Trong một số ứng dụng, máy phát bị giới hạn không phải bởi công suất trung bình đầu ra mà bởi công suất đỉnh tức thời. Vấn đề tính toán dung lượng kênh truyền khi đó trở thành việc cực đại hóa (bằng cách biến thiên tập hợp pbxs của các ký hiệu truyền)
H(y) H(n)
với giả thiết ràng buộc rằng tất cả các hàm f(t)trong tập hợp pbxs sẽ bé hơn hoặc bằng S, với mọit. Ràng buộc dạng này không thể diễn giải tốt về toán học như giới hạn công suất trung bình. Tất cả những gì ta nhận được chính là chặn dưới hợp lệ cho mọi S
N, một chặn trên tiệm cận (hợp lệ cho S N lớn) và một giá trị tiệm cậnCcho S N nhỏ. Định lí 20: C W N C Wlog 2 πe3 S N, S S N C Wlog 2 eS+N N (1+²) ² S N 0 W 0 C Wlog 1+S N 1.
Chúng ta muốn cực đại entropy của tín hiệu thu. Nếu S
N là lớn, điều đó sẽ xảy ra rất gần khi ta cực đại
entropy của tập hợp pbxs tín hiệu phát.
Chặn trên tiệm cận nhận được bằng cách giãn các điều kiện trên tập hợp pbxs. Chúng ta giả sử rằng công suất bị giới hạnSkhông phải tại tất cả mọi thời điểm mà chỉ tại điểm lấy mẫu. Entropy cực đại của tập pbxs tín hiệu phát dưới điều kiện yếu như vậy thì nhất thiết lớn hơn hoặc bằng giá trị đó trong các điều kiện ban đầu. Bài toán được biển đổi này có thể được giải dễ dàng. Entropy cực đại xảy ra nếu những mẫu khác nhau là độc lập và có hàm phân bố là hằng số trong khoảng từ Sđến+ S. Entropy có thể tính như sau
Wlog 4S.
Tín hiệu thu sẽ có entropy nhỏ hơn
Wlog(4S+2πeN)(1+²) với² 0 khi S
N ∞ và dung lượng kênh truyền đạt được bằng cách trừ đi entropy của nhiễu trắng, Wlog 2πeN:
Wlog(4S+2πeN)(1+²) Wlog(2πeN) =Wlog
2
eS+N N (1+²).
Đây là chặn trên mong muốn của dung lượng kênh truyền.
Để thu được chặn dưới, xét cùng tập hợp pbxs của các hàm. Hãy cho các hàm này qua một bộ lọc lý tưởng với đặc tính truyền tam giác. Độ lợi là đơn vị tại tần số bằng 0 và giảm dần tuyến tính về độ lợi 0 tại tần sốW. Đầu tiên ta chỉ ra rằng hàm đầu ra của bộ lọc có giới hạn công suất đỉnh làStại mọi thời điểm (không chỉ tại điểm lấy mẫu). Trước tiên ta chú ý rằng một xungsin 2πWt
2πWt đi qua một mạch lọc tạo ra
1 2
sin2πWt
(πWt)2
tại đầu ra. Hàm này không bao giờ âm. Hàm đầu vào ( trong trường hợp tổng quát) có thể chính là tổng của một dãy các hàm bị dịch chuyển
asin 2πWt
2πWt
vớialà biên độ mẫu không lớn hơn S. Do vậy, đầu ra sẽ là tổng của các hàm bị chuyển dịch có dạng không âm như trên với những hệ số giống nhau. Những hàm này là không âm, giá trị dương cực đại với mọitnhận được khi mọi hệ sốađạt giá trị cực đại dượng của chúng, tức S. Trong trường hợp đó, hàm đầu vào là hằng số với biên độ Svà bởi vì bộ lọc có độ lợi đơn vị D.C., nên đầu ra là giống tương tự. Do vậy tập hợp pbxs đầu ra có công suất đỉnhS.
Entropy của tập hợp pbxs tại đầu ra có thể được tính từ entropy của đầu vào bằng cách sử dụng định lí phù hợp với tình huống này. Entropy tại đầu ra bằng với entropy đầu vào cộng với độ lợi trung bình nhân của bộ lọc: W 0 logG2d f= W 0 log W f W 2 d f= 2W.
Do vậy entropy đầu ra là
Wlog 4S 2W=Wlog4S
e2 và dung lượng kênh truyền là lớn hơn
Wlog 2
πe3
S N.
Bây giờ, ta muốn chỉ ra rằng, với S
N nhỏ (tỷ lệ công suất đỉnh tín hiệu trên công suất trong bình nhiễu
trắng) dung lượng kênh truyền được xấp xỉ bởi
C=Wlog 1+S
N .
Chính xác hơn làC Wlog 1+S
N 1khi
S
N 0. Vì công suất tín hiệu trung bìnhPthì nhỏ hơn hoặc
bằng công suất đỉnhS, dẫn đến với mọi S
N
C Wlog 1+P
N Wlog 1+ S
N .
Do đó, nếu chúng ta có thể tìm được một tập pbxs các hàm sao cho chúng tương ứng với tốc độ gần với
Wlog 1+S
N và giới hạn trong băng thôngW và đỉnh làS, kết quả sẽ được chứng minh. Xét tập hợp pbxs
của hàm số có dạng sau. Một dãy gồmtmẫu có cùng giá trị, hoặc+ Shoặc S, và sau đótmẫu kế tiếp cũng có cùng giá trị, v.v. Giá trị của dãy là được chọn ngẫu nhiên, xác suất12cho+ Svà12cho S. Nếu tập hợp pbxs này được cho qua bộ lọc với đặc tuyến độ lợi tam giác (độ lợi đơn vị tại D.C.), đầu ra bị giới hạn đỉnh bởi S. Hơn nữa, công suất trung bình gần như làSvà có thể tiếp cận được điều này bằng cách lấy
tđủ lớn. Entropy của tổng này và nhiễu nhiệt có thể tìm thấy bằng cách sử dụng định lí về tổng của nhiễu và tín hiệu nhỏ. Định lí sẽ áp dụng được nếu
tS N
đủ nhỏ. Điều này được bảo đảm bởi cách chọn S
N đủ nhỏ (sau khit được chọn). Công suất entropy sẽ là S+Nrất gần với xấp xỉ như mong muốn, và do đó tốc độ truyền cũng gần với ta mong muốn
Wlog S+N
N .