Xem Mordukhovich (2006a,b), Rockafellar và Wets (1998)

, y∗ ) (x f (¯ x)(x)) = ∀x ∈ X}

33 Xem Mordukhovich (2006a,b), Rockafellar và Wets (1998)

ϕ chỉ khi ϕ không phải là hàm số Lipschitz địa ph−ơng tại x¯, bởi vì nếu ϕlà Lipschitz địa ph−ơng tạix¯thì∂∞ϕ(¯x)⊂ {0}(xem Bài tập 4.2.2 d−ới đây). Nh− vậy, x∗ ∈∂∞ϕ(¯x) khi và chỉ khi tồn tại các dãyx

k →ϕ x¯, εk→0+,λk→ 0+, vàx∗ k∈λk∂ε kϕ(xk), sao cho x∗ k w ∗ −→x∗.

Bài tập 4.2.1. Chứng minh rằng∂∞ϕ(¯x)là một hình nón trongX∗.

Bài tập 4.2.2. Sử dụng công thức (2.6) để chứng minh rằng nếu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng tại ¯x, thì∂∞ϕ(¯x)⊂ {0}. (Gợi ý: Để ý rằng nếuϕ

là Lipschitz địa ph−ơng tại x¯ thì tồn tại lân cận U củax¯ sao cho họ tập hợp{∂ϕ(x) }x∈U là giới nội đều; tức là tồn tạiK >0sao chox∗K

với mọix∈U và với mọix∗∈∂ϕ(x) .)

Nón pháp tuyến

Cho tập hợp Ω⊂X, ở đó X là không gian Banach. Xéthàm chỉ35 δΩ(ã) của Ω. Theo định nghĩa, δΩ(x) = 0 nếu x ∈ Ω và δΩ(x) = +∞ nếu x /∈ Ω. Nón pháp tuyến Fréchet và nón pháp tuyến qua giới hạn (còn đ−ợc gọi là nón pháp tuyến Mordukhovich) của Ωtại x¯∈Ωđ−ợc định nghĩa t−ơng ứng bởi các công thức

(2.7) NΩ(¯x) :=∂δ (¯x; Ω) và

(2.8) NΩ(¯x) :=∂δ(¯x; Ω) 32

TNTA: lower regular.

33Xem Mordukhovich (2006a,b), Rockafellar và Wets (1998).34 34

TNTA: singular (limiting) subdifferential. 35

thông qua d−ới vi phân t−ơng ứng của hàm chỉ. Ta đặtNΩ(¯x) =∅vàNΩ(¯x) =∅ nếux /¯∈Ω.

Do (2.7) và do công thức của hàm chỉ, ta có x∗ ∈NΩ(¯x) khi và chỉ khi lim inf x→Ω¯x −x∗, x−x¯ x−x¯ 0, hay lim sup x→Ωx¯ x∗, x−x¯ x−x¯ 0.

Điều kiện cuối là khá thuận tiện cho việc tính toán nón pháp tuyến Fréchet. ĐặtNε

Ω(¯x) =∂εδ(¯x; Ω) và gọi đó làtập các véctơε-pháp tuyến Fréchetcủa

Ωtại x¯∈Ω. Từ các định nghĩa suy ra rằng x∗∈Nε

Ω(¯x)khi và chỉ khi lim sup

x→Ωx¯

x∗, x−x¯ x−x¯ ε.

Do (2.8) và (2.5), nón pháp tuyến Mordukhovich NΩ(¯x) của Ωtại x¯∈Ωđ−ợc xác định qua các tập véctơ ε-pháp tuyến FréchetNε

Ω(x) vớix∈Ωđ−ợc lấy đủ gần x¯ và ε đ−ợc lấy đủ bé. Kết hợp (2.7) với (2.8), ta thấy rằng x∗ ∈NΩ(¯x) khi và chỉ khi tồn tại các dãy xk→Ω x¯, εk →0+ vàx∗

k w∗ ∗ →x∗ sao cho lim sup x→Ωxk x∗, x−xk x−xk εk.

Nhận xét 4.2.2. Do Nhận xét 4.2.1, nếuX là không gian Asplund và nếu Ωlà tập đóng địa ph−ơng trong lân cận điểmx¯ (tức là tồn tại hình cầu đóng tâm x¯ với bán kính d−ơng có giao với Ωlà một tập đóng trong X), thì

NΩ(¯x) = Lim sup

x→Ωx¯

NΩ(x).

Điều đó cũng có nghĩa là x∗ ∈NΩ(¯x) khi và chỉ khi tồn tại các dãyxk →Ω x¯,

x∗ k w ∗ →x∗ sao cho lim sup x→Ωxk x∗, x−xk x−xk 0.

Bài tập 4.2.3. Chứng minh rằng NΩ(¯x)là hình nón đóng yếu∗ trongX∗.

Bài tập 4.2.4. Chứng minh rằngNΩ(¯x)là hình nón36 trongX∗. 36

Trong Mordukhovich (2006a; tr. 11) có trình bày ví dụ chứng tỏ rằng nếuX là không gian vô hạn chiều (ví dụ nh−X là không gian Hilbert vô hạn chiều) thì hình nónNΩ(¯x)có thể không đóng trong tôpôw∗.

Bài tập 4.2.5. Tính các tậpNΩε(x) (ε >0) và các nón pháp tuyếnNΩ(¯x),

NΩ(¯x)trong các tr−ờng hợp sau:

a)X =IR2,Ω ={x= (x1, x2) : x2= 0},x¯= (0,1);b)X =IR2,Ω ={x= (x1, x2) : x20},x¯= (0,1). b)X =IR2,Ω ={x= (x1, x2) : x20},x¯= (0,1).

Đối đạo hàm

Xét ánh xạ đa trịF:X ⇒Y giữa các không gian Banach. Nh−ở các ch−ơng tr−ớc, ta đặt

domF :={x∈X : F(x)=∅}

và

gphF :={(x, y)∈XìY : y∈F(x)}.

Đối đạo hàm Fréchet37củaF tại(¯x,y¯)∈gphF vàđối đạo hàm qua giới hạn38

(hay đối đạo hàm Mordukhovich) của F tại (¯x,y¯) t−ơng ứng đ−ợc cho bởi các công thức (2.9) D∗F(¯x,y¯)(y∗) := x∗ ∈X∗ : (x∗,−y∗)∈NgphF(¯x,y¯) , (2.10) D∗F(¯x,y¯)(y∗) := x∗ ∈X∗ : (x∗,−y∗)∈NgphF(¯x,y¯) .

NếuF(x) ={f(x)}là ánh xạ đơn trị, thì ta viếtD∗f(¯x)thay choD∗f(¯x, f(¯x))

và D∗f(¯x) thay cho D∗f(¯x, f(¯x)). Nếu f t−ơng ứng là khả vi Fréchet và khả

vi chặt39 tại x¯, thì các đối đạo hàm trong (2.9) và (2.10) đ−ợc tính nh− sau:

D∗f(¯x)(y∗) = (f(¯x))∗(y∗) ∀y∗ ∈Y∗

và

D∗f(¯x)(y∗) = (f(¯x))∗(y∗) ∀y∗∈Y∗.

Lúc này, với mọi y∗ ∈Y∗, D∗f(¯x)(y∗) vàD∗f(¯x)(y∗) là các tập có một phần

tử. Nếu f là khả vi chặt tạix¯, thì

D∗f(¯x)(y∗) =D∗f(¯x)(y∗) = (f(¯x))∗(y∗) ∀y∗ ∈Y∗.

(ánh xạ đối đạo hàm Mordukhovich trùng với ánh xạ đối đạo hàm Fréchet.) Ta đã thấy rằng các đối đạo hàm trong (2.9) và (2.10) là những mở rộng tự nhiên của toán tử đạo hàm liên hợp của ánh xạ đơn trị khả vi.

37

TNTA: Fréchet coderivative. 38

TNTA: limiting coderivative. 39

ánh xạ F:X ⇒Y đ−ợc gọi làchính quy pháp tuyến40 tại (¯x,y¯) nếu

D∗F(¯x,y¯)(y∗) =D∗F(¯x,y¯)(y∗) ∀y∗ ∈Y∗.

Ngoài các hàm khả vi chặt, tính chất này còn nghiệm đúng với các ánh xạ đa trị có đồ thị lồi. Tuy nhiên, tính chính quy pháp tuyến có thể không nghiệm đúng trong nhiều tr−ờng hợp quan trọng.

Quan hệ giữa đối đạo hàm của ánh xạ đơn trị Lipschitz địa ph−ơngf:X→Y

và d−ới vi phân Fréchet của hàm vô h−ớng hoá

(y∗◦f)(x) :=y∗, f(x) (y∗ ∈Y∗)

của nó đ−ợc mô tả bởi công thức41 sau:

(2.11) D∗f(¯x)(y∗) =∂(y∗◦f)(¯x) ∀y∗ ∈Y∗.

Chứng minh của công thức này có trong Mordukhovich (2006a).

Các ví dụ

Chúng ta xét một số ví dụ minh họa cho những khái niệm trừu t−ợng vừa đ−ợc trình bày ở trên. Ví dụ 4.2.142. NếuΩ = {x= (x1, x2)∈R2 : x2 0, x1 0} vàx¯ = (0,0), thì NΩ(¯x) =NΩ(¯x) ={x= (x1, x2) : x1 0, x20}. Ví dụ 4.2.243. Nếu Ω ={x= (x1,0)∈R2 : x10} ∪{x= (0, x2)∈R2 : x20} vàx¯= (0,0), thì NΩ(¯x) ={x = (x1, x2) : x1 0, x20} và NΩ(¯x) =NΩ(¯x)∪[0,+∞)ì {0}∪{0} ì[0,+∞). 40TNTA: normally regular.

41

Đ−ợc gọi là công thức vô h−ớng hoá.