụng phỨp biến đổi Wavelet rời rạc
Theo hình 2.16, tín hiệu được cho đi qua các bộ lọc thông thấp và thông cao (G và H) rồi được lấy mẫu xuống hệ số 2 t o thành biến đổi Wavelet rời r c tầng 1. Các phép lọc có thể được tiến hành nhiều tầng khác nhau. ng với mỗi tầng thì tín hiệu sẽ có độ phân gi i khác nhau. nh sau khi phân tích rời r c đa phân gi i 3 bậc như hình 2.16 sau: NH L H LL HL LH HH G(n) H(n) 2 2 G(n) H(n) 2 2 G(n) H(n) 2 2 Biến đổi rời r c
tầng 1 Biến đổi rời r c tầng 2
23
Hình 2.16. Biến đổi Wavelet rời rạc 3 bậc
Tín hiệu sau khi phân tích để ng dụng vào từng mục đích riêng sau đó cần được tổng hợp l i để có được tín hiệu gốc ban đầu mà không bị mất thông tin. Ta có thể biến đổi ngược l i bằng cách lấy mẫu lên hệ số 2 rồi sử dụng các bộ lọc khôi phục H’, G’ được thể hiện trong hình 2.17
Hình 2.17: Bộ lọc khôi phục dựa trên lý thuyết DWT 1D
2.4. Nơng cao chất l ng nh
Nâng cao chất lượng nh số là quá trình xử lỦ trên nh ban đầu để t o ra kết qu là một b c nh tốt hơn xét theo một tiêu chí cụ thể. Ví dụ xử lỦ nh để nâng cao chất lượng c a nh chụp X-quang sẽ khác với việc nâng cao chất lượng c a nh chụp c a một vệ tinh để định vị.
Nâng cao chất lượng nh là bước cần thiết trong xử lỦ nh nhằm hoàn thiện một số đặc tính c a nh. Nâng cao chất lượng nh gồm hai công đo n: tăng cường nh và khôi phục nh. Tăng cường nh nhằm hoàn thiện các đặc tính c a nh như:
Lọc nhiễu, hay làm trơn nh
Tăng độ tương ph n, điều chỉnh m c xám c a nh H G 2 2 2 2 H’ G’ Tín
hiệu khôi phụcTín hiệu
24
Làm nổi biên nh
Có nhiều phương pháp nhằm tăng cường chất lượng c a nh, nhưng tập trung vào hai hướng chính là xử lỦ nh trong miền không gian và xử lỦ nh trong miền tần số. Trong miền không gian, nh được xử lỦ trực tiếp trên các pixel. Miền tần số sử dụng các phép biến đổi để xử lỦ.Toán tử điểm là phép biến đổi đối với từng điểm nh đang xét, không liên quan đến các điểm lân cận khác, trong khi đó, toán tử không gian sử dụng các điểm lân cận để quy chiếu tới điểm nh đang xét. Một số phép biến đổi có tính toán ph c t p được chuyển sang miền tần số để thực hiện, kết qu cuối cùng được chuyển tr l i miền không gian nhờ các biến đổi ngược.
2.4.1. Lọc nhi u
2.4.1.1. Khái ni m nhi u
Thông thường nh thu nhận có nhiễu cần ph i lo i bỏ nhiễu hay nh không sắc nét bị mờ hoặc cần làm rõ các chi tiết như làm rõ đường biên nh. Trước khi xem xét chi tiết các kỹ thuật lọc nhiễu áp dụng, cần phân biệt các lo i nhiễu trong quá trình xử lỦ nh. Trên thực tế tồn t i nhiều lo i nhiễu, tuy nhiên người ta thường phân làm 3 lo i nhiễu chính sau:
Nhiễu cộng: Nhiễu cộng thường phân bố khắp nh. Nếu gọi nh bị nhiễu là Xn, nh gốc là Xo, nhiễu là , nh thu được có thể biểu diễn b i:
Xn = Xo + (2.13)
Nhiễu nhân: Nhiễu nhân thường phân bố khắp nh và nh thu được sẽ biểu diễn với công th c:
Xn = Xo * (2.14)
Nhiễu xung: Nhiễu xung thường gây đột biến t i một số điểm nh.
2.4.1.2. Các ph ng pháp lọc nhi u
Căn c vào từng lo i nhiễu ta có thể lựa chọn phương pháp lọc nhiễu. Ðể làm trơn nhiễu hay tách nhiễu, người ta sử dụng các bộ lọc tuyến tính (lọc trung bình, thông
25
thấp) hay lọc phi tuyến (trung vị, gi trung vị, lọc đồng hình). Từ b n chất c a nhiễu (thường tương ng với tần số cao) và từ cơ s lỦ thuyết lọc là: bộ lọc chỉ cho tín hiệu có tần số nào đó thông qua do đó, để lọc nhiễu người ta thường dùng lọc thông thấp (theo quan điểm tần số không gian) hay lấy tổ hợp tuyến tính để san bằng (lọc trung bình). Ðể làm nổi c nh ( ng với tần số cao), người ta dùng các bộ lọc thông cao, lọc Laplace.
Có hai phương pháp lọc nhiễu chính: Lọc tuyến tính và lọc phi tuyến. Do có nhiều lo i nhiễu can thiệp vào quá trình xử lỦ nh nên cần có nhiều bộ lọc thích hợp. Với nhiễu cộng và nhiễu nhân ta dùng các bộ lọc thông thấp, trung bình và lọc đồng hình (Homomorphie); với nhiễu xung ta dùng lọc trung vị, gi trung vị, lọc ngoài (Outlier).
Lọc tuyến tínhgồm lọc trung bình và lọc thông d i
Trong lọc trung bình, thường người ta ưu tiên cho các hướng để b o vệ biên c a nh khỏi bị mờ khi làm trơn nh. Các kiểu mặt n được sử dụng tùy theo các trường hợp khác nhau. Các bộ lọc trên là bộ lọc tuyến tính theo nghĩa là điểm nh tâm cửa số sẽ được thay b i tổ hợp các điểm lân cận chập với mặt n .
Lọc ngược: là kỹ thuật lọc khôi phục đầu vào c a một hệ thống khi biết đầu ra ( nh thu được hay nh quan sát). Lọc ngược rất có ích cho quá trình tiền hiệu chỉnh tín hiê ̣u vao trươc những biên da ̣ng gây nên bởi hê ̣ thông . Viê ̣c thiêt kê mô ̣t bô ̣ lọc ngược rât kho khăn vi no không ổn đi ̣nh . Ngoài ra còn có bộ lọc gi ngược: do lọc ngược có nhược điểm là không ổn định, nên để khăc phục người ta xây dựng bộ lọc gi ngược và các kỹ thuật lọc làm trơn nh.
Lọc phi tuyến
Các bộ lọc phi tuyến cũng hay được dùng trong kỹ thuật tăng cường nh. Trong kỹ thuật này, người ta dùng bộ lọc trung vị, gi trung vị, lọc ngoài. Với lọc trung vị, điểm nh đầu vào sẽ được thay thế b i trung vị các điểm nh còn lọc gi trung vị sẽ dùng trung bình cộng c a 2 giátrị “trung vị” (trung bình cộng c a max và min).
26
Kỹ thuật Entropy cực đ i
Phương pháp Bayesian
Gi i chập mù
Lọc thông thấp và thông cao
Bộ lọc thông thấp thường dùng làm trơn nhiễu và nội suy nh. Bộ lọc thông cao dùng nhiều trong trích chọn biên và làmtrơn nh, còn bộ lọc d i thông có hiệu qu làm nổi c nh. Về biên sẽ được trình bày kỹ trong các phần sau. Tuy nhiên, dễ nhận thấy, biên là điểm có độ biến thiên nhanh về giá trị m c xám theo quan điểm về tần số tín hiệu. Như vậy, các điểm biên ng với cácthành phần tần số cao. Từ đó, có thể dùng bộ lọc thông cao để c i thiện nhiễu: nghĩa là có thể lọc các thành phần tần số thấp và giữ l i các thành phần tần số cao. Vì thế, lọc thông cao thường được dùng làm trơn biên trước khi tiến thành các thao tác với biên nh.
Lọc Wien
Lọc ngược và lọc gi ngược có một yếu điểm là nh y c m với nhiễu. Vì vậy khi áp dụng bộ lọc này người ta gi định hệ thống là lỦ tư ng không có nhiễu. Tuy nhiên, trên thực tế điều này không thể có. Do vậy, người ta nghĩ đến dùng kỹ thuật lọc khác cho các hệ thống có nhiễu, và bộ lọc đó gọi là bộ lọc Wien.
Bộ lọc Wien cho phép khôi phục nh dựa trên hàm biến đổi H u v( , ) (là biến đổi Fourier c a h(x,y) là hàm đáp ng đặc trưng cho toán tử H trong không gian) và đặc điểm c a nguồn nhiễu. Trong kỹ thuật lọc wiener, nh f u v( , )và nhiễu được mô t như các tín hiệu ngẫu nhiên. Tín hiệu đầu ra c a bộ lọc là f u vˆ( , ) ph i đáp ng được điều kiện sao cho lỗi trung bình bình phương (MSE – Mean Square Error) c a f u vˆ( , ) và
( , )
f u v là nhỏ nhất. Giá trị MSE tính theo công th c:
2 ˆ
e E f f (2.15)
27
Nhiễu và nh gốc là hai tín hiệu ngẫu nhiên độc lập tương hỗ