Một cách đơn giản, khi mặt sóng tới không có quang sai thì hình ảnh Shack-Hartmann đƣợc cho bởi phƣơng trình [14]:
( ) ( ( )) ( ( )) (3.1) Trong phƣơng trình này thì px và py là khoảng cách giữa các vi thấu kính theo chiều x và y.
Khi mặt sóng tới có quang sai thì hình ảnh Shack-Hartmann lúc này đƣợc cho bởi phƣơng trình [14]:
g1(x,y)= g0(x+A(x,y),y+B(x,y)) = ( ( ( ( )))) ( ( ( ( )))) (3.2) Ở đây: A(x,y)= - (W(x,y)) f (3.3a) B(x,y)= - (W(x,y)) f (3.3b) Trong đó W(x,y) là hàm quang sai của mặt sóng đƣợc viết trong hệ tọa độ Đề các nhƣ phƣơng trình (1.2) ở trong chƣơng 1. Do các phƣơng trình (3.1), (3.2) đều viết theo x và y nên việc sử dụng hàm quang sai mặt sóng trong hệ tọa độ Đề các nhằm thuận tiện cho chúng ta khi tính toán và lấy đạo hàm theo phƣơng x và y, lúc này W(x,y) đƣợc viết lại:
( ) ∑ ∑ ( ) (3.4) Từ biểu thức trên việc mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann đƣợc thực hiện trên sơ đồ sau:
Hình 3.1. Sơ đồ các bước mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann.
Để mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann chúng tôi thực hiện theo 4 bƣớc:
Bƣớc 1: Nhập các giá trị của vào, ứng với mỗi giá trị của ta có một loại quang sai nhất định ( hệ số khai triển đa thức Zernike).
Bƣớc 2: Từ các giá trị của đã nhập ta sẽ tổng hợp đƣợc mặt sóng theo phƣơng trình W(x,y)= ∑ ∑ ( ), ứng với mỗi là một đa thức Zernike ( ) [10].
Bƣớc 3: Khi tổng hợp đƣợc mặt sóng ta lần lƣợt tính đạo hàm của mặt sóng đó theo phƣơng x và y rồi nhân với tiêu cự của vi thấu kính để xác định A(x,y), B(x,y) theo (3.3a) và (3.3b).
Bƣớc 4: Thay các kết quả tính đƣợc ở trên vào phƣơng trình (3.2), dùng phần mềm tiến hành vẽ hình ảnh Shack-Hartmann. Nhập giá trị 𝐶𝑛𝑚 Tổng hợp mặt sóng W(x,y) Tính A(x,y); B(x,y) Tính và vẽ hình ảnh Shack-Hartman theo phƣơng trình (3.2)
Để mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann tôi đã áp dụng sơ đồ trên (Hình 3.1) cùng với các phƣơng trình (3.1), (3.2), (3.3.a), (3.3.b), (3.4). Chƣơng trình mô phỏng đƣợc viết bằng phần mềm Mathcad (xem phần phụ lục), cho phép thay đổi các thông số , f, px, py.
Sau đây là các kết quả mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann mà tôi đã tiến hành.
3.2. Kết quả mô phỏng với một số loại quang sai điển hình
Về nguyên tắc thì hàm quang sai sóng có thể đƣợc khai triển thành một chuỗi vô hạn các đa thức Zernike, tuy vậy để làm đƣợc điều đó thì cần phải có thời gian và một máy tính có cấu hình cao. Vì thời gian và trang thiết bị có hạn trong phạm vi bản luận văn này tôi chỉ khai triển hàm sóng theo đa thức Zernike tới bậc 5. Mặc dù vậy phƣơng pháp này hoàn toàn có thể áp dụng tới bậc tùy ý. Biểu thức khai triển hàm sóng theo đa thức Zernike tới bậc 5 đƣợc viết nhƣ sau: W(x,y)= √ √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( )
Ở đây các đa thức Zernike đƣợc viết trong hệ tọa độ Đề các [10] thay vì hệ tọa độ trụ (Bảng 1.1).
Các thông số đặc trƣng của cảm biến Shack-Hartmann dùng trong mô phỏng: f là tiêu cự của vi thấu kính; px, py là khoảng cách giữa các vi thấu kính.
Chƣơng trình mô phỏng cho phép thay đổi các giá trị của , f, px, py.
3.2.1. Hình ảnh Shack-Hartmann khi không có quang sai
Hình 3.1. Hình ảnh Shack-Hartmann khi không có quang sai (f= 10 mm, px= py= 0,150 mm).
Hình 3.1 mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann khi chùm sáng tới là song song tuyệt đối và f= 10 mm, px= py= 0,150 mm. Các giá trị này ứng với một ma trận vi thấu kính điển hình đƣợc sử dụng trong thực tế, tất cả các giá trị của đƣợc lấy bằng không, trừ có thể khác không.
Từ kết quả trên ta thấy khi không có quang sai thì mặt sóng là phẳng và hình ảnh Shack-Hartmaan ta thu đƣợc là một ma trận những vết sáng cách đều nhau theo chiều ngang và dọc (ma trận vuông) tƣơng ứng với sự sắp xếp của các vi thấu kính.
Khi không có quang sai thì giá trị của f không ảnh hƣởng đến hình ảnh Shack-Hartmann mà ta thu đƣợc vì phƣơng trình biểu diễn hình ảnh Shack- Hartmann lúc này không phụ thuộc vào f (phƣơng trình (3.1)).
Khi thay đổi px= py= 0,100 mm ta đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann nhƣ hình 3.2.
Hình 3.2. Hình ảnh Shack-Hartmann khi không có quang sai (f= 10 mm, px= py= 0,100 mm).
Từ hình 3.2 ta thấy khi thay đổi px=py=0,150 mm xuống còn px=py=0,100 mm thì khoảng cách giữa các vết sáng bị giảm đi nhƣng chúng vẫn sắp xếp theo ma trận vuông nhƣ hình 3.1, tƣơng tự khi ta tăng px= py thì cũng thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann có khoảng cách giữa các vết sáng lớn hơn nhƣng luôn luôn cách đều nhau theo cả chiều ngang và dọc.
3.2.2. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có cầu sai bậc 3
Khi f =10 mm; px=py=0,150 mm, =0,009876, còn tất cả các giá trị của khác đều lấy bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann và mặt sóng tƣơng ứng nhƣ hình 3.3a và 3.3b.
Hình 3.3a. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có cầu sai bậc 3
(f =10mm; px=py=0,150 mm).
Hình 3.3b. Mặt sóng khi có cầu sai bậc 3 (f =10mm; px=py=0,150 mm). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từ kết quả trên hình 3.3a và 3.3b ta thấy khi có cầu sai bậc 3 thì mặt sóng không còn là phẳng nữa, chúng uốn cong nhƣ hình cái thúng và hình ảnh Shack-Hartman ta thu đƣợc lúc này là những vết sáng không còn cách đều nhau nhƣ khi mặt sóng không có quang sai. Các vết sáng có xu hƣớng bị kéo vào tâm, càng ra xa thì chúng bị kéo càng mạnh và khoảng cách giữa các điểm càng lớn, nhƣng chúng vẫn đối xứng nhau qua tâm.
Khi thay đổi giá trị của f=15 mm còn các giá trị khác vẫn giữ nguyên ta thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann và mặt sóng nhƣ hình 3.4a và 3.4b.
Từ kết quả trên hình 3.4a và 3.4b ta thấy khi thay đổi f=10 mm lên 15mm thì hình ảnh Shack-Hartmann ta thu đƣợc lúc này là những vết sáng nhỏ hơn và khoảng cách giữa các vết sáng cũng giảm đi so với khi f=10 mm nhƣng cách sắp xếp của chúng không thay đổi nhƣ khi f=10 mm. Sở dĩ ta thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann nhƣ vậy vì khi f tăng nhƣng đƣờng kính của
các vi thấu kính không đổi nên cảm biến ảnh CCD sẽ dịch ra xa hơn và kết quả ta thu đƣợc hình ảnh sẽ nhỏ hơn dẫn đến nhiều điểm ảnh trên CCD hơn.
Hình 3.4a. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có cầu sai bậc 3
(f =15mm; px=py=0,150 mm).
Hình 3.4b. Mặt sóng khi có cầu sai bậc 3 (f =15mm; px=py=0,150 mm).
Tƣơng tự việc thay đổi đƣờng kính của các vi thấu kính (px= py) cũng vậy nó chỉ làm tăng giảm khoảng cách giữa các vết sáng chứ không làm thay đổi cách sắp xếp của chúng.
3.2.3. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp
Khi f =10 mm; px=py=0,150 mm, =0,0016785, còn tất cả các giá trị của khác là bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann (hình 3.5a) và mặt sóng nhƣ (hình 3.5b).
Ta thấy khi có coma sơ cấp thì mặt sóng lúc này nhƣ hình 3.5b và hình ảnh Shack-Hartmann ta thu đƣợc là những vết sáng không thẳng hàng, không đều nhau nhƣ khi không có quang sai, cũng không bị kéo vào tâm nhƣ khi có
cầu sai mà chúng bị kéo về một phía càng về hai bên các vết sáng bị kéo càng mạnh khoảng cách giữa các vết sáng giảm dần và đối xứng nhau qua trục.
Hình 3.5a. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp.
Hình 3.5b. Mặt sóng khi có coma sơ cấp.
3.2.4. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị sơ cấp
Khi f =10 mm; px=py=0,150 mm, =0,009776, còn tất cả các giá trị của khác là bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann và mặt sóng nhƣ hình 3.6a và 3.6b.
Từ hình ảnh 3.6a và 3.6b ta thấy mặt sóng khi có loạn thị sơ cấp nó không phải là mặt phẳng nhƣ không có quang sai, cũng không uốn cong nhƣ hình chiếc thúng nhƣ khi có cầu sai,mà lúc này nó uốn cong nhƣ hình chiếc yên ngựa.Tƣơng ứng với hình ảnh Shack-Hartmann thu đƣợc là các vết sáng có xu hƣớng co lại theo ngang, và kéo dãn ra theo chiều dọc, làm cho vết sáng bị kéo dài ra về 1 phía dẫn đến khoảng cách giữa các điểm theo chiều ngang và dọc không bằng nhau nữa.
Hình 3.6a. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị sơ cấp.
Hình 3.6b. Mặt sóng khi có loạn thị sơ cấp.
3.2.5. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị cấp 2
Khi f =10 mm; px=py=0,150 mm, =0,000653, còn tất cả các giá trị của khác là bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh 3.7a và 3.7b.
Hình 3.7a. Hình ảnh Shack- Hartmann khi có loạn thị cấp 2.
Hình 3.7b. Mặt sóng khi có loạn thị cấp 2.
Từ kết quả ở hình 3.7b ta thấy mặt sóng khi có loạn thị cấp 2 bị uốn cong ngƣợc lên mạnh hơn so với mặt sóng khi có loạn thị sơ cấp dẫn đến hình ảnh Shack-Hartman ta thu đƣợc là các vết sáng có xu hƣớng kéo lại theo chiều ngang và càng về xa hai bên nó càng co lại mạnh hơn, ngƣợc lại theo chiều dọc thì nó lại có xu hƣớng kéo dãn ra, và càng về ai bên chúng dãn càng mạnh (hình 3.7a).
3.2.6. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp và cầu sai bậc 3
Khi f =10 mm; px=py=0,150 mm, =0,009876, =0,0009876 còn tất cả các giá trị của đƣợc lấy bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh 3.8a và 3.8b.
Hình 3.8a. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có coma sơ cấp và cầu sai bậc 3.
Hình 3.8b. Mặt sóng khi có coma sơ cấp và cầu sai bậc 3.
Từ hình 3.8b ta thấy khi đồng thời có coma sơ cấp và cầu sai bậc 3 thì mặt sóng lúc này bị uốn cong lên nhƣng không đều, đáy của mặt sóng không tròn nhƣ khi chỉ có cầu sai nữa mà ở giữa tâm bị lồi lên. Còn hình ảnh Shack- Hartman là các vết sáng thu đƣợc không bị kéo vào tâm nữa mà chúng bị kéo
ra ngoài càng ra ngoài tâm chúng bị kéo càng mạnh và cũng không còn đối xứng nhau nữa (hình 3.8a). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3.2.7. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị cấp 2 và cầu sai bậc 3
Khi f =10 mm; px=py=0,150 mm, =0,0098567, =0,009876 còn tất cả các giá trị của khác là bằng 0 ta thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann và mặt sóng tƣơng ứng nhƣ hình 3.9a và 3.9b
Hình 3.9a. Hình ảnh Shack-Hartmann khi có loạn thị cấp 2 và cầu sai bậc 3.
Hình 3.9b. Mặt sóng khi có loạn thị cấp 2 và cầu sai bậc.
Từ kết quả hình 3.9b ta thấy khi đồng thời có cả loạn thị cấp 2 và cầu sai bậc 3 thì mặt sóng không bị uốn cong đều giống hình chiếc thúng nhƣ khi chỉ có cầu sai và cũng không nhƣ chiếc yên ngựa khi chỉ có loạn thị mà lúc này mặt sóng chỉ bị uốn cong lên từ 2 phía. Từ hình 3.9a ta thấy hình ảnh Shack- Hartmann thu đƣợc cũng không phải là những vết sáng cách đều nhau hay cùng bị kéo về một phía nữa mà các vết sáng ta thu đƣợc lúc này có xu hƣớng kéo vào tâm nhƣng không đều nhau, một chiều bị kéo mạnh còn chiều kia bị
kéo ít hơn chúng vẫn đối xứng tâm và khoảng giữa các vết theo chiều ngang và chiều dọc là không bằng nhau.
3.3. Kết luận chƣơng 3
Trong chƣơng này chúng tôi đã trình bày phƣơng pháp và các bƣớc mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann cùng với chƣơng trình mô phỏng bằng phần mềm Mathcad. Từ đó tôi đã đƣa ra các kết quả mô phỏng hình ảnh Shack- Hartmann với các loại quang sai điển hình nhƣ: mặt sóng cầu sai bậc 3, coma sơ cấp, loạn thị sơ cấp, loạn thị cấp 2, mặt sóng khi có cả 2 loại quang sai nhƣ cầu sai bậc 3 và coma sơ cấp…
Từ cơ sở trên ta có thể thu đƣợc hình ảnh Shack-Hartmann mở rộng hơn khi khai triển hàm quang sai mặt sóng theo các đa thức Zernike tới những bậc cao hơn nhƣ bậc 6, bậc 7,…
KẾT LUẬN CHUNG
Phƣơng pháp Shack-Hartmann đƣợc nghiên cứu và ứng dụng nhiều trong những năm gần đây, trên xu thế đó tôi đã đặt vấn đề để đi nghiên cứu về phƣơng pháp này. Đề tài luận văn tập trung mô phỏng hình ảnh Shack- Hartmann khi chùm ánh sáng tới có quang sai giả định. Sau một thời gian nghiên cứu, tìm hiểu thực hiện đề tài, bản luận văn đã đƣợc hoàn thành, đáp ứng mục tiêu đề ra. Kết quả của luận văn có thể tóm tắt trong mấy điểm sau:
1. Đã tìm hiểu nghiên cứu về quang sai của mặt sóng, đa thức Zernike, cách biểu diễn mặt sóng theo đa thức Zernike. Ta có thể khai triển hàm quang sai của mặt sóng theo tổng các đa thức Zernike trong các hệ tọa độ trụ và Đề các.
2. Đã tìm hiểu các phƣơng pháp đo quang sai mặt sóng và đã nghiên cứu nguyên lý của phƣơng pháp Shack-Hartmann để xác định quang sai mặt sóng tới. Một cảm biến Shack-Hartmann gồm hai thành phần cơ bản là ma trận vi thấu kính và cảm biến ảnh CCD các thông số của 2 thành phần này ảnh hƣởng đến kết quả hình ảnh Shack-Hartmann.
3. Đƣa ra phƣơng pháp và các bƣớc để tiến hành mô phỏng hình ảnh Shack-Hartmann. Sử dụng phần mềm Mathcad tôi đã viết chƣơng trình mô phỏng thành công hình ảnh Shack-Hartmann đối với một số loại quang sai điển hình.
Kết quả của việc mô phỏng thành công hình ảnh Shack-Hartmann khi chùm ánh sáng tới có quang sai mặt sóng giả định trƣớc làm cơ sở để đánh giá các phƣơng pháp khôi phục mặt sóng; đánh giá ảnh hƣởng của các loại sai số tới kết quả đo mặt sóng; đánh giá độ chính xác của phần mềm khôi phục mặt sóng….
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Lê Hoàng Hải, Quang sai của hệ thống quang học, NXB Khoa học – Kỹ thuật, Hà Nội, 2012.
[2]. Le Duy Tuan, Vu Van Huyen, Duong Chi Dung, Le Hoang Hai,
Setting-up a Shack – Hartmann wavefront sensor, J. Scien. & techniques, MTA, 2011.
[3]. Daniel Malacara Ed. (2007), Optical shop testing, 3rd ed., John Wiley & Sons, New Jersey.
[4]. Otto Manneberg (2005), Design and simulation of a high spatial resolution Hartmann-Shack wavefront sensor, M.Sc. Thesis, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden.
[5]. Daniel R. Neal (2003), “Shack-Hartmann sensor engineered for commercial measurement applications”, SPIE Vol. 5162.
[6]. Daniel R. Neal, James Copland, David Neal (2002), “Shack-Hartmann wavefront sensor precision and accuracy”,Proc. of SPIE Vol. 4779. [7]. Ben C. Platt, Roland Shack (2001), “History and Principles of Shack-
Hartmann Wavefront Sensing”, Journal of Refractive Surgery, Vol. 17. [8]. Robert K. Tyson, Adaptive optics engineering handbook, Marcel
Dekker, 2000.
[9]. Costin Curatu, George Curatu, Jannick Rolland, “Fundamental anh specific step Shack-Hartmann in Wavefront sensor desgn”. SPIE Vol. 6288 628801-3.
[10]. Frederick (Frits) Zernike “Periodic Table of the Disc Polynomials of Zernike”. Advanced Medical Optics/WaveFront Sciences
[11]. Max Born, Emil Wolf, Principles of Optics, 7th ed., Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
[12]. Virendra N. Mahajan, Optical Imaging and Aberrations: Part I. Ray Geometrical Optics, SPIE Press, Bellingham, 1998.
[13]. J.C. Wyant, K. Creath, Basic wavefront aberration theory for optical metrology, Applied optics and optical engineering, Vol. Xl, Academic Press, 1992. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[14]. Edwin J. Sarver, PhD; Jim Schwiegerling, PhD; Raymond A. Applegate, OD, PhD, Extracting Wavefront Error From Shack- Hartmann Images Using Spatial Demodulation, Journal of Refractive Surgery, Volume 22, November 2006.
[15]. R.R. Rammage, D.R. Neal, R.J. Copland, Application of Shack- Hartmann wavefront sensing technology to transmissive optic metrology, Proc. SPIE Vol. 4779 (2002).
PHỤ LỤC
Chƣơng trình mô phỏng hình ảnh Shack–Hartmann với chùm ánh sáng tới có cầu sai bậc 3 chạy trên phần mềm Mathcad